13 Лабораторна робота № 10
Тема: «Алгоритми для роботи з матрицями»
Теоретичні відомості
Робота з матрицями - серце наукових розрахунків, тому ефективні алгоритмидля роботи з матрицями представляють значний практичнийінтерес.
Властивості матриць. Матриці і вектори
Матриця (matrix) є прямокутним масивом чисел. Наприклад,
(2.1)
є матрицею розміру 2 x 3 А = (aij), деi= 1,2 і j = 1,2,3. Елемент на перетиніi-горядка і j-гo стовпця матриці -aij. Ми використовуємо заголовні букви для позначення матриць, а їх елементи позначаються відповіднимималенькими буквами з нижніми індексами. Безліч усіх матриць розміромmxn, елементами яких є дійсні числа, позначається як Rm х n. У загальному випадку безліч матриць розміромmxn, елементи яких належать множиніS, позначається як Smxn.
Транспонована (transpose) матриця АТвиходить з матриці А шляхом обміну місцями її рядків і стовпців. Так, для матриці А з (2.1)
Одиничним вектором (unit vector) еі називається вектор, і-й елемент якого дорівнює 1, а усі інші елементи дорівнюють 0. Зазвичай розмір одиничного вектору ясний з контексту.
Нульова матриця (zero matrix) - це матриця, усі елементи якої дорівнюють 0. Така матриця часто записується просто як 0, оскільки неоднозначність меж числом 0 і нульовою матрицею легко вирішується за допомогою контексту. Якщо розмір нульової матриці не вказаний, то він також виводиться з контексту.
Часто доводиться мати справу з квадратними (square) матрицями розміром n х n. Деякі з квадратних матриць представляють особливий інтерес.
1. Діагональна матриця (diagonal matrix) має ту властивість, що аij= 0 при i ≠ j. Оскільки усі недіагональні елементи такої матриці дорівнюють 0, діагональну матрицю можна визначити шляхом перерахування її елементів уздовж діагоналі:
2. Одинична матриця (identity matrix) In розміром n х n є діагональною матрицею, усі діагональні елементи якої рівні 1:
Якщо використовується позначення I без індексу, розмір одиничної матриці визначається з контексту. Помітимо, щоi-м стовпцем одиничної матриці є одиничний вектор еi.
3.Верхньо-трикутною матрицею(upper - triangular matrix) U називається матриця, у якої усі елементи нижче діагоналідорівнюють 0 (uij= 0 приі> j) :
Верхньо-трикутна матриця є одиничною верхне-трикутноюматрицею(unit upper - triangular), якщо усі її діагональні елементи дорівнюють 1.
4. Нижньо-трикутною матрицею (lower - triangular matrix) L називається матриця, у якої усі елементи вище за діагональ дорівнюють 0 (lij = 0 при i < j) :
5. Матриця перестановки(permutation matrix) Р має в кожному рядку і стовпці рівно по одній одиниці, а на усіх інших місцях розташовуються нулі. Прикладом матриці перестановки може служити матриця
Така матриця називається матрицею перестановки, тому що множення вектору х на матрицю перестановки призводить до перестановки елементів вектору.
6. Симетрична матриця(symmetric matrix) А задовольняє умові А = АТ. Наприклад, матриця
является симетричною.