pizhurin_a_a_pizhurin_a_a_modelirovanie_i_optimizaciya_proce

стандартную симплексную таблицу с оптимальным нецелочисленным ре­ шением ЗЛП.

4. Решить вновь полученную ЗЛП симплекс-методом. Если полу­ ченное решение удовлетворяет условию целочисленности, то исходная за­ дача решена. В противном случае следует вернуться к п. 2.

Этот алгоритм гарантирует получение оптимального решения зада­ чи целочисленного программирования (4.90) - (4.93) за конечное число итераций, если это решение существует.

4.6. Экономико-математический анализ решения задач оптимизации

Этот этап оптимизационного исследования выполняется вслед за отысканием оптимального решения задачи. Здесь можно выделить три стадии. Прежде всего полученное решение подвергается содержательной интерпретации, т. е. объясняется с позиций технологии и физики происхо­ дящих явлений.

Далее проводят вариантный анализ. Он заключается в решении оп­ тимизационной задачи при изменении некоторых исходных данных. Здесь могут проводиться расчеты при различных целевых функциях; при введе­ нии некоторых дополнительных ограничений на ресурсы и способы их ис­ пользования или при исключении каких-либо ограничений; при дополни­ тельных условиях, связанных с целочисленностью переменных или с не­ линейностью отдельных зависимостей; при различных значениях некото­ рых параметров задачи.

На третьей стадии выполняется послеоптимизационный анализ. По его результатам определяют чувствительность изменения целевой функ­ ции к единичным изменениям параметров в ограничениях, а также харак­ тер и степень изменения результатов решения задачи в зависимости от из­ менения диапазонов варьирования переменных и коэффициентов целевой функции. При анализе задач линейного программирования здесь исполь­ зуют результаты решения двойственной задачи (см. п. 3.6). В этом случае, например, двойственные оценки дефицитных видов ресурсов покажут, на­ сколько увеличится значение целевой функции, если заданный объем ре­ сурсов увеличить на единицу. Послеоптимизационный анализ ЗЛП позво­ ляет определить также пределы изменения переменных и коэффициентов целевой функции, при которых сохранится полученный оптимальный план, оценки изменения значения целевой функции при единичном увели­ чении или уменьшении значения каждой из переменных по отношению к ее оптимальному значению. Эти сведения дают возможность сформулиро­ вать требования к точности исходных данных, выявить параметры, к изме­ нению которых оптимальное решение наиболее чувствительно.

Тенденции и закономерности, выявленные по результатам эконо- мико-математического анализа решения задачи, зачастую оказываются даже полезнее, чем сам по себе численный результат: последний часто ну­ ждается в корректировке из-за тех или иных допущений, при которых ре­ шалась задача.

4.7. Примеры решения оптимизационных задач в деревообработке

4.7.1. Оптимизация процесса фотохимического отверждения полиэфирных лаков

Предварительно выявлены основные управляемые факторы процес­ са фотохимического отверждения1: время т и интенсивность I облучения покрытия, температура покрытия Т в момент формирования, управлять ко­ торой можно за счет обдува его воздухом с определенной скоростью v ; длительность Т выдержки после облучения для достижения необходимых технологических свойств. Требовалось найти такие значения перечислен­ ных факторов, при которых покрытие имело бы необходимую твердость Я, а также наилучшие значения прочностных характеристик, определяющих его долговечность и стойкость к механическим нагрузкам и переменным температурам. Исходя из этого, в качестве целевой функции выбран сово­ купный критерий W, представляющий собой сумму коэффициентов кр и &а, определяющих запас когезионной и адгезионной прочности:

где а р и а а- предел когезионной и адгезионной прочности; ав - внутрен­

нее напряжение в покрытии.

Основное ограничение в задаче связано с необходимостью дости­ жения заданной технологической твердости покрытия. Учитывая, что твердость # 2 со стороны подложки меньше твердости Я 1 сверху покры­

тия и что адгезионная прочность определяется свойствами покрытия со стороны подложки, было решено накладывать ограничения только на твердость Н 2 со стороны подложки. В качестве ее предельного значения

принята величина # 2пр = 80 МПа. Таким образом, это ограничение имеет

вид Н 2 > 80 МПа. По результатам эксперимента, проведенного для двух

марок лаков - ПЭ-246ФО и ПЭ-2106, - найдены регрессионные зависимо­ сти параметров а р, оа, gb, W и Н2 в виде многочленов второго порядка от

'Крисанов В. Ф. Фотохимическое отверждение полиэфирных покрытий на де­ ревянных подложках. Автореф. диссертации на соискание ученой степени канд. техн.

наук. - М., 1982.

переменных т, 7, v, Т. Диапазоны их варьирования для лака ПЭ-246ФО: 1< т, мин, <4; 7,5</, уел. ед., <30; 0< v, м/с<6; 1 <Г, ч, <47.

Одним из достоинств фотохимического способа отверждения явля­ ется возможность обработки покрытия сразу после сушки. Поэтому опти­ мальный режим отверждения отыскивали при минимальном времени Т выдержки после облучения, т. е. при Т = 1 ч. Регрессионные зависимости для параметров W и Н 2 с учетом подстановки Т= 1 ч вошли в математиче­

скую модель задачи оптимизации, которая приобрела следующий вид (для лака ПЭ-246ФО):

W = 1,5762 -1,63333*- 3,2535х2 - 1,2843*3 +1,056*? + 4,471*| - 0,0037*32 +

Вследствие небольшой размерности полученной задачи не­ линейного программирования (4.96) - (4.98) для ее решения был использо­ ван простейший с точки зрения реализации метод перебора (п. 4.4.5). В ре­ зультате получено следующее решение задачи: х х- -0,107; *2 =-1;

*3 = + 1, или в исходных обозначениях переменных: т = 2,34 мин; I = 7,5

уел. ед.; v = 6 м/с, представляющее собой оптимальный режим отвержде­ ния для лака ПЭ-246ФО. Соответствующее значение целевой функции равно 6,28.

4.7.2. Оптимизация режимов рамного пиления древесины

Математическая модель этой задачи приведена в п. 4.1.2. Ог­ раничимся здесь рассмотрением упрощенного варианта задачи. На лесо­ пильной раме РД75-7 распиливают брусья. Диапазон значений их высоты Я б составляет 100 < Я б, мм, < 300. Элементы решения задачи - это рас­ смотренные в п. 4.1.2 параметры s, t, L. В данном варианте значение

жесткости пил зафиксировано на уровне 80 Н/мм, что позволяет считать заведомо выполненным ограничение по устойчивости пил и в дальнейшем его не учитывать.

Будем оптимизировать процесс по критерию максимальной произ­ водительности, измеряемой в кубометрах пиломатериалов, вырабатывав-

мых за смену. Воспользуемся формулой (4.8), выражающей штучную про­ изводительность лесопильной рамы. Примем в ней: К0б = 0,8; Гсм = = 480 мин; Н —600 мм; « = 320 мин-1; tn =20 мин; « = 0,9# б.

(4.100)

Искомое представление для целевой функции будет получено, если это выражение умножить на объем Vu пиломатериалов, вырабатываемых из одного бруса. Для простоты будем учитывать лишь пиломатериалы полной длины. Их объем можно вычислить как разность между объемом V6p четырехкантного бруса и объемом пропилов . Предполагая, что че­

тырехбитный брус имеет форму прямоугольного параллелепипеда, полу­ чим

К = V6p - = Н6 т0/ / 106 - Я 6(z0 - l)(s + 2Л) / / 106 =

(4.101)

где т0- ширина основного постава;

z0 - число пил, формирующих доски полной длины; Л - величина уширения зубьев пил на сторону.

Примем т0 = 1,3 Н6\ z0 = z - 2, где z - общее число пил постава; X= 0,8 мм. Тогда

Толщина s и шаг t зубьев пил могут принимать только стандартные значе­ ния:

Величина пути резания L, км, также может принимать лишь дис­ кретные значения в зависимости от числа 0 перестановок пил в течение рабочей смены. Будем считать, что для 0 возможны лишь значения 1 или 2. Для величины L в п. 4.1.2 получена формула

Диапазон значений подачи на зуб uz определен исходя из предвари­ тельно выбранной области изменения посылки А: 14 < А, мм,<50. Эти две величины связаны известной формулой

Подставив сюда граничные значения А, а также Н = 600 мм, полу­

чим

Ограничение по работоспособности впадин зубьев пил имеет вид (4.9). При данном соотношении величин Я и / г и с учетом требований ГОСТ 7016-82 к шероховатости поверхности пиломатериалов оно пере­ пишется в виде

Предположим, что число пил в поставе не больше 8. Это позволит не учитывать ограничение по мощности привода лесопильной рамы, по­ скольку в этом случае оно всегда будет выполняться. Тогда остаются толь­ ко ограничения по качеству обработки пиломатериалов. Среди них рас­ смотрим лишь ограничение по точности их размерообразования. Его об­ щий вид определяется неравенством (4.12). В явном виде это ограничение получено по результатам многофакторного эксперимента. При данных диапазонах варьирования факторов и приведенных выше числовых значе­ ниях параметров, а также с учетом требований ГОСТа к точности размеро­ образования пиломатериалов оно записывается следующим образом:

~ (4.105), (4.107), (4.109) - (4.111) легко решить методом перебора, объем которого невелик благодаря сделанным упрощениям и ограниченному на­ бору значений дискретных переменных s, t и 0 . Величина и2 вычисляется по формуле (4.108) для каждого из значений А, равных 14, 16, 18, ...,

50 мм. Задача была решена для шести значений высот брусьев: Яб=100; 140; 180; 220; 260; 300 мм. Результаты решения сведены в табл. 4.3.

Характер изменения оптимальных режимов в зависимости от высо­ ты Hq распиливаемых брусьев иллюстрируется рис. 4.22.

Т а б л и ц а 4.3

При Я б =100 и 140 мм оптимальные режимы одинаковы и соответ­

ствуют предельно допустимым значениям факторов: максимальному зна­ чению и2 и минимальным величинам s, t и ©. Это объясняется тем, что

при данных высотах пропила ни одно из ограничений (4.110) и (4.111) еще не оказывает влияния на процесс, а увеличению целевой функции способ­ ствует возрастание uz и уменьшение значений я, / и 0 (см. (4.100) и

(4.107)). При Я б =180 мм оба эти ограничения уже вступают в силу. Пер­

вое из них заставляет увеличить шаг зубьев до 26 мм, а второе увеличить толщину пил и снизить путь резания за счет увеличения 0 . Благодаря это­ му величина uz снизилась лишь незначительно по сравнению с предыду­

щим значением, относившимся к высоте брусьев 140 мм: 1,81 вместо 1,83 мм. При дальнейшем росте Я б приходится дополнительно уменьшать по­

дачу на зуб uz.

При этом резерв увеличения 0 уже исчерпан, а увеличение толщи­ ны пил до предельного значения еще невыгодно из-за роста потерь в опил­ ки. Поэтому уменьшение uz происходит интенсивнее, чем раньше (рис.

4.22, а). При Я б= 300 мм оказалось целесообразным перейти на еще более

толстые пилы при одновременном снижении подачи на зуб (рис. 4.22, б). Несмотря на уменьшение и2, производительность Я по выработке пилома­ териалов возрастает с ростом Яб (рис. 4.22, г) из-за более быстрого увели­ чения объема распиливаемых брусьев. Вид зависимости Lom от Н6 , изо­

браженной на рис. 4.22, в, объясняется противоположным характером влияния на этот параметр факторов 0 иЯ б (см. 4.106).

мм t мм s 35

30

25

20

км L

0

2

1 I-

0

Рис. 4.22. Графики зависимостей оптимизируемых параметров от высоты бруса:

а- uz \ б- s и t\ в - L и 0; г - П

4.7.3.Оптимальные параметры древесностружечных

плит для корпусной мебели

Решали задачу отыскания оптимальных параметров конструкцион­ ных ДСтП (Буткус С. С. Рациональные параметры древесностружечных плит для корпусной мебели. Автореф. дис. на соискание ученой степени канд. техн. наук. - М., 1986). Следовало определить плотность и расход связующего, необходимые для изготовления ДСтП, способных восприни­ мать заданные нагрузки. При этом минимизировались затраты на сырьевые компоненты, идущие на производство 1 м2 ДСтП. Целевая функция, мини­ мизирующая стоимость древесины и связующего, представлена в следую­ щем виде:

(4.113)

(4.114)

где а и Ей - соответственно предел прочности и модуль упругости при изгибе, МПа;

[М] и [у] - соответственно нормативные значения изгибающего момента и прогиба, Н-м, мм/м;

/ - длина пролета горизонтального элемента, м; q - нагрузка, кг/м.

Для определения связи показателей ои и £ и с элементами решения - плотностью плит и расходом связующего - были получены линейные рег­ рессионные зависимости:

где 6,-- коэффициенты регрессии, i=1, 2,..., 6.

Подставив выражения для аи (4.115) в (4.113) и £и (4.116) в (4.114),

Диапазоны варьирования переменных g ,p и h ограничены:

(4.119)

В результате поставленная задача сведена к задаче нелинейного программирования (4.112), (4.117) - (4.119). Для ее решения разработан специальный алгоритм. Решение задачи с его помощью позволило полу­ чить оптимальные параметры ДСтП для корпусной мебели.

4.8. Применение методов оптимизации в системах автоматизированного управления технологическими процессами деревообработки

4.8.1. Управление раскроем пиловочного сырья в автоматизированном лесопильном цехе

Методы оптимизации широко используются для оперативного управления технологическими процессами в условиях функционирования АСУ. При этом функции управления процессом выполняет вычислитель­ ная техника. В зависимости от конкретной ситуации возможны различные принципы ее использования. В одних случаях всеми стадиями технологи­ ческого процесса управляет единственная ЭВМ. В других случаях система управления содержит несколько ПЭВМ, каждая из которых управляет оп­ ределенным участком технологического процесса. Основная функция ЭВМ заключается в переработке входных данных - о характеристиках сы­ рья, требованиях к готовой продукции и т. д. - и выдаче информации о не­ обходимом уровне управляющих воздействий, в частности об оптималь­ ных режимах технологического процесса. Для этого ЭВМ снабжают про­ граммами решения соответствующих задач, в том числе оптимизацион­ ных.

Например, один из возможных вариантов построения техно­ логической схемы участка раскроя бревен в автоматизированном лесо­ пильном цехе [9] состоит из двух технологических линий. На первой рас­ краивается тонкомерное, а на второй - крупномерное сырье. Остановимся подробнее на второй линии (рис. 4.23). Система содержит ЭВМ, в которую заранее введена информация о спецификации вырабатываемых пиломате­ риалов. Первоначально бревно проходит через систему датчиков, с по­ мощью которых замеряются его основные параметры и характеристики формы: длина, диаметры в определенных сечениях, кривизна.

Эти данные поступают в ЭВМ, которая вырабатывает информацию о необходимом положении режущих инструментов, а также об оптималь­ ном положении и ориентации бревна относительно постава пил, с тем, чтобы обеспечить максимальный объемный выход пиломатериалов при за­ данной спецификации. Для решения этой довольно сложной оптимизаци­ онной задачи разработаны специальные алгоритмы и программы. В соот­ ветствии с информацией, полученной от ЭВМ, специальная система рыча­ гов ориентирует бревно и направляет его в линию раскроя.

Первоначально бревно проходит через фрезерные станки для при­ дания плоской формы основанию и двум сторонам бревна, затем - через сдвоенный брусующий ленточнопильный станок. Боковые доски с него поступают на один из двух обрезных станков. Полученный брус подается на следующий фрезерный станок, который обрабатывает его четвертую

Рис. 4.23. Схема участка раскроя бревен в автоматизированном лесопильном цехе: СОО - система обмера и ориентации бревен; ФС - фрезерные станки;

ЛП - ленточнопильные станки; ОС - обрезные станки

сторону, а затем брус поступает на пятипильный ленточнопильный станок, где распиливается на доски. Наряду с ориентацией бревен ЭВМ управляет и системой центрирования брусьев, поступающих на ленточнопильные станки, а также периодически дает команду на перестановку пил этих станков, корректируя схемы раскроя пиловочного сырья, с учетом уже вы­ полненной части спецификации.

Еще более совершенной является система, в которой датчики пере­ дают в ЭВМ информацию не только о форме бревна, но и о его пороках, прежде всего о сучках. В этом случае ЭВМ управляет ориентацией и рас­ кроем бревна уже с позиций максимума его ценностного выхода.

4.8.2. Управление процессом сушки древесных частиц в производстве ДСтП. Понятие о самонастраивающихся системах управления

Уровень влажности стружечной массы оказывает существенное влияние на процесс прессования древесностружечных плит. Чрезмерная влажность увеличивает время прессования и вызывает вздутие и расслаи­ вание плит. Недостаточная влажность приводит к снижению прочности плит и затруднениям при их склеивании.

Сушка древесных частиц осуществляется в сушильных агрегатах, в качестве которых чаще всего используют сушильные барабаны. Сушиль­ ным агентом обычно являются топочные газы, которые поступают в су­ шильный барабан смешанными с воздухом.

Регулирование влажности измельченной древесины может дости­ гаться изменением количества и температуры топочных газов, подаваемых в сушильную камеру; скорости подачи стружечной массы, продолжитель­ ности сушки.