ГОСЫ / вопрос 10 / Лекция 10

Лекция 10

Параллельное проектирование. Аффинные отображения.

Изображение плоских фигур в параллельной проекции.

Изображение многогранников в параллельной проекции.

Пусть дана плоскость точка и .

-вектор проектирования,

-

проекция точки А на плоскость при проектировании параллельно

- проекция точки С на плоскость при проектировании параллельно вектору .

- проективная плоскость, - параллельные проекции точек ,

- основная плоскость изображения. Если _┴ , то – ортогональные проекции.

Свойства параллельного проектирования.

1. Проекция прямой есть прямая.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают;

3. Проекция отрезка АВ - есть отрезок, концами которого является проекции точек А и В;

4. При параллельном проектировании сохраняется простое отношение трех точек; в частности, проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка;

5. Проекции параллельных отрезков либо параллельна, либо находится на одной прямой;

6. Проекции параллельных отрезков или отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Определение 10.1. Аффинным отображением f: α→α’ называется взаимно однозначное отображение, которое переводит три точки, лежащие на одной прямой плоскости , в три точки, лежащие на одной прямой плоскости и сохраняет простое отношение трех точек.

Определение 10.2. Аффинное отображение является параллельным проектированием на , если указано направление проектирования (вектора ) и если точка М, принадлежащая переходит в точку М’α’ и .

При аффинном отображении одной плоскости на другую прямая переходит в прямую, параллельные прямые – в параллельные прямые, полуплоскость – в полуплоскость, луч – в луч, отрезок – в отрезок, угол – в угол, репер – в репер, выпуклый (невыпуклый) многоугольник переходит в одноименный выпуклый (невыпуклый) многоугольник.

Изображение плоских фигур в параллельной проекции

Пусть - плоскость изображения;

- вектор проектирования;

F- оригинал;

F₀ – проекция F;

F₁–подобна F₀

F₁ – изображение F.

Любую фигуру F₁ на плоскости , подобную фигуре F₀ ,

называют изображением фигуры F

Теорема 10.3. Пусть фигуры F и F’ лежат соответственно на пересекающих плоскостях и . Фигура F может служить изображением фигуры F’ тогда и только, когда фигуры F и F’ аффинно - эквивалентны, то есть существует аффинное преобразование f: ’→ , которое F’→ F .

Доказательство.

1. Пусть фигура F плоскости является изображением фигуры F’ плоскости ’. Докажем, что фигуры аффинно-эквивалентны. Рассмотрим проекцию фигуры F’. Так как параллельное проектирование является аффинным отображением, то фигуры аффинно-эквивалентны. С другой стороны, фигуры F и F’ подобны, а значит и аффинно-эквивалентны.

2. Допустим теперь, что фигура F’ плоскости ’ аффинно-эквивалентна фигуре F плоскости . Докажем, что F можно рассматривать как изображение F’. Так как фигуры аффинно-эквивалентны, то существует аффинное отображение f, переводящее F’→ F. Выберем репер плоскости ’ так, чтобы точки и лежали на линии пересечения плоскостей и ’, рассмотрим образ данного репера при аффинном отображении .

На плоскости построим точку С₀ так, чтобы треугольники и АВС были подобны. Параллельное проектирование по направлению вектора переводит репер в репер . Рассмотрим подобие , при котором репер переходит в репер . Очевидно, композиция есть аффинное отображение, переводящее в и поэтому совпадает с отображением f. Таким образом, . Но - параллельная проекция фигуры F’ на плоскость , поэтому - изображение фигуры F’.

1. Треугольник. Любой треугольник А₁В₁С₁ может служить изображением ∆АВС принадлежащего плоскости , так как можно задать аффинное отображение переводящее ∆ А₁В₁С₁ с учетом того что и ’ пересекаются. Если ‌‌ ’ то ∆ А₁В₁С₁ и ∆АВС должны быть подобными.

2. Четыреугольник. Любой четырехугольник А₁В₁С₁D_{1 ,} является изображением четырехугольника А₁В₁С₁D₁ тогда и только тогда, когда четырехугольники А₁В₁С₁D₁ и АВСD является аффинно-эквивалентными (А₁В₁С₁D₁ и АВСD, если их обозначили таким образом, что (АС,Е)=(А₁С_1,Е₁), (BD,E)= (B₁D₁,E₁)). Для построения изображения АВСD четырехугольника А₁В₁С₁D₁ в качестве вершин А, В, С можно выбрать три произвольные точки, не лежащие на одной прямой. Положение четвертой вершины D определяется однозначно из условий: (АС,Е)=(А₁С_1,Е₁) , (BD,E)= (B₁D₁,E₁)).

3. Трапеция.Изображением трапеции является трапеция, у которой сохраняется отношение основания (параллельность)

4. Параллелограмм (ромб, прямоугольник, квадрат) Изображение есть параллелограмм. Любой параллелограмм является изображением квадрата и прямоугольника.

5. n- угольник (n>4) три вершины изображаются берутся произвольно, а остальные находятся построением, учитывая простое отношение трех точек.

Изображая правильный шестиугольник, удобнее брать произвольно две вершины и центр. Остальные вершины строят, пользуясь симметричностью и параллельностью сторон.

6. Окружность. Построение окружности основано на следующей лемме.

Лемма 10.4. В любом аффинном отображении эллипс (в частности окружность) переходит в эллипс.

Из леммы и предыдущей теоремы следует, что изображением окружности является эллипс. При этом изображением центра окружности является центр эллипса, а изображением взаимно перпендикулярных диаметров - сопряженные диаметры эллипса.

Изображение многогранников в параллельной проекции.

Лемма 10.5. Пусть четырехугольник А₁В₁С₁D₁ и АВСD, лежащие соответственно в плоскостях и аффинно-эквивалентны. Тогда существует такая плоскость ,что проекция четырехугольника А₁В₁С₁D₁ на эту плоскость по направлению вектора, ортогонального к плоскости , подобна четырехугольнику АВСD.

Теорема 10.6 (Польке- Шварца) Вершины любого четырехугольника АВСD плоскости , заданные в определенном порядке, могут служить изображением аффинного репера, равного данному реперу

Доказательство

1). На прямых А*С* и B*D* возьмем соответственно М* и N*: (А*С*,М*)=(АС,Е), (В*D*,N*)=(BD,E).

2). Пусть перпендикулярна М*N* . Рассмотрим ортогональную проекцию А₁В₁С₁ D₁ репера . Точки М* и N* проектируются в одну и ту же точку .Так как (А₁С_1,Е₁)=(А*С*,М*)=(АС,Е), и (B,D,E)= (B*D*,N*)=(BD,E), то А₁В₁С₁D₁ и АВСD - аффинно-эквивалентны.

3). По предыдущей лемме существует такая плоскость , проекция А₀В₀С₀D_0- четырехугольника А₁В₁С₁D₁ на эту плоскость по направлению вектора М*N* подобна четырехугольника АВСD.

4). А₀ – параллельная проекция точки А* на плоскость по направлению вектора М*N*. Аналогично точки В_0, С_0, D₀ - параллельные проекции точек В*, С*,D* на эту же плоскость, а значит А₀В₀С₀D₀ – параллельная проекции репера на плоскость .

5). Рассмотрим движение , А₀В₀С₀D₀→ АВСD_, значит АВСD - изображение репера .

а) Тетраэдр - изображение есть фигура, состоящая из всех сторон и диагоналей четырехугольника АВСD. Из теоремы: Вершины произвольного четырехугольника плоскости могут служить изображением вершин тетраэдра, равного данному.

б) Параллелепипед - изображение есть фигура, состоящая из трех пар параллелограммов, причем в каждой паре один получается из другого параллельным переносом. С учетом теоремы в качестве изображений вершин А,В,С,D можно выбрать вершины произвольного четырехугольника А,В,С,D некоторой плоскости, остальные же вершины изображаются построением с учетом того, что грани параллелепипеда – параллелограммы.

в) Призма (n- угольная) – фигура, состоящая из двух равных n- угольников, (один из которых получается параллельным переносом из другого), изображающих основания призмы, и n-параллелограммов, для каждого из которых противоположными сторонами являются изображения параллельных сторон оснований.

г) Пирамида - фигура, состоящая из многоугольника, изображающего основание пирамиды-оригинала, и несколько треугольников с общей вершиной, изображающих боковые грани. Для построения пирамиды по теореме Польке-Шварца за изображение вершины пирамиды и трех вершин оснований можно взять вершины произвольного четырехугольника некоторой плоскости. Тогда изображения остальных вершин основания получаются построением с учетом правил построения изображений плоских многоугольников.