Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003
.pdf252 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
|
|
|
|
|
; |
|
|
Y11U10 |
Y12U 20 |
Y1, q 1U q 1, 0 |
=11 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Y21U10 |
Y22U 20 |
Y2, q 1U q 1, 0 =22 ; |
|
|
|||
. . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1. |
|
Yq 1,1U |
10 Yq 1, 2U 20 |
Yq 1, q 1U q 1, 0 |
=q 1, q |
|
|||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p |
|
|
p |
|
|
Ykk ak jYj aj k ; Yk m ak jYj aj m ; |
|
|
|
|
|||
=k k ak j (= j |
Yj E j ). |
||||||
j 1 |
|
j 1 |
|
|
j 1 |
|
|
Решив эту систему, найдем узловые напряжения, причем для k-ãî óçëà âåëè- ÷èíà U k 0 будет равна
|
|
|
1k |
|
|
2k |
|
q 1, k |
|
U k0 |
=11 |
|
=22 |
|
=q 1, q 1 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
где — главный определитель системы и km — его алгебраическое дополнение. В матричной форме решение системы узловых уравнений записывается в виде
U0 (AYAt )–1 A(= YE),
ãäå (AYAt)–1(AYAt) 1, ò. å. (AYAt)–1 — обратная матрица узловых проводимостей.
Если матрицу узловых проводимостей записать в виде 11 Yjk ||, то обратную ей |
||||||||||||||||||
матрицу запишем в форме |
|
Yjk |
|
–1 |
|
jk |
|
|
1 |
|
|
|
|
jk |
|
|
|
, ãäå è jk — определитель |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и его алгебраическое дополнение. По размерности элементы обратной матрицы проводимостей являются комплексными сопротивлениями.
В качестве примера составим уравнения по методу узловых напряжений для цепи, изображенной на рис. 5.14, à, в которой имеются источники ЭДС и тока:
=1 |
=1m sin(0t Α |
1); |
e5 |
E 5m sin(0t Α 5 ); |
e6 |
E 6m sin(0t Α |
6 ); |
e7 |
E 7m sin(0t Α 7 ); |
|
e8 E 8m sin(0t Α 8 ). |
Прежде всего запишем в комплексной форме все исходные данные, соответствующие схеме замещения цепи (рис. 5.14, á):
|
|
|
|
=1m |
|
|
jΑ |
|
|
|
|
jΑ |
|
|
|
|
|
|
|
jΑ |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jΑ |
6 |
|
|
|
|
|
jΑ |
7 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
=1e |
|
|
|
; |
E |
5 E |
5 e |
|
|
; |
|
E 6 |
E 6 e |
|
|
|
; |
|
E 7 |
E |
7 e |
|
|
; |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E 8 e |
|
jΑ8 |
; Y1 |
1 (r1 j0L1); Y2 |
|
1 r2 ; Y3 1 ( j0L3 ); |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
E 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Y |
4 |
|
1 |
r |
|
j0L |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
; Y |
5 |
1 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
Y |
6 |
|
j0C |
; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
j0C4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
j0C5 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
7 |
1 r ; Y |
8 |
1 |
j0L |
8 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j0C8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах |
253 |
Ðèñ. 5.14
Матрица соединений для графа схемы (рис. 5.14, â) равна (здесь, как и ранее, пустые клетки обозначают нулевые элементы)
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
À 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
–1 |
|
|
|
1 |
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|||||
Кроме того, можем записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
~ t |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
~ |
|
~ |
~ |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
U1 |
U |
2 U |
3 |
U |
4 U 5 |
U |
6 |
U |
7 |
|
|
|
U |
8 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
E |
t |
|
|
|
|
0 0 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E 5 |
E 6 |
|
E 7 |
|
|
E 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Y diag (Y1 |
Y2 |
Y3 |
|
|
|
|
|
Y4 |
Y5 |
Y6 |
Y7 |
|
|
|
Y8 ); |
||||||||||||||||||||||||||||||||
It |
|
|
|
|
|
|
I1 |
I 2 |
I 3 |
I 4 |
|
|
|
|
|
I 5 |
|
I 6 |
I 7 |
I 8 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 0 0 0 0 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
U0t |
|
|
|
|
U10 |
U 20 |
U 30 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь для удобства записи вместо матрицы-столбца напряжений обобщенных
~
ветвей U записана ее транспонированная матрица в виде матрицы-строки. Аналогичная запись сделана для остальных матриц-столбцов. Также для удобства
254 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
и квадратная диагональная матрица проводимостей цепи Y записана в краткой форме.
Имея в виду особенности матричного произведения AY и диагональный характер Y-матрицы, элементы матрицы AY можно записать непосредственно по матрице A (см. § 5.11). Имеем
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
|
8 |
|
|
|
1 |
–Y1 |
|
|
|
|
|
|
–Y6 |
Y7 |
|
Y8 |
|
|
||
AY 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y2 |
|
Y3 |
–Y4 |
|
Y6 |
–Y7 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Y4 |
–Y5 |
|
|
|
–Y8 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
Y1 + Y6 + Y7 + Y8 |
|
|
– Y6 – Y7 |
|
|
|
|
– Y8 |
|
|||||
è AYAt 2 |
– Y6 |
– Y7 |
|
|
|
|
Y2 + Y3 + Y4 + Y6 + Y7 |
|
– Y4 |
. |
|||||
3 |
– Y8 |
|
|
|
|
|
– Y4 |
|
|
|
|
|
Y4 + Y5 + Y8 |
|
Произведение AY íà At можно, конечно, получить по формальным правилам матричного умножения. Но этот же результат можно получить простым сопоставлением строк матрицы A (èëè AY), как это сделано в § 5.11 с матрицей контуров.
Произведение YE есть матрица-столбец, которая в транспонированном виде равна
|
(YE) |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
||
|
|
0 0 0 0 Y5 E 5 |
Y6 E 6 |
Y7 E 7 |
Y8 E 8 |
|
|
|
||||||||
что очень просто записать непосредственно по матрице E. |
|
|
|
|
||||||||||||
Òàê êàê |
(= YE) |
t |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, òî |
||
|
|
=1 |
0 0 Y5 E 5 |
Y6 E 6 |
Y7 E 7 |
Y8 E 8 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– =1 |
– Y6 E 6 + Y7 E 7 + Y8 E 8 |
|
|
|
|
=11 |
||||
|
A(= |
+ YE) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
– |
|
|||||
|
Y6 E 6 |
– Y7 E 7 |
|
|
|
= 22 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– Y5 E |
5 – Y8 E 8 |
|
|
|
|
|
|
= 33 |
определяет матрицу-столбец, элементы которой являются суммой тех элементов матрицы (= YE), номера которых совпадают с номерами столбцов матрицы A
с ненулевыми элементами. Например, во второй строке матрицы A имеются лишь следующие ненулевые элементы: a22 1, a23 1, a24 –1, a26 1, a27 –1. Следовательно, имеем сумму Y6E6 – Y7E7.
В результате всех операций получаем
258 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
|
~ |
~ |
|
~ |
|
|
|
|
Y11U1 |
Y12U 2 |
Y13U 3 |
=11; |
|
|
|
|
~ |
~ |
|
~ |
|
; |
|
|
Y21U1 |
Y22U 2 |
Y23U 3 |
= 22 |
|
||
|
~ |
~ |
|
~ |
|
, |
|
|
Y31U1 |
Y32U 2 |
Y33U 3 |
= 33 |
|
||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
Y11 Y1 Y4 Y5 Y6 ; |
Y22 Y2 Y5 Y6 ; |
||||||
Y21 Y12 Y5 Y6 ; |
Y13 Y31 Y4 Y5 ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
=11 |
= 6 Y1E1 Y5 E 5 ; |
= 22 |
= 6 |
Y5 E 5 |
|||
|
Y33 Y3 Y4 Y5 ; |
|
|
||||
|
Y23 Y32 |
Y5 ; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 33 Y3 E 3 |
Y5 E 5 . |
|
|
Все эти величины могут быть получены путем формальных матричных операций и анализа элементов матрицы D точно так, как это делалось в § 5.11 и 5.12.
Метод сечений и метод узловых напряжений сводятся к формированию и решению системы, состоящей из q – 1 уравнений, и в этом отношении они равноценны. Однако в методе узловых напряжений используется матрица соединений, составление которой во всех случаях является обязательным, если речь идет не о непосредственной записи уравнений при помощи визуального способа составления матриц контуров и сечений. При использовании вычислительных машин процедура составления матриц C è D должна быть формализована. Одним из таких методов является расчет матрицы F через подматрицы A1 è A2. Поэтому в вычислительном отношении метод узловых напряжений более экономичен. Однако методы сечений и контурных токов позволяют выделить те напряжения и токи, которые могут представлять непосредственный интерес, а поэтому данные методы даже в отношении использования вычислительной техники имеют свои области применения.
5.14. Метод смешанных величин
При решении некоторых задач, особенно задач расчета переходных процессов, часть ветвей целесообразно характеризовать сопротивлением, а другую часть — проводимостью, т. е. для части схемы может быть задано Iy YyUy, а для другой части — Uz ZzIz. Здесь индексы y è z показывают принадлежность матриц y- èëè z-ветвям (назовем для краткости ветви, характеризуемые проводимостью, y-в е т в я м и, а ветви, характеризуемые сопротивлением, z-â å ò â ÿ ì è).
Различный вид записи закона Ома предопределяет и выбор соответствующих искомых величин. Для Y-части схемы (часть схемы или графа схемы, содержащая только y-ветви) целесообразно в качестве искомых величин выбирать напряжения ветвей дерева. Для Z-части схемы (часть схемы или графа схемы, содержащая только z-ветви) целесообразно в качестве искомых величин (искомых переменных, как иногда говорят) выбирать токи в связях. Исходя из этой особенности, следует y-ветви отнести к ветвям дерева и только при невозможно-
260 Часть 2. Теория линейных электрических цепей
ãäå
1 Fyyt Dy.
Соответственно такому разделению топологических матриц должно быть проведено разделение матриц Z è Y. Каждая из этих матриц будет состоять из двух диагональных блоков. Согласно приоритету ветвей, в верхней левой части будут расположены ветви, отнесенные к дереву, в нижней правой части — отнесенные к связям. Соответственно, верхним подматрицам параметров ветвей дерева припишем нижний индекс 1, нижним подматрицам параметров связей — нижний индекс 2. Эти матрицы будут иметь вид
Yy |
Y1 |
|
; |
Zz |
Z1 |
|
. |
|
Y2 |
|
Z2 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицы-столбцы токов, напряжений, источников ЭДС и тока также разделим по этому принципу. Имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
E1y |
|
|
|
|
=1y |
|
|
|
|
|
|
I1y |
|
|
|
|
|
|
|
U1y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
~ |
|
~ |
|
|
~ |
|
|
E 2y |
|
E y |
|
|
=2y |
|
= y |
|
|
|
I2y |
|
|
Iy |
|
|
|
U2y |
|
|
Uy |
|
|
|
|
|
|
||||||||
I |
|
|
|
|
; |
U |
|
|
|
|
|
|
; E |
|
|
|
; |
= |
|
|
|
, |
|||
~ |
|
~ |
~ |
|
~ |
|
E1z |
E z |
=1z |
=z |
|||||||||||||||
|
|
I1z |
|
|
Iz |
|
|
|
|
U1z |
|
|
Uz |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
E 2z |
|
|
|
|
=2z |
|
|
|
|
|
I2z |
|
|
|
|
|
|
|
U2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ãäå |
Iy |
|
I1y |
|
; |
|
Iz |
|
I1z |
|
è ò. ä. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I2y |
|
|
|
I2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применим к части графа схемы, составленной из y-ветвей, метод сечений. Запись уравнений будет аналогична записи системы уравнений для сечений
(ñì.t |
~§ 5.13) с дополнительным членом, учитывающим токи z-связей, равным |
||||
–FzyI |
2z . Имеем |
|
|
|
|
|
|
t ~ |
t ~ |
Dy (YyE y |
=y ). |
|
|
Dy YyDy U1y |
FzyI2z |
Глава 5. Расчет цепей при синусоидальном и постоянном токах |
261 |
Точно так же, если применить метод контурных токов к части графа, состав-
ленной из z-ветвей, можно записать матричное уравнение, аналогичное получен-
~
ному в § 5.11 с добавлением напряжений y-ветвей дерева, которые равны FzyU1y .
Имеем
t ~ |
~ |
Cz (Z z=z E z ). |
CzZ zCzI2z |
FzyU1y |
Эти уравнения можно записать вместе:
D Y D |
t |
F |
t |
|
|
~ |
|
|
D |
(Y E |
|
= |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
||||||
y y |
y |
|
zy |
t |
|
~ |
1y |
|
y |
y |
y |
y |
|
. |
Fzy |
|
C zZ zC z |
|
I2z |
|
C z (Z z=z E z ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта система матричных уравнений и составляет систему уравнений для смешанных величин.
Нетрудно заметить, что если все ветви схемы отнести или к y-ветвям, или к z-ветвям, то получим, соответственно, уравнение метода сечений или метода контурных токов.
Для графа схемы (рис. 5.15) имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ðèñ. 5.15 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ y-связь |
4 |
–1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
–1 |
|
|
–1 |
1 |
|
|
Η |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ |
1 |
–1 |
–1 |
|
|
|
1 |
|
||
7 |
|
|
|
|
Ι z-связь |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
–1 |
|
1 |
|
–1 |
|
|
1 |
Κ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
–1 |
1 |
Η |
2 |
|
1 |
|
–1 |
|
1 |
1 |
|
ϑ |
|
|
|
|
Ι y-дерево |
|||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
ϑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
–1 |
Κ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Γ z-дерево |
5 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|