САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ

им. проф. М. А. БОНЧ-БРУЕВИЧА

1. Факультет вечернего и заочного обучения

КУРСОВАЯ РАБОТА №1

Учебная дисциплина

Теория телетрафика

Выполнила:

Таран Валентина Александровна

№ студ. билета 139030

Группа: АБ-39с, 3 курс

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2016

Задание 2 Исследование процесса обслуживания реального потока сообщений полнодоступным пучком, включенным в однозвенную коммутационную схему

Условие:

На телефонной станции организован станционный эксперимент, направленный на выявление соответствия реального процесса обслуживания потоков сообщений математическим моделям, описываемым первой формулой Эрланга и формулой Энгсета. Условия эксперимента ограничены однозвеньевой ступенью свободного искания, в выходы которой включен полнодоступный пучок из ν линий. Поток создается N источникам; среднее число вызовов в ЧНН от всех источников составляет ; средняя длительность обслуживания одного сообщения принята равной . Измерения числа i одновременно занятых линий в пучке проводятся в течение 3 дней по 12 измерений каждый ЧНН.

Необходимо:

Оценить следующие характеристики процесса обслуживания.

1. По результатам измерений рассчитать следующие эмпирические значения:

- интенсивности нагрузки ,обслуженной ступенью искания;

- интенсивности нагрузки , поступающей на ступень искания;

- интенсивности нагрузки , потерянной ступенью искания;

2. В предположении, что поступающий на ступень искания реальный поток сообщений соответствует модели простейшего потока, для которого среднее число вызовов в ЧНН от всех источников (Т – промежуток времени, соответствующий ЧНН), рассчитать:

- интенсивность нагрузки , поступающей на ступень искания;

- вероятность того, что все линий пучка заняты ;

- вероятность потерь по вызовам Р_в, времени Р_t, нагрузке Р_н;

- распределение вероятностей Р_i, i=0,1,..,;

- интенсивность нагрузки , обслуженной ступенью искания;

- интенсивность нагрузки , потерянной ступенью искания;

- отклонение теоретического значения вероятности потерь Р_н от эмпирического значения , в %;

- отклонение теоретического значения интенсивности обслуженной нагрузки от эмпирического значения , в %.

3. В предположении, что поступающий на ступень искания реальный поток сообщений соответствует модели примитивного потока, который создает нагрузку интенсивности (а – интенсивность нагрузки, поступающей от одного источника), рассчитать:

- вероятность потерь по вызовам Р_в;

- вероятность потерь по времени Р_t;

- вероятность потерь по нагрузке Р_н;

- распределение вероятностей Рi, i=0,1,…,;

- среднее значение параметра потока от N источников;

- интенсивность нагрузки , обслуженной ступенью искания;

- интенсивность нагрузки , потерянной ступенью искания;

- отклонение в процентах теоретического значения вероятности потерь Р_н от эмпирического значения ;

- отклонение теоретического значения интенсивности обслуженной нагрузки

4. Построить кривые распределения Эрланга и Энгсета и получить численное доказательство того, что сумма вероятностей состояний полнодоступного пучка при обслуживании примитивного и простейшего потока вызовов составит

5. Установить взаимосвязь между рассматриваемыми моделями, выявив условия перехода формулы Энгсета в первую формулу Эрланга.

6. По результатам проведенных исследований сформулировать выводы относительно соответствия процесса обслуживания реального потока сообщений математическим моделям, описываемым первой формулой Эрланга и формулой Энгсета.

Таблица 5 – Результаты измерений числа одновременно занятых линий

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1 день	2	6	5	6	4	10	7	3	5	5	4	3
2 день	4	7	4	3	6	8	5	3	5	2	7	6
3 день	5	10	6	2	5	3	4	3	4	5	3	2

Таблица 6 – Исходные данные

с	t, c	ν	N
240	75	10	40

Решение:

1. Интенсивность обслуженной нагрузки определяется как

, где

- число одновременно занятых линий при каждом измерении (k = 1,2,..,12) в j-й день измерений (j = 1,2,3).

Для 1 дня: = 2+6+5+6+4+10+7+3+5+5+4+3 = 60

Для 2 дня: = 4+7+4+3+6+8+5+3+5+2+7+6 = 60

Для 3 дня: = 5+10+6+2+5+3+4+3+4+5+3+2 = 52

Интенсивность поступающей нагрузки:

Интенсивность потерянной нагрузки:

Вероятность потерь по нагрузке:

2. Предположим, что поступающий поток вызовов является простейшим потоком. Для его полного описания достаточно знать интенсивность потока μ, зная которую можно оценить все остальные характеристики потока (параметр λ, функцию распределения промежутков между вызовами А(х), вероятность поступления определенного числа вызовов k за некоторый промежуток времени t – P_k(t)).

Если принять за единицу времени ЧНН, то правомерно приравнять эмпирическое значение среднего числа вызовов в ЧНН его теоретическому значению:

.

Переходя к расчету характеристик модели обслуживания М/М/ν/К (процесс обслуживания простейшего потока вызовов полнодоступным пучком линий с потерями при показательном распределении длительности обслуживания), К=ν, также правомерно приравнять эмпирическое значение интенсивности поступающей нагрузки его теоретическому значению у:

Модель М/М/ν/К, К=ν описывается первым распределением Эрланга:

Р₁₀ = 0,01838

Р₉ = 0,03677

Р₈ = 0,06618

Р₇ = 0,1059

Р₆ = 0,14825

Р₅ = 0,17790

Р₄ = 0,177904

Р₃ = 0,142323

Р₂ = 0,085394

Р₁ = 0,034158

Р₀ = 0,02522

где -вероятность того, что в полнодоступном пучке из ν линий, на который поступает нагрузка интенсивности у, занято точно i линий .

Вероятность занятости в пучке всех ν линий Р_ν равна вероятности потерь по вызовам Р_в, времени Р_t и нагрузке Р_н:

Согласно таблицам из Приложения 2 вероятность занятости в пучке всех ν линий Р_ν равна 0.018385, т.е.

Интенсивность обслуженной нагрузки равна:

Интенсивность потерянной нагрузки:

Определим отклонения теоретических значений Р_н и у_об от эмпирических, и , в %:

3. Предположим, что поступающий поток вызовов является примитивным, который характеризуется переменным параметром λi, пропорциональным числу свободных источников (абонентов):

где N – общее число источников, i – число занятых источников, α – параметр потока одного свободного источника.

В сущности, примитивный поток – это суммарный поток, т.е. от каждого свободного источника поступают простейшие взаимно независимые потоки.

Модель обслуживания примитивного потока полнодоступным пучком (модель М/М/ν/K/N, К=ν) описывается формулой Энгсета.

Распределение Энгсета P_i и характеристики качества прохождения нагрузки имеют следующий вид:

,

при этом Р_н < P_в < P_t = P_ν, где α/β= α×1/β – среднее число вызовов, посылаемое одним свободным источником в течение интервала времени, равного средней длительности обслуживания;

- нагрузка, создаваемая одним источником, т.е. отношение средней длительности обслуживания к сумме средней длительности обслуживания и расстояния от момента окончания обслуживания до момента посылки нового вызова.

Нагрузка, создаваемая одним источником равна:

Тогда согласно Приложению 3:

Р_в = 0,012405

P_t = P_ν = 0,014494

Распределение вероятностей P_i рассчитывается через рекуррентное соотношение, начиная с i=ν:

. . . . . . .

Р₁₀ = 0,012405

Р₉ = 0,03273

Р₈ = 0,06444

Р₇ = 0,10935

Р₆ = 0,15759

Р₅ = 0,18910

Р₄ = 0,18385

Р₃ = 0,13913

Р₂ = 0,07689

Р₁ = 0,0276

Р₀ = 0,01932

При расчете характеристик модели М/М/ν/К/N, К=ν будем исходить из численного равенства между эмпирическим значением интенсивности поступающей нагрузки и ее математическим ожиданием ().

Интенсивность поступающей нагрузки на ν линий от N источников (по определению среднего значения)

Интенсивность обслуженной нагрузки (среднее число занятых линий i):

Интенсивность потерянной нагрузки:

Определим отклонения теоретических значений Р_н и у_об от эмпирических, и , в %:

4. Сумма вероятностей состояний полнодоступного пучка при обслуживании примитивного и простейшего потоков составляет 1:

Это легко доказать.

Для простейшего потока:

0.01838+0.03677+0.06618+0.1059+0.14825+0.17790+0.177904+0.142323+

+0.085394+0.034158+0.02522 = 1

Для примитивного потока:

0.012405+0.03273+0.06444+0.10935+0.15759+0.18910+0.18385+0.13913+0.07689+

+0.0276+0.01932 = 1

5. Характер зависимости величины поступающей нагрузки na от емкости пучка линий v, который обслуживает вызовы примитивного потока, поступающие от фиксированного числа источников n, такой же, как при обслуживании вызовов простейшего потока. Однако на пропускную способность пучка влияет число источников вызовов n: в области малых потерь с уменьшением n увеличивается пропускная способность пучка. При увеличении потерь Р_в:

- существенно уменьшается влияние n на пропускную способность пучка;

- сокращается различие между пропускной способностью пучков, обслуживающих вызовы примитивного и простейшего потоков.

6. По результатам проведенных исследований можно сопоставить реальный поток обслуживания вызовов и две математические модели: простейший поток и примитивный поток.

У простейшего потока интенсивность обслуженной нагрузки отличается от реальной на 2.73%, а у примитивного потока – на 3.51%.

Вероятность потерь по нагрузке отличается от реального потока на 58.63 %, у примитивного – на 75.54 %.