ИДЗ 6.2 Рябушко пример решения
.pdfНаш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
ИДЗ 6.2 – Вариант 0
1. Найти y′ и y″
1.0 y2 = 15x2 + 9
Продифференцируем обе части по x:
2yy 30x |
|
|||
y |
30x |
y |
15x |
|
2y |
y |
|||
|
|
Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство y' = g(x, y) (1)
Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (1) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y'.
y |
|
15x |
|
15 y 15x y |
|
15 y x y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставим y |
30x |
|
вместо y', получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
15x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
225x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
15 y x |
|
|
|
15y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
15y |
225x |
||||
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y2 |
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
2. Найти y′ и y″
x e 5t
2.0y e 8t
Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями: x = x(t), y = y(t), t (a;b).
Предположим, что функции x(t), y(t), имеют производные на (a;b) и функция x(t) имеет обратную функцию t = g(х), которая также имеет производную в соответствующих точках х. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у от х можно рассматривать как сложную функцию y = y(t), t = g(х), t – промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получаем y'x =
y't t'x = y't g'x. По теореме о дифференцировании обратной функции y x |
|
1 |
. Учитывая это, получаем |
|
|||
|
|
x t |
y x |
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
e 5t |
5e 5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
e 8t 8e 8t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y t 8e 8t |
8e 8t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
x t |
|
5e 5t |
|
5e 5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вторая производная |
y |
|
yt x t |
x t yt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5e 5t |
25e 5t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
8e 8t |
64e 8t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
t |
|
|
|
8t 5e 5t 25e 5t 8e 8t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
64e |
|
320e 13t 200e 13t |
|
120e 13t |
|
24 |
e |
13t 15t |
|
24 |
e |
2t |
|||||||||||
|
|
|
5e 5t 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
125e 15t |
|
125e 15t |
|
25 |
|
|
|
25 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
3. Для данной функции y и аргумента x0 вычислить y′′′(x0) 3.0 y = xcos4x, x0 = π
Последовательно находим
y x cos 4x cos 4x 4x sin 4x
y cos 4x 4x sin 4x 4sin 4x 4sin 4x 16x cos 4x 8sin 4x 16x cos 4x
y 8sin 4x 16x cos 4x 32cos 4x 16cos 4x 64x sin 4x 48cos 4x 64x sin 4x
Подставляем в функцию y′′′(x0) значение аргумента x0, получим y 48cos 4 64 sin 4 48 1 64 0 48
4. Записать формулу для произвольной n-го порядка указанной функции.
4.0 y = 9x
Дифференцируя последовательно n раз данную функцию, находим y 9x 9x ln 9
y 9x ln 9 9x ln 2 9
y 9x ln 2 9 9x ln 3 9
Сравнив полученные выражения для y , y и y , запишем: y n 9x ln n 9
5. Решить следующие задачи.
5.0 Записать уравнение касательной к кривой y = x3 − 8x2 + 2x – 13 в точке с абсциссой x=2 |
||||
Уравнение касательной: |
||||
y y |
0 |
y x x |
0 |
|
|
0 |
|
Найдем y0 и y0 Ордината точки касания
y0 23 8 22 2 2 13 8 32 4 13 33
В любой точке
y x3 8x 2 2x 13 3x 2 16x 2
В точке касания
y 3 22 16 2 2 12 32 2 18
0
Уравнение касательной будет иметь вид: y 33 18 x 2
y 33 18x 36 y 18x 3
Наш сайт: Fizmathim.ru
Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh
Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)
Решение задач по высшей математике на заказ
6. Решить следующие задачи.
6.0 В какой точке параболы y2 = 9x ордината возрастает втрое быстрее, чем абсцисса?
Решение:
Скорость возрастания ординаты
2yy 9 y 2y9
Скорость возрастания ординаты в 3 раза больше скорости абсциссы
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2y 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
9 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||
9 |
|
|
|
9 |
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|||
Ответ: |
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|