Московский Технический Университет

Связи и Информатики

Кафедра Информатики

ОТЧЕТ

по лабораторной работе № 5

«Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений»

Отчет подготовил:

студент группы БСТ1401

Балашов И.М.

Вариант № 3

Москва 2015

Задание

1. Выбрать индивидуальное задание в табл. 1.5-1 для решения обыкновенных дифференциальных уравнений:

• дифференциальное уравнение ;

• интервал [a;b] , где ищется решение дифференциального уравнения;

• начальные условия x₀, y₀;

• шаг интегрирования h_0.

2. Найти аналитическое решение заданного дифференциального уравнения, полагая его точным.

3. Вычислить значения полученного решения на отрезке [a;b] с шагомh₀.

4. Найти численное решение дифференциального уравнения методом Эйлера - в точках отрезка [a;b] с шагом h₀ с помощью «ручного счета».

5. Вычислить значения погрешностейдля, , .

6. Составить схему алгоритма, написать программу интегрирования дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4-го порядка с автоматическим выбором шага и провести контрольное тестирование на примере, рассмотренном в п. 1.5.5.

7. Получить решение«расчетом на ПК» с шагом h₀ и E =10^-4.

8. Вычислить значения погрешностей,

9. Графически проиллюстрировать решения.

Индивидуальное задание:

№ вар	Уравнение	x0	y0	h0	a	b
3	y' = x3 y2	0	-2	0.2	0	2

Аналитическое решение

Из начальных условий следует, что c = 2.

Аналитическое решение дифференциального уравнения:

Значения точного решения ОДУ

С использованием Matlab

>> f = @(x,y)x.^3*y.^2;

>> [x,y]=ode23(f,0:0.2:2,-2)

x =

0

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

1.6000

1.8000

2.0000

y =

-2.0000

-1.9985

-1.9750

-1.8786

-1.6605

-1.3344

-0.9825

-0.6843

-0.4661

-0.3177

-0.2205

>> [x,y]=ode45(f,0:0.2:2,-2)

x =

0

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

1.6000

1.8000

2.0000

y =

-2.0000

-1.9984

-1.9747

-1.8783

-1.6600

-1.3333

-0.9819

-0.6848

-0.4677

-0.3201

-0.2223

>> plot(x,y)

>> grid on

Ручной расчёт

xi	y(xi)
0	-2
0.2	-1.99840128
0.4	-1.97472354
0.6	-1.878287
0.8	-1.66002656
1	-1.33333333
1.2	-0.98193244
1.4	-0.68474391
1.6	-0.46763936
1.8	-0.32006145
2	-0.22222222

Численное решение заданного ДУ методом Эйлера

Найдем значения численного решение ОДУ методом Эйлера в точках отрезка [0;4] с шагом h=0.4. Для этого ДУ записывают в виде y’=f(x,y). Тогда общая формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид

xi
0	-2
0.2	-2
0.4	-1.9936
0.6	-1.94272716
0.8	-1.7796822
1	-1.45535388
1.2	-1.0317429
1.4	-0.66385398
1.6	-0.42199666
1.8	-0.27611256
2	-0.18718839

Значения погрешностей

xi	Ei
0	0
0.2	0.00159872
0.4	0.01887646
0.6	0.06444016
0.8	0.11965564
1	0.12202055
1.2	0.04981046
1.4	0.02088993
1.6	0.0456427
1.8	0.04394889
2	0.03503383

Расчёт на ПК

Код программы

#include<iostream>

#include <iomanip>

#include<conio.h>

#include<math.h>

using namespace std;

double f(double x, double y)

{

return x*x*x*y*y;

}

double r(double x0, double y0, double h, int m)

{

double k1, k2, k3, k4;

for(int j = 1; j <= m; j++)

{

k1 = f(x0,y0);

k2 = f(x0 + h/2, y0 + h*k1/2);

k3 = f(x0 + h/2, y0 + h*k2/2);

k4 = f(x0 + h, y0 + h*k3);

y0 = y0 + (h/6)*(k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4);

x0 = x0 + h;

}

return y0;

}

void resh(double x0, double y0, double h0, double b, double E)

{

int m;

int n = (b - x0)/h0+1;

double h, x, y, y1;

for (int i = 1; i < n; i++)

{

h = h0;

m = 1;

y = r(x0,y0,h,m);

do

{

y1 = y;

h = h/2;

x = x0;

y = y0;

m = 2*m;

y = r(x0,y0,h,m);

} while (abs(y-y1)>E);

x0 = x0 + h0;

y0 = y;

cout << "x0 = "<< x0 <<"; "<<"y0 = "<<setprecision(8)<< y0 <<"; "<<"h = "<< h <<"; "<<"m = "<< m <<endl;

}

}

void main()

{

setlocale(0, "");

double x0, y0, h0, b, E;

int n;

do{

cout <<"Введите значениe x0:\n";

cin >> x0;

cout <<"Введите значениe y0:\n";

cin >> y0;

cout <<"Введите шаг h0:\n";

cin >> h0;

cout <<"Введите конец отрезка b:\n";

cin >> b;

cout <<"Введите погрешность E:\n";

cin >> E;

resh(x0, y0, h0, b, E);

cout <<endl<< "Для повторения нажмите '1'"<< endl;

}

while(getch()=='1');

}

Результат выполнения программы

Решения, полученные по составленной программе «расчетом на ПК»

xi
0	-2
0.2	-1.9984013
0.4	-1.9747234
0.6	-1.8782863
0.8	-1.6600234
1	-1.33329
1.2	-0.9819373
1.4	-0.6847472
1.6	-0.4676417
1.8	-0.3200631
2	-0.2222233

Значения погрешностей

xi
0	0
0.2	0.00000002
0.4	0.00000014
0.6	0.0000007
0.8	0.00000316
1	0.00004333
1.2	0.00000486
1.4	0.00000329
1.6	0.00000234
1.8	0.00000165
2	0.00000108

Все решения, полученные выше, сведем в табл. результатов 1.5-2:

xi	y(xi)		Ei
0	-2	-2	0	-2	0
0.2	-1.99840128	-2	0.00159872	-1.9984013	0.00000002
0.4	-1.97472354	-1.9936	0.01887646	-1.9747234	0.00000014
0.6	-1.878287	-1.94272716	0.06444016	-1.8782863	0.0000007
0.8	-1.66002656	-1.7796822	0.11965564	-1.6600234	0.00000316
1	-1.33333333	-1.45535388	0.12202055	-1.33329	0.00004333
1.2	-0.98193244	-1.0317429	0.04981046	-0.9819373	0.00000486
1.4	-0.68474391	-0.66385398	0.02088993	-0.6847472	0.00000329
1.6	-0.46763936	-0.42199666	0.0456427	-0.4676417	0.00000234
1.8	-0.32006145	-0.27611256	0.04394889	-0.3200631	0.00000165
2	-0.22222222	-0.18718839	0.03503383	-0.2222233	0.00000108

Графическая иллюстрация решений