Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 7 / Лекция №6

.doc
Скачиваний:
16
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
146.43 Кб
Скачать

Лекция 6

Уравнение прямой в пространстве.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Определение 6.1. Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Любая прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, причем они коллинеарные.

Положение прямой в пространстве определяется однозначно, если заданы:

1. Направляющий вектор и точка, принадлежащая прямой.

2. Две различные точки этой прямой.

3. Две пересекающиеся плоскости.

Параметрические уравнения прямой.

1) Пусть прямая а содержит точку и точку , тогда вектор коллинеарен направляющему вектору .

1) Из коллинеарности векторов следует, что: (векторное уравнение прямой) или - параметрические уравнения прямой, где - параметр.

Смысл этих уравнений заключается в том, что каково бы не было действительное числоточка с координатами , удовлетворяющая этим уравнениям, всегда лежит на прямой. И обратно: если точка с координатами принадлежит прямой, то всегда найдется такой параметр R , что можно выразить через х0, у0, z0 при помощи параметрических уравнений.

Каноническое уравнение прямой

Если из параметрических уравнений выразить параметр, который определяется однозначно, то - каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой, заданной двумя точками.

    1. Пусть на прямой а заданы две точки и , и некоторая точка .

    2. Вектор - направляющий вектор прямой а и .

    3. Так как также является направляющим вектором прямой а и

4) Векторы и коллинеарны, то - уравнение прямой, проходящей через две точки.

Уравнение прямой, заданной пересечением двух плоскостей.

Теорема 6.2. Пусть задана двумя пересекающимися плоскостями:

:

: , тогда направляющий вектор прямой имеет координаты: , где

, ,

Доказательство.

1. Из уравнения плоскостей следует, что вектор , вектор и значит вектор , вектор

2. Т.к. вектор // , то вектор и . По определению векторного произведения имеем, что

, ,

Взаимное расположение прямых пространства.

  1. Векторы - не компланарны, значит прямые l и m скрещиваются;

  2. Векторы - компланарны, векторы — не коллинеарны, значит прямые l и m пересекаются.

  3. Векторы - компланарны, векторы — коллинеарны, значит прямые l и m параллельны.

  4. Векторы - коллинеарны, значит прямые l и m совпадают.