Лекция №5
Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Угол между плоскостями.
Лемма 5.1. (Условие параллельности вектора и плоскости). Пусть в аффинной системе координат задана плоскость общим уравнением и вектор . Вектор параллелен плоскости тогда и только тогда, когда выполняется условие: .
Доказательство.
Пусть . Докажем, что выполняется условие .
1. Рассмотрим . Отложим от неё вектор .
2. Пусть , тогда вектор . Запишем условие равенства векторов и :
3. Так как , то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, т.е.
, где
(точка принадлежит плоскости ).
(<=) повторить все рассуждения в обратном направлении.
Ч.т.д.
Лемма 5.2. Пусть в прямоугольной системе координат плоскость задана общим уравнением: . Тогда вектор перпендикулярен плоскости .
Доказательство.
Пусть вектор параллелен плоскости . Применяя условие параллельности вектора и плоскости, получим: вектор перпендикулярен плоскости .
Ч.т.д.
Взаимное расположение двух плоскостей.
В аффинной системе координат поверхность, заданная уравнением первой степени, является плоскостью. Выясним, при каких условиях два уравнения и :
I. Определяют одну и ту же плоскость;
II. Определяют две параллельные плоскости;
III. Определяют две пересекающиеся плоскости.
I. Условия, при которых уравнения и определяют одну и ту же плоскость.
Теорема 5.3.
Для того чтобы два уравнения и в аффинной системе координат определяли одну и ту же плоскость, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты в уравнениях были пропорциональны.
Необходимость:
Дано: уравнения плоскостей : (1)
(2)
Докажем: .
Доказательство:
1. Данные уравнения определяют одну и ту же плоскость . Значит, векторы нормалей и будут коллинеарны, т.е. или
.
2. Подставим выражения в уравнение (1) и выразим :
3. Найдем отношение : .
4. Значит,
Достаточность:
Дано: уравнения: : (1)
(2)
.
Докажем, что уравнения (1) и (2) задают одну и ту же плоскость .
Доказательство:
1. Выразим из условия теоремы коэффициенты :
-
Подставим данные выражения в уравнение (1):
или
3. Значит, уравнениями (1) и (2) задаётся одна плоскость в аффинной системе координат.
II. Условие параллельности двух прямых.
Теорема 5.4.
Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две параллельные плоскости, если коэффициенты при переменных в уравнениях пропорциональны.
III. Условие пересечения двух прямых.
Теорема 5.5.
Два уравнения и в аффинной системе координат определяют две пересекающие плоскости, если коэффициенты при переменных в уравнениях не пропорциональны.
Взаимное расположение плоскостей и определяется и рангами расширенной и основной матриц, соответствующих системе уравнений данных плоскостей:
Пусть:
-
- расширенная матрица ранга
-
-основная матрица ранга .
-
Если , то плоскости и пересекаются;
-
Если , то плоскости и совпадают;
-
Если , то плоскости и параллельны.
Пучок плоскостей.
Определение 5.6. Пучком плоскостей называется совокупность плоскостей пространства, проходящих через одну прямую.
Пусть плоскости и пересекаются, причем
: ; :
Помножим уравнения плоскостей и соответственно на числа и q,одновременно не равные 0, и сложим полученные равенства:
(*)
, где
Коэффициенты при х,у,z не равны нулю одновременно, т.к. одновременное равенство нулю позволяет говорить, что
. По условию параллельности плоскостей имеем, что => противоречит условию.
Уравнение (*) есть уравнение плоскости, проходящей через общую прямую двух данных плоскостей.
— уравнение пучка плоскостей.
Пример.
Задача: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2,3,1) и прямую, определяемую плоскостями:х+у-2z+1=0 и 2x-y+z-4=0.
Определение 5.7. Совокупность всех плоскостей, проходящих через точку пересечения трех основных плоскостей, называются связкой плоскостей.
—уравнение связки.
Расстояние от точки до плоскости.
Задача: Найти расстояние от точки до плоскости : .
Решение:
1. ,
2.
3. Вектор =>
4. Так как точка принадлежит плоскости, то имеем:
5. или - расстояние от точки Мо до плоскости.
Расстояние между двумя параллельными плоскостями.
Задача: Найти расстояние между параллельными плоскостями и , заданными своими уравнениями: и
.
Угол между плоскостями.
Определение 5.8. Углом между плоскостями называется любой из двух двугранных углов, образованный этими плоскостями.
—формула угла между и .