Лекция 12
Движение второго рода
(меняет ориентацию пространства)
Виды движения |
Определение преобразования |
Обозначение |
Изображение |
Формулы преобразования |
Элементы, определяющие преобразование |
Неподвижные точки |
Неподвижные прямые |
Неподвижные плоскости |
Центральная симметрия |
преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на симметричную ей точку относительно центра симметрии |
ZO |
ZO(M)=M' |
Если О(0,0,0): x' = -x y' = -y z' = -z |
центр симметрии |
центр симметрии |
всякая прямая, проходящая через центр симметрии |
всякая плоскость, проходящая через центр симметрии |
Если О(a,b,c): x' = 2a - x y' = 2b - y z' = 2c - z |
||||||||
Симметрия относительно плоскости (зеркальное отражение) |
преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно данной плоскости |
Sα |
MO=OM' MM' α |
α=(XOY) x' = x y' = y z' =-z |
плоскость симметрии α |
все точки плоскости |
все прямые, принадлежащие плоскости α, или перпендикулярные ей |
плоскость симметрии α и всякая плоскость, перпендикулярная плоскости α |
α=(XOZ) x' = x y' =-y z' = z |
||||||||
α=(YOZ) x' =-x y' = y z' = z |
||||||||
Скользящая симметрия |
преобразование пространства, представляющее собой композицию симметрии относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , параллельный этой плоскости |
MM' |
α=(XOY) x' = x+ p1 y' = y+ p2 z' =-z + p3 |
плоскость α и вектор параллельного переноса |
нет |
всякая прямая, лежащая в плоскости α и параллельная вектору |
плоскость симметрии α и всякая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору |
|
α=(XOZ) x' = x + p1 y' =-y + p2 z' = z + p3 |
||||||||
α=(YOZ) x' =-x+ p1 y' = y + p2 z' = z + p3 |
||||||||
Зеркальный поворот |
преобразование пространства, представляющее собой композицию поворота вокруг оси l на угол φ и симметрии относительно плоскости α, перпендикулярной этой оси |
|
MM' |
α=(XOY), a=OZ z' =-z |
плоскость симметрии α, ось поворота l и угол поворота φ |
точка пересечения оси поворота l и плоскости симметрии α |
ось поворота l |
плоскость симметрии α |
α=(XOZ), a=OY y' =-y |
||||||||
α=(YOZ), a=OX x' =-x |
Движение первого рода
(сохраняет ориентацию пространства)
Виды движения |
Определение преобразования |
Обозначение |
Изображение |
Формулы преобразования |
Элементы, определяющие преобразование |
Неподвижные точки |
Неподвижные прямые |
Неподвижные плоскости |
Тождественное преобразование |
преобразование пространства, которое каждую точку пространства отображает на себя |
Е |
E(M)=M |
x' = x y' = y z' = z |
- |
любая точка |
любая прямая |
любая плоскость |
Параллельный перенос |
преобразование пространства, при котором всякая точка М отображается на точку М', так что выполняется векторное равенство: , где |
x' = x+ p1 y' = y+ p2 z' = z + p3 |
вектор |
нет |
всякая прямая, параллельная вектору |
всякая плоскость, параллельная вектору |
||
Поворот вокруг оси |
преобразование пространства, при котором каждая точка ориентированной прямой – оси поворота l – остается неподвижной, и в любой плоскости, перпендикулярной прямой l, индуцируется (возникает) поворот этой плоскости на угол φ вокруг точки пересечения ее с прямой |
l=OZ
z' = z |
ось поворота l и угол поворота φ |
каждая точка оси поворота |
ось поворота |
всякая плоскость, перпендикулярная оси поворота |
||
l=OY
y' = y |
||||||||
l=OX x' = x
|
||||||||
Осевая симметрия |
преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно прямой l (эквивалентно повороту вокруг оси l на угол, равный 1800) |
Sl |
l=OZ
z' = z |
ось симметрии l |
каждая точка оси симметрии |
ось симметрии |
всякая плоскость, перпендикулярная оси симметрии |
|
l=OY
y' = y |
||||||||
l=OX x' = x
|
||||||||
Винтовое движение |
преобразование пространства, представляющее собой композицию поворота вокруг оси l на угол φ и переноса на вектор , параллельный этой оси |
|
MM' |
l=OZ
z' = z + p3 |
ось поворота l, угол поворота φ и вектор параллельного переноса |
нет |
ось поворота l |
нет |
l=OY
y' = y + p2 |
||||||||
l=OX x' = x + p1
|