Лекция 6
Уравнение прямой в пространстве.
Взаимное расположение прямых в пространстве
Определение 6.1. Ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.
Любая прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, причем они коллинеарные.
Положение прямой в пространстве определяется однозначно, если заданы:
1. Направляющий вектор и точка, принадлежащая прямой.
2. Две различные точки этой прямой.
3. Две пересекающиеся плоскости.
Параметрические уравнения прямой.
1) Пусть прямая а содержит точку и точку , тогда вектор коллинеарен направляющему вектору .
1) Из коллинеарности векторов следует, что: (векторное уравнение прямой) или - параметрические уравнения прямой, где - параметр.
Смысл этих уравнений заключается в том, что каково бы не было действительное числоточка с координатами , удовлетворяющая этим уравнениям, всегда лежит на прямой. И обратно: если точка с координатами принадлежит прямой, то всегда найдется такой параметр R , что можно выразить через х0, у0, z0 при помощи параметрических уравнений.
Каноническое уравнение прямой
Если из параметрических уравнений выразить параметр, который определяется однозначно, то - каноническое уравнение прямой
Уравнение прямой, заданной двумя точками.
-
Пусть на прямой а заданы две точки и , и некоторая точка .
-
Вектор - направляющий вектор прямой а и .
-
Так как также является направляющим вектором прямой а и
4) Векторы и коллинеарны, то - уравнение прямой, проходящей через две точки.
Уравнение прямой, заданной пересечением двух плоскостей.
Теорема 6.2. Пусть задана двумя пересекающимися плоскостями:
:
: , тогда направляющий вектор прямой имеет координаты: , где
, ,
Доказательство.
1. Из уравнения плоскостей следует, что вектор , вектор и значит вектор , вектор
2. Т.к. вектор // , то вектор и . По определению векторного произведения имеем, что
, ,
Взаимное расположение прямых пространства.
-
Векторы - не компланарны, значит прямые l и m скрещиваются;
-
Векторы - компланарны, векторы — не коллинеарны, значит прямые l и m пересекаются.
-
Векторы - компланарны, векторы — коллинеарны, значит прямые l и m параллельны.
-
Векторы - коллинеарны, значит прямые l и m совпадают.