game_theory

судьей i = 1, 2.Пусть p — вероятность того,что подсудимый невиновен.Если подсуди мый невиновен,то каждый судья i получает сигнал ti = I с вероятностью 1.Если подсудимый виновен,то ti = I с вероятностью 12 и ti = G с вероятностью 12 .Подсудимый будет осужден, только если оба судьи обвинят его.Выигрыш судьи составляет 1если принято правильное решение(осужден виновный или оправдан невиновный), 0если оправдан виновный,и a < 1 если осужден невиновный.Найдите байесово равновесие.

10.На рынке мобильной телефонной связи присутствуют две фи рмы.Предположим,что фирмы конкурируют друг с другом путем объявления цен p1, p2 (в рублях за минуту)на свои услуги(см.задачу22ко Главе1).Фирма i = 1, 2 дальше обязуется обслужить всех клиентов,желающих приобрести ее услуги по ее цене pi. Спрос на продукцию фирмы i есть

независимые случайные величины.Найдите байесово равнове сие.

фирме1).Найдите равновесие,которое будет состоять из q1(0) (выпуск фирмы1,если ей не известен c2), q1(H) (выпуск фирмы1,если ей известно,что c2 = H), q1(L) (выпуск фирмы1,если ей известно,что c2 = L), q2(H) и q2(L).

12.Три деревни решают,строить ли плотину на порядком обмел евшей местной речке.Множество исходов C выглядит так:

aОставить все как есть.Издержки этого варианта равны ca = 0.

bПостроить маленькую плотину,это позволит решить проблемы с водой для орошения полей.Издержки этого варианта равны cb = 60.

cПостроить маленькую плотину и шлюз для небольших судов.Это не только решает проблему с орошением,но и позволяет без проблем подниматьс я вверх по реке на лодке.Издержки этого варианта равны cc = 120.

dПостроить большую плотину и поставить мини-электростанцию.Большая плотина в довесок к орошению и судоходству позволяет производить электричество в достаточном количестве для всех трех деревень,но часть ценных полей ока зывается затопленными.Издержки этого варианта равны cd = 300.

У каждого игрока существуют два типа: T1 = T2 = T3 = {1, 2}.Типы игроков равновероятны и распределены независимо.Пусть Ri(j, t) — доход игрока i = 1, 2, 3 при реализации варианта j = a, b, c, d,если тип этого игрока равен t = 1, 2.Нам известно следующее:

(a)Первый вариант приносит нулевой выигрыш всем игрокам.

(b)Первая деревня находится непосредственно около предпо лагаемой области затопления и ясно,что для них важно нормальное судоходство и поймен ные луга.Но непонятно,насколько они готовы променять луга на электричеств о.

Так что

(R1(a, 1), R1(b, 1), R1(c, 1), R1(d, 1)) = (0, 15, 30, 81)

При определении индивидуальных полезностей деревень от выбора проекта предполагаем,что издержки от строительства распределяются поровну м ежду деревнями.

(a)Определите оптимальный исход для каждого набора типов и гроков.

(b)Пусть для принятия решения используется «наивный» меха низм:то есть каждую деревню спрашивают,во сколько они ценят каждый исход(или к акой из двух типов истинный),после чего реализуется заданная выше функция об щественного выбора. Выгодно ли хоть какой-то из деревень сообщать неправду если все остальные сообщают правду?

(c)Пусть выбор проекта осуществляется в соответствии с мех анизмом Кларка(издержки по-прежнему делятся поровну):

i.Найдите дополнительные платежи для каждого набора типов игроков. ii.Найдите вероятность реализации каждого из4-х исходов.

iii.Все ли деревни захотят участвовать в таком механизме?

13.Пусть множество альтернатив задано как C = {a, b, c},множество состояний — T = {1, 2}. Пусть существуют два индивида со следующими предпочтениями: u¯1(a, 1) > u¯1(c, 1) >

u¯1(b, 1), u¯2(c, 1) > u¯1(b, 1) > u¯1(a, 1), u¯1(c, 2) > u¯1(a, 2) > u¯1(b, 2), u¯2(b, 2) > u¯2(c, 2) > u¯2(a, 2).Рассмотрим следующее правило общественного выбора: f(1) = a, f(2) = b. По -

кажите,что f удовлетворяет свойству монотонности по Маскину,но не явля ется Нэшреализуемым.

14. (Мулен1980).Рассмотрим задачу принятия коллективног о решения путем опроса на стр. 131).Докажите,что функция общественного выбора f(t) = med(t) реализуема в доминирующих стратегиях при помощи механизма g(θ) = med(θ),то есть при использовании этого механизма, θi = ti является слабо доминирующей стратегией для всех i,всех ti [0, 1].

15.Пусть M = A, g — механизм.Пусть fM (t) C — множество исходов,которые достигаются как равновесие в доминирующих стратегиях при механизме M для данного t. Докажите,что для всех t, fM (t) содержит не более одного элемента.

16.Докажите Теорему Мэя (Мэй, 1952).Пусть C = {−1, 1}.Пусть для каждого игрока i,

Докажите,что при нечетном N единственная функция,удовлетворяющая этим свойствам

— это правило большинства: f(t) равна знаку &i ti,а при четном N таких функций общественного выбора не существует.

17.Докажите,что во всех аукционах с резервационной ценой, в которых покупатель с наи-

даваемого товара для двух покупателей равномерно распределены на [0, 1] и [0, V ], где

V > 0.

(a)Найдите равновесные заявки покупателей.

(b)Будет ли аукцион первой цены в таком случае эффективен — т о есть будет ли товар всегда продан покупателю с наибольшей оценкой?

19.Городская администрация продает с аукциона2земельных участка.Участки совершенно

за участок.Оценка каждого участника аукциона — случайная в еличина,равномерно распределенная на [0, 1].Найдите равновесные заявки,если

(a)Участки продаются покупателям с двумя самыми высокими з аявками,по цене третьей заявки.

(b)Участки продаются покупателям с двумя самыми высокими з аявками,по цене этих заявок.

20.Рассмотрим игру «война на выживание».Два человека деру тся друг с другом.Каждый человек i = 1, 2,до начала драки,решил,какое максимальное время si он готов драться. Следовательно,если s1 < s2,то побеждает второй человек,причем они дерутся в течение времени s1.Если игрок i — победитель,то он получает приз θi, где θi — частная инфор-

мация.Величины равномерно распределена на ¯ .В добавок,каждый человек несет

θi [0, θ]

(c)В некоторых европейских странах,проигравшая сторона д олжна компенсировать часть издержек победителю.Будут ли затраты в таком случае в ыше или ниже,чем в системе без компенсации?

на больбу с коррупцией.Рассмотрение игровых моделей таких задач потребует от нас новых аналитических методов.

4.1Определение равновесий и их существование

При анализе динамической игры с неполной информацией мы сталкиваемся с проблемой,как правильно определить равновесие.В динамических играх с по лной информацией мы были вынуждены ввести понятие совершенного по подыграм равновесия,так как нахождение всех «простых» равновесий Нэша в динамической игре иногда давало нам слишком много решений,некоторые из которых были для нас неприемлемы из-за того,что пре дполагали наличие заведомо невыполнимых угроз со стороны некоторых игроков.Однако в и грах с неполной информацией совершенное по подыграм равновесие нас уже не устраивает.Р ассмотрим игру на рисунке4.1:

II

Рис. 4.1:Равновесие (R, r) не является рациональным.

Формально,в этой игре всего одна подыгра,соответствующая всему дереву игры.Таким образом,получается,что любое равновесие в этой игре будет совершенным по подыграм,в том числе и равновесие (R, r).Однако очевидно,что это равновесие неадекватно.Почему и грок II сделает ход r в своем информационном множестве?Конечно,это информацио нное множество лежит вне траектории игры,которая заканчивается на первом же ходе игрока I.Однако будет ли игрок II делать ход r если по какой-то причине игрок I не сыграет R?Пусть µ — вероятность того,что игрок I сделал ход L при условии того,что он сделал либо ход L, либо ход M. Тогда условное матожидание полезности игрока II при ходе l будет равна µ + 2(1 − µ), при ходе l — 1 − µ. Выходит , что при любомµ [0, 1],игроку II выгодно делать ход l в том случае,если игрок I все-таки не сыграл R.Равновесие (R, r) не соответствует критерию,очень похожему на критерий совершенства по подыграм.Обещая играть r,игрок II фактически выставляет игроку I невыполнимую угрозу.При этом формально равновесие являет ся совершенным по подыграм;очевидно,что нам необходимо более сильное услов ие равновесности для того,чтобы отсечь такие нежелательные «равновесия».

Вот еще один пример игры,в которой существуют нехорошие(с т очки зрения интуитивному соответствию рациональности игроков),но,формально,сов ершенные по подыграм равновесия. В игре «ослик Зелтена»(рисунок4.2)есть нежелательное рав новесие (D, a, L).Действительно, если игрок I отклонится от равновесной стратегии и сделает ход A, то ход a перестанет быть оптимальным для игрока II.Равновесие (A, a, R) отвечает нашему критерию.Игра проходит через все информационные множества,в каждом из которых соо тветствующий игрок делает оптимальный для себя ход,при данных ходах остальных игроко в.