Методичка по Теоретической механике
.pdfПример Д1. На вертикальном участке АВ |
|
||||||
трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют |
|
||||||
сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние |
|
||||||
от точки А, где a = v0, до точки В равно I. На на |
|
||||||
клонном' участке ВС на груз Действуют сила |
|
||||||
тяжести |
и переменная сила F = F(t), |
заданная |
|
||||
в ньютонах. |
|
|
|
|
|
||
Д а н о : |
т = 2 кг, R = |
ца2,где ц = |
0,4 кг/м, |
|
|||
»о = 5 м/с, I = 2,5 м, Fx = |
16 sill (4/). О п р е д е- |
|
|||||
л и т ь : |
x = |
f(t) — закон |
движения |
груза |
на |
|
|
участке ВС. |
|
|
|
|
|
||
Решение. |
1. Рассмотрим движение груза |
на |
Рис. Д1 |
||||
участке АВ, считая груз материальной точкой. |
|||||||
|
|||||||
Изображаем |
груз (в произвольном положении) |
|
и действующие на него силы Р = mg и R. Проводим ось Аг и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:
da* |
da* |
— Р г + R z . |
|
= |
XFhz ИЛИ m V z - ^ - |
( 1 ) |
|
d* |
dz |
|
|
Далее находим Pz = |
Р = mg, Rz = — R = |
— ца2; подчеркиваем, что |
в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что vz = v, получим
do |
|
|
, |
|
|
do |
ц / |
|
mg |
л |
(2 ) |
dz |
mg — iu r или |
v —;— = -=-4 -— 2------tr I . |
|||||||||
|
|
|
|
|
dz |
m \ |
|
ц |
/ |
|
|
Введем для сокращения записей обозначения |
|
|
|
||||||||
k = |
I1 |
__ П О |
. . — I |
, |
„ __ |
т 8 __ кл |
,, /^2 |
|
(3 ) |
||
т |
= 0,2 |
м“ |
п ■ |
: 50 |
м2/с 2 , |
|
|||||
где при подсчете |
принято |
g ^ |
|
10 |
м/с2. Тогда |
уравнение (2) |
можно |
||||
представить в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.V • |
da |
• = |
- 2 k(v2- n ) . |
|
|
|
( 4) |
||
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделяя в уравнении (4) переменные, |
а затем |
беря от |
обеих |
частей |
|||||||
интегралы, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2vdv |
—2kdz |
и ln(y2 — п ) = — 2 k z + C \ . |
|
( 5) |
|||||||
|
= |
|
|||||||||
По начальным условиям при z = |
0 v = |
v0, что дает Сi = |
1п(ао —п) и |
||||||||
из равенства (5) |
находим In (а2 —п) — — 2&z + |
ln(ao —п) |
или |
1п(а2 — |
|||||||
— я) — In (а2 — п ) = — 2kz. Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|||||
1п- |
|
|
■2kz и |
|
|
|
|
|
|||
|
vo — n |
|
|
|
Vo — n |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
"■ .......... |
------- |
В результате находим |
|
|
|
|
||
|
|
V2 = п + |
( у о — |
ri)e~2kz. |
(6) |
|
|
Полагая в равенстве (6) z = |
1 = |
2,5 м и заменяя k и п их значе |
|||
ниями (3), определим |
скорость vB груза |
в точке В (но = |
5 м/с, число |
|||
е — 2,7): |
|
|
|
|
|
|
|
у | = |
50 — 25/е = |
40,7 |
и |
vB= 6,4 м/с Л |
(7) |
2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная |
||||||
скорость vB будет для движения |
на этом участке начальной скоростью |
|||||
(vo = |
VB)■ Изображаем груз (в произвольном положении) |
и действую |
||||
щие |
на него силы Р — mg,Nур 7? и F. Проведем из точки |
В оси Вх и |
By и составим дифференциальное уравнение движенияч груза в проекции
на |
ось Вх: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt>* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т —^ — = Рх + Nx+ Flpx+ Fx |
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A v x |
|
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
m —^ —— m g s m a —F-,p + Fx , |
||||||
где |
Fn = {N. Д ля |
определения N |
составим |
уравнение в |
проекции на |
||||
ось' By. Так как ау = |
0, получим 0 = |
N — mg cosa, откуда N — mg cos а. |
|||||||
Следовательно, Fyp = |
fm g cosa; |
кроме того, Fx = 16sin(4<) |
и уравнение |
||||||
(8) |
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d v x |
m g(sina — /cosa) + |
16sin(4f) . |
(9) |
||||
|
m—fij = |
||||||||
|
Разделив обе |
части |
равенства |
на m, вычислим g (sin a — / cosa) = |
|||||
= |
g(sin30°— 0,2 cos 30°) = |
3,2; |
16/m = 8 |
и |
подставим |
эти значе |
|||
ния в (9). Тогда |
получим |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
3,2 + 8sin(4/) . |
(10) |
|||
Умножая обе части уравнения (10) |
на At и интегрируя, найдем |
||||||||
|
|
|
vx = 3 , 2 / - 2 cos(4 0 + |
С2 . |
(И ) |
Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0 v:= v 0 — vB, где vB дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим
С2 — 0,8 + 2cos0 = 6,4 + 2 = 8,4 .
При найденном значении |
С2 уравнение (11) |
дает |
|
(J Y |
3,2^— 2cos(4/) + |
8,4 . |
(12) |
vx = ^ = |
54
Умножая здесь обе части,на di и снова интегрируя, найдем |
|
х = l,6t2—0,5 sin (4/) + 8,4f + С3-. |
(13) |
Т ак как при t = 0 х = 0, то С3 = 0 и окончательно искомый закон |
|
движения груза будет |
|
х = l,6i2 + 8,4/— 0,5sin(40 , |
(14) |
где х — в метрах, t. — в секундах.
Задача Д2
Груз 1 |
массой |
m |
укреплен |
на |
пружинной подвеске |
в лифте |
(рис. Д2.0 — Д2.9, табл. |
Д 2). Лифт движется вертикально |
по закону |
||||
z — 0,5ai/2 + |
a 2 Sin(o) 0 |
+ |
“ 3COs((o0 |
(ось |
z направлена по |
вертикали |
вверх; z выражено в метрах, t — в секундах). На груз действует сила сопротивления среды R = р,и, где v — скорость груза по отношению к лифту.
Найти закон движения груза по отношению к лифту, т. е. х = f(f); начало координат поместить в точке, где находится прикрепленный к грузу конец пружины, когда пружина не деформирована. При этом во избежание ошибок в знаках направить ось х в сторону удлинения
пружины, а груз изобразить в положении, при котором х > 0 , т. е. пружина растянута. При подсчетах можно принять g = 10 м/с2. Мас сой пружин и соединительной планки 2 пренебречь.
В таблице обозначено: ci, Сг, Сз — коэффициенты жесткости пру жин, %о — удлинение пружины с эквивалентной жесткостью в началь ный момент времени t — 0, Vo— начальная скорость груза по отноше нию к лифту (направлена вертикально вверх). Прочерк в столбцах с1, Сг, Сз означает, что соответствующая пружина отсутствует и на чертеже изображаться не должна. Если при этом конец одной из оставшихся пружин окажется свободным, его следует прикрепить
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
Д2 |
|
Номер |
С |
S |
S |
S |
|
|
|
|
и |
|
<u |
|
|
■— |
|
|
s |
|
|
||||
усло |
US- |
Я |
К |
ас |
S |
s |
|
SB |
s |
S |
|
вия |
Е |
с |
|
с |
8 |
§ |
3 |
3* |
a |
•< |
о |
|
|
a |
|||||||||
0 |
1 |
300 |
150 |
|
0 |
0,1 |
0 |
15 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0,8 |
— |
240 |
120 |
— l,5g |
0 |
0 |
■— |
8 |
0,1 |
0 |
2 |
0,5 |
— |
100 |
150 |
0 |
0,8 |
0 |
5 |
0 |
0 |
4 |
3 |
1 |
240 |
— |
160 |
0 |
0 |
0,5 |
6 |
0 |
0 |
0 |
4 |
0,5 |
80 |
120 |
— |
— 8 |
0 |
0 |
— |
6 |
0,15 |
0 |
5 |
2 |
— |
400 |
400 |
0 |
0 |
0,1 |
16 |
0 |
0 |
0 |
6 |
0,4 |
60 |
— |
120 |
g |
0 |
0 |
— |
4 |
0 |
2 |
7 |
0,5 |
120 |
— |
180 |
0 |
0,1 |
0 |
20 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
0,4 |
50 |
200 |
— |
0 |
0 |
0,2 |
20 |
0 |
0,15 |
0 |
9 |
1 |
200 |
— |
300 |
l,5g |
0 |
0 |
|
20 |
0 |
3 |
55
в соответствующем |
месте; и^и к грузу |
или |
к |
потолку |
(полу) лифта; |
||||||||||||
то же следует сделать, если свободными окажутся соединенные |
|||||||||||||||||
планкой 2 концы обеих оставшихся пружин. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Условие |
|г = |
0 ^означает, |
что сила |
сопротивления |
R |
отсутствует. |
||||||||||
|
Указания. Задача Д2 охватывает одновременно относительное |
||||||||||||||||
движение и колебания материальной точки. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Сначала' нужно составить дифференциальное уравнение относи |
||||||||||||||||
тельного |
движения |
(по |
отношению |
к лифту) |
рассматриваемого в за |
||||||||||||
даче груза, для чего присоединить к действующим силам переносную |
|||||||||||||||||
силу инерции. Затем прикрепленные к |
грузу .пружины |
(по условиям |
|||||||||||||||
задачи их будет две) |
заменить эквивалентной пружиной с коэффициен |
||||||||||||||||
том |
жесткости |
сэкв = |
с, произведя соответствующий расчет. |
|
|||||||||||||
|
а) |
Если |
пружины |
соединены |
друг |
с |
другом |
последовательно |
|||||||||
(как пружины с жесткостями ci и С2 на рис. Д2.0), то при равновесии |
|||||||||||||||||
под действием некоторой силы Q, приложенной к свободному концу |
|||||||||||||||||
пружины, усилия в любом поперечном сечении пружин одинаковы и |
|||||||||||||||||
равны Q. |
Удлинения пружин X\ = |
Q/ci, |
— Q/c2, |
удлинение экви |
|||||||||||||
валентной пружины X = |
Q/c |
и X = |
Х\ + Х2. Отсюда |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с,с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 1 + С 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
Если |
груз |
прикреплен |
к двум |
параллельным |
пружинам (как |
||||||||||
к пружинам с жесткостями С\ и сг на рис. Д2.1) |
или |
находится между |
|||||||||||||||
двумя пружинами, то при равновесии под действием некоторой силы Q |
|||||||||||||||||
каждая из пружин и эквивалентная пружина имели бы одно и то же |
|||||||||||||||||
удлинение X. Тогда для двух пружин сД + с2Х = |
Q, |
а для |
эквивалент |
||||||||||||||
ной пружины |
сХ = |
Q, отсюда с = Ci + С2 ■ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
После того как уравнение будет составлено |
(это будет линейное |
|||||||||||||||
дифференциальное уравнение 2-го порядка), |
|
|
|
|
|
||||||||||||
его следует проинтегрировать, учтя начальные |
|
|
|
|
|
||||||||||||
условия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример Д2. В приборе для измерения |
|
|
|
|
|
|||||||||||
вертикальных колебаний (рис. Д2) груз мас |
|
|
|
|
|
||||||||||||
сой т. прикреплен к пружине с коэффициентом |
|
|
|
|
|
||||||||||||
жесткости с. Другой конец пружины прикреп |
|
|
|
|
|
||||||||||||
лен |
к корпусу |
прибора, |
который |
движется |
|
|
|
|
|
||||||||
по |
закону z = |
.Л sin (to/) (неподвижная |
ось |
z |
|
|
|
|
|
||||||||
направлена по вертикали вниз). Начальное |
|
|
|
|
|
||||||||||||
удлинение пружины равно Хо, а начальная |
|
|
|
|
|
||||||||||||
скорость груза по отношению к корпусу |
|
|
|
|
|
||||||||||||
прибора |
Vo |
(направлена |
вертикально |
вниз). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Д а н о : |
т — 0,4 кг, |
с — 40 Н /м, |
Ао = |
|
|
|
|
|
||||||||
= 0,05 м, Vo = 0,5 м/с, А = |
0,03 м, <о = 20 1/с. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
О п р е д е л и т ь : |
х = f{t) — закон движения |
|
|
|
|
|
|||||||||||
груза по отношению к корпусу прибора. |
|
|
|
|
|
|
57
Решение. 1. Свяжем с корпусом прибора подвижную системуотсчета, начало О которой поместим в конце недеформированной пружины (ее длина обозначена /0), а ось х направим в сторону удлинения пружины (см. рис. Д 2). Рассмотрим груз в положении, при котором пружина растянута. На груз действует сила тяжести Р и сила упругости F. Д ля составления уравнения относительного движения груза при соединим к этим силам переносную силу инерции FSep = — т а пер, кориолисова сила инерции равна нулю, так как переносное движение (движение корпуса прибора) является поступательным. Тогда уравне ние относительного движения в векторной форме будет иметь вид
таот = Р |
F |
-Fnep • |
|
Проектируя обе его части на ось х, получим |
|
||
тх = Px-\-F* + F l w |
(1) |
||
Здесь Рх — Р, Fx = — c X = — cx, |
где |
X = х — удлинение |
пружины* |
FSep* — — m anep,. Учитывая, что оси х иг направлены одинаково, полу
чим |
Опер* = а„ерг = 2 — —Л to?sin (а/) |
и F“eр* = m/4co2sin(o>0. |
|
|||
|
Подставляя все найденные выражения проекций сил |
в уравне |
||||
ние |
(1), получим |
|
|
|
|
|
|
тх = |
Р — сх + |
mAu>2 sin((at) . |
|
(2) |
|
|
Дифференциальное уравнение (2) может быть записано в виде |
|||||
|
х -Ь |
= 61 -V- 62sin |
|
|
,(3) |
|
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
k2 = с/т — 100 с "2, |
= g = |
10 м/с2; |
62 = |
Аю2 — 12 |
м/с2 . (4) |
|
2. Д ля определения закона движения |
груза |
надо проинтегриро |
вать уравнение (3). Его общее решение, как известно из теории дифференциальных уравнений:
|
x = x i + x 2 , |
(5) |
где х\ — общее решение однородного уравнения x-\-k2x — 0, т. е. |
||
xi = |
Ci sin (А/) -(- Cicos(kt) , |
(G) |
а хг — частное решение |
уравнения (3). Учитывая, каковы |
правая и |
левая части этого уравнения, ищем х2 в виде |
|
|
|
х%= B-t-Dsin(w<) . |
(7) |
Для определения постоянных В и D находим х2 = —£>со2 sin (to/), подставляем значения х2 и хг в уравнение (3) и приравниваем в его
58
обеих частях свободные члены и коэффициенты при sin (со/). В резуль
тате, принимая во внимание обозначения (4), |
получим |
|
|
|
|||||
|
В = |
Ь \ |
|
Ь % |
—0,04 |
м. |
|
|
|
|
- — = 0 ,1 |
м, D = — 5-----5- = |
|
|
|||||
|
|
k2 |
|
й — or |
|
|
|
|
|
Тогда из равенств (5) — (7), учитывая, что k = |
10 с-1, а а> = 20 |
с -1, |
|||||||
получим следующее общее решение уравнения |
(3): |
|
|
|
|||||
|
* = |
С, sin (100.+ С2 cos (100 ~ 0,04 sin (200 + |
О.1 • |
(8) |
|||||
Для |
определения постоянных интегрирования |
С\ и |
С2 |
найдем |
еще |
||||
vx — х-, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vx = |
10CiCOs(l00 — 10С2sin(100 — 0,8cos(200 • |
|
(9) |
|||||
|
По условиям задачи при t = |
0 vx = Vo = |
0,5 м/с, x0 = |
Я0 = 0,05 м. |
|||||
Подставив эти начальные данные в уравнения |
(8) и (9), найдем из |
||||||||
них, |
что Ci = 0,13, С2 = |
— 0,05. |
В результате |
уравнение |
(8) примет |
||||
окончательно вид |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
х = 0,13 sin (100 — 0,05 cos (100 — 0,04 sin (200 + 0,1 . |
(10) |
|||||||
|
Это уравнение и определяет искомый закон относительного |
||||||||
движения груза, т. е. закон совершаемых им колебаний. |
|
|
Задача ДЗ
Di |
Механическая |
система |
состоит из |
грузов D i массой |
mi = |
2 кг и |
|||
массой |
т г = |
6 |
кг и из |
прямоугольной вертикальной |
плиты |
массой |
|||
m3 |
— 12 |
кг, |
движущейся |
вдоль |
горизонтальных |
направляющих |
|||
(рис. ДЗ.О |
Д3.9, табл. Д З). В момент времени to = |
0, когда система |
находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают
двигаться |
по желобам, представляющим собой |
окружности |
радиусов |
||
г = |
0,4 м и R — 0,8 м. |
|
|
||
|
При |
движении |
грузов угол q)i = A A 1C3 D 1 |
изменяется |
по закону |
ф1 = |
Л(0> |
а У1'ол |
Ф2 — ^-AiCiDi — по закону |
<р2 = МО- В |
табл. ДЗ |
эти зависимости даны отдельно для рис. 0—4 и 5—9, где ф выражено в радианах, t — в секундах.
Считая грузы материальными точками и пренебрегая всеми сопро тивлениями, определить закон изменения со временем величины, указан
ной в |
таблице |
в столбце |
«Найти», |
т. е. |
= |
МО |
и ^ |
— f(0> гДе |
|
Хз — координата |
центра |
Сз |
плиты (зависимость |
хз = |
frjj) |
определяет |
|||
закон |
движения |
плиты), |
N — полная |
нормальная |
реакция направ |
ляющих.
Указания. Задача ДЗ — на применение теоремы о движении центра
масс. При этом для определения |
х3 |
= МО составить уравнение |
|
в проекции на |
горизонтальную ось х, |
а |
для определения N — на вер |
тикальную ось |
у. |
|
|
Номер |
Рис. |
0 - 4 |
|
|
|
усло |
<pi = -Л (0 |
<Р2 — МО- |
вия |
0 |
^ |
2+ 1 ) |
|
1 |
|
л(2 — /) |
|
2 |
^ |
+ 2) |
|
3 |
|
nt |
|
: |
"3 |
||
|
|||
4 |
^ |
О - з / 2) |
5
$ * +*>
6я/2
7|< 5-0
8 |
^ |
+ 3) |
9 |
| { 4 |
- 0 |
^ - 2 )
| < 5 - , 2)
^ - 2 )
'■ ^ - 4 )
-Jd-0
^+ 4)'
. £2-/*)
л(/ + 5)
|
|
|
Т а б л и ц а ДЗ |
|||
|
|
Рис. 5—9 |
- |
Найти |
||
|
|
|
|
|
||
<Р. = МО |
<р2 = |
МО |
|
|||
| ( 3 - Л |
f ( t 2 + 2) |
Хз |
||||
Т < 2 / - 1 ) |
л / |
N |
||||
1Г |
||||||
|
|
|
: |
|||
|< 4 - / * ) |
Я/2 . |
Хз |
||||
а |
|
|
|
|
|
|
СО |
1 ^to |
: | ( з |
- о |
N |
||
1 |
|
|||||
° |
|
|
|
|
|
|
. |
n t 2 |
• f ( 2 |
- i 2) |
Хз |
||
|
т |
|
||||
|
|
|
|
|
||
л(3 — /) |
^ - 1 ) |
N |
||||
-J{2 /2- 3 ) |
|(2-^ ) |
хз |
||||
|
nt |
|
1(4-0 |
N |
||
|
т |
|
||||
к]со |
Т |
n { f +2) |
Хз |
|||
|
|
|
||||
% * - ! ) |
|
|
N |
г-а
н |
(|^ |
((Ai/l Сз |
[W |
||
V |
' t f |
У |
|
|
|
|
Рис. Д3.2 |
Рис.; ДЗ.З |
Ш |
И * * * |
м ш ш ж ш ш |
|
Рис. Д3.4 |
Рис. Д3.5 |
*у//////////////////////////^ ^ ^ ^ ^ |
У //////////////////Ш |
Рис. Д3.6 |
Рис. Д3.7 |
'///////////////////z .У ///////////М
Рис. Д3.8 |
Рис. Д3.9 |
‘ |
1 |
" |
|
|
|
|
|
|
|
Пример ДЗ. |
Механическая |
||||||
|
|
|
|
|
|
система |
состоит |
из |
грузов |
D г |
||||
|
|
|
|
|
|
массой |
т 1 и Z)2 массой |
т 2 и |
из |
|||||
|
|
|
|
|
|
прямоугольной |
|
вертикальной |
||||||
|
|
|
|
|
|
плиты |
массой |
тз, движущейся |
||||||
|
|
|
|
|
|
вдоль |
горизонтальных , направ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ляющих |
(рис. |
Д З). |
В |
момент |
||||
|
|
|
|
|
|
времени to = 0, когда система на |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ходилась в покое, под действием |
||||||||
|
|
|
|
|
|
внутренних сил грузы |
начинают |
|||||||
|
|
|
|
|
|
двигаться по желобам, представ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ляющим собой окружности ради |
||||||||
|
|
|
|
|
|
усов г |
и R, по законам <pi = fi(t) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
и ф2 = |
/г(0- |
|
|
|
|
|
||
|
Д а н о : |
mi = |
6 кг, /пг = |
8 |
кг, |
тз = 12 |
кг, |
г — 0,6 |
м, R — 1,2 м, |
|||||
<pi = |
nt рад, |
ф2 = |
- | - ( 1 —t) |
рад |
(t — в |
секундах). |
О п р е д е л и т ь : |
|||||||
х3 = |
f3(t) — закон движения плиты, N = |
f(t) — закон изменения со вре |
||||||||||||
менем полной нормальной реакции направляющих. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Решение. Рассмотрим механическую систему, состоящую из плиты |
|||||||||||||
и грузов D\ |
и D 2, в произвольном |
положении |
(рис. Д З). Изобразим |
|||||||||||
действующие |
на |
систему внешние |
силы: силы |
тяжести |
Pi, |
Р 2 , Рз |
и |
реакцию направляющих N. Проведем координатные оси Оху так, чтобы ось у проходила через точку Сзо, где находился центр масс
плиты в момент времени |
to = 0. |
|
а) |
Определение |
перемещения хз. Д ля определения хз = /з(0 в |
пользуемся теоремой о движении центра масс системы. Составим дифференциальное уравнение его движения в проекции на ось х. Получим
Мх'с = 2/1* |
или |
Мхс = 0 , |
(1) |
так как 2F L = 0, поскольку все действующие на систему внешние силы |
|||
вертикальны. |
|
найдем, что М х с — С\, |
|
Проинтегрировав уравнение |
(1), |
т. е. |
проекция скорости центра масс системы на эту ось есть величина
постоянная. Так |
как в начальный |
момент времени t<с* = |
0, то Сi = 0. |
Интегрируя |
уравнение Мхс ~ |
0, получим |
|
|
Мхс — co n st, |
(2) |
т. е. центр масс системы вдоль оси Ох перемещаться не будет.
Определим значение Мхс. Из рис. ДЗ видно, что в произвольный момент времени абсциссы грузов равны соответственно xi — хз — ^'costpi,
Хй ===Хз~{-г эшфг* |
Так как по |
формуле, определяющей координату |
хс |
|
центра масс системы, Мхс = |
т\Х\ + |
ГП2Х2 + «з*з, то |
|
|
Мхс = (ям + |
m2 + тз)хз — т |
cos (nt) + m%rsin (я /2 — n t / 2) . |
(3) |
62