9_физ_1(векторы)

sin V/u 3 / 5 , 37о, = 90о – 53о.

Пример 20. (*) Лодка пытается пересечь реку, текущую со скоро-

стью u = 5 км/ч. Скорость лодки в стоячей воде V = 3 км/ч. Под каким

углом к нормали к берегу надо направить корпус лодки,

чтобы ее

снесло как можно меньше? Под каким углом к нормали к берегу бу-

дет при этом плыть лодка?

Решение. В данном примере скорость лодки относительно воды

меньше, чем скорость воды в реке, V < u, поэтому реализовать план из

предыдущего примера (рис. 35) невозможно. Наша цель состоит в том,

чтобы направить корпус лодки под таким углом к нормали к берегу,

чтобы сносимая течением лодка двигалась под углом , по возможно-

сти наименьшим (см. рис. 36а - в). В данном примере складывать ско-

рости (лодки относительно воды V и воды в реке u ) удобно по прави-

лу треугольника, а не параллелограмма: приставим начало вектора V

к

концу вектора u. Выбирая оптимальный план (с наименьшим углом

сноса), будем мысленно поворачивать вектор V . При этом конец век-

тора будет описывать окружность с центром в конце вектора u . Из ри-

сунков 36 а-в видно, что минимальному углу сноса лодки

соответ-

ствует случай, когда вектор v V u направлен по касательной к этой

окружности. При этом вектор V v, т. е.

треугольник скоростей на

V

37

о

;

V

рис. 36в прямоугольный. Отсюда получаем: sin = V/u = 3/5;

u

u

u

V

v

V

V

v

v

Рис. 36а

Рис. 36б

Рис. 36в

Пример 21. (*) Лодку вытягивают из воды, стоя на крутом берегу и

выбирая верёвку, которая привязана к носу лод-

v

ки, со скоростью v

(см. рис. 37). Какой будет

Vu=?

скорость лодки u в момент, когда верёвка будет

составлять

угол

с

горизонтом?

Верёвка

нерастяжима.

Рис. 37

Не верно!

Верно!

v

v

v

v

u

u

Рис. 38а

Рис. 38б

Решение. Традиционная ошибка решающих эту задачу состоит в

том, что пытаются разложить движение лодки на два направления –

горизонтальное и вертикальное, делая (неправильное!) построение,

как показано на рис. 38а и получая неверный ответ u =

v cos . Что

здесь не правильно? В отличие от самолета из примера 17, который

двигался под отличным от нуля углом к горизонту (см. рис. 33), здесь

лодка движется горизонтально! Сделаем другое разложение скорости

лодки u по двум направлениям – вдоль веревки (в данный момент

времени!) и перпендикулярно ей (см. рис. 38 б).

Проекция вектора u на направление веревки будет равна скорости v ,

с которой выбирают верёвку: v u cos , поэтому

u

v

.

cos

Поясним еще, почему проекция вектора u

на направление верёвки

будет равна скорости v ,

с которой выбирают верёвку. Если мы имеем

абсолютно твёрдое тело (АТТ), деформациями в котором можно прене-

бречь, или нерастяжимую нить (но уже макси-

мально натянутую), то как бы ни двигались АТТ

vB

vB

или нерастяжимая нить, они будут обладать сле-

vA

vA

дующим свойством. Возьмём две произвольные

точки А и В нити или АТТ и мысленно соединим

их прямой. Тогда составляющие скоростей вы-

бранных точек вдоль этой прямой в любой мо-

A

vA|| B

vB||

мент времени будут равны друг другу: vA|| vB||

Рис. 39

(см. рис. 39). В противном случае изменялось бы

расстояние между точками А и В. Составляющие скорости, перпенди-

кулярные отрезку прямой АВ, могут быть при этом любыми.

2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

Лукьянов Андрей Александрович

или к ней не подключили дополнительно мотор).

Решение задачи такое же, как в примере 21. В

данном примере важнейшими словами являются

v

«Тросы нерастяжимы». Ясно, что правильное по-

u

строение, учитывающее это условие, должно быть

v

таким, как на рис.43, откуда немедленно получаем

v

Рис. 43

v u cos , поэтому u cos . Тогда в предель-

ном случае, когда 0 , имеем u v , как и должно быть.

Решение: В данном

случае

четырехугольник

2

рис. 44

будет

прямоугольником

– см. рис. 46

v2

(т. е. все же параллелограммом).

По определению

90o- 1

тангенса

угла

tg 1 v2 /v1 = 2, откуда,

пользуясь

u

калькулятором, находим

1

63о;

2

90

27о.

1

1

Модуль скорости буксируемой лодки найдем по

v1

теореме Пифагора (раз уж у нас «случайно» появи-

1

лись прямоугольные треугольники): u

v2

v2 =

1

2

Рис. 46

v2 2v 2

5 v 2,2 v.

Контрольные вопросы

V

1. Может ли модуль вектора быть отрицательным числом?

.

2. a (4; ) , а = 0. Определить

3. Определите углы между векторами a и b , изображенными на ри-

сунках 47а - б.

b

b

a

135o

a

135o

Рис. 47а

Рис. 47б

ложенных к телу в точке A

и действующих вдоль

F1=4Н

одной прямой (рис. 48).

Модули сил указаны

F2=5Н A

F3=6Н

на рисунке.

Рис. 48

дикулярную поверхности плоскости?

Рис. 49

Задачи

( 1;3)

( ;6)

коллинеарны друг другу. Опре-

1. Векторы a

и b

действующие на тело. Силы приложены в

F2=2Н

одной точке и лежат в одной плоскости.

F3=3Н

F4=5Н

Их модули и направления указаны на ри-

F1=2Н

сунке. Определите модуль и направление

Рис. 50

равнодействующей этих сил.

A

весом Q = 12 Н (см. рис. 51). Определите

Q E

D

60o

силы со стороны жёлоба на шар в точках

30o

B

D и E.

Рис. 51