Лекция №4
Аффинная и прямоугольная системы координат.
Ориентация плоскости.
Определение 4.1. Тройка, состоящая из точки О и базиса называется аффинной системой координат .
Точка О – начало координат, а векторы и - координатными векторами. Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, на которых положительные направления определяются этими векторами, называются осями координат. Ось координат, на которой положительное направление определяется вектором , называется осью абсцисс и обозначается , вектором - осью ординат и обозначается .
Пусть - аффинная система координат, а М – произвольная точка плоскости.
Вектор называется радиус-вектором точки М (относительно точки О). Координаты и вектора в базисе называются координатами точки М в системе координат . Число называется абсциссой точки М, а число - ординатой точки М; пишут . Таким образом, координатами точки М в системе называются числа и такие, что .
Чтобы построить точку М по данным координатам и в системе координат надо:
-
На оси построить точку , на оси - точку ;
-
Через точки и провести прямые, параллельные соответственно осям и ;
-
Точка пересечения прямых – искомая точка .
Задача 1.
В аффинной системе координат даны две точки и . Найти координаты вектора .
Решение.
1. .
2. Векторы - радиус-векторы точек и , значит, векторы имеют координаты: , .
3. По свойству координат имеем, что вектор как разность векторов имеет координаты: .
Итак, каждая координата вектора равна разности соответствующих координат конца и начала вектора.
Деление отрезка в данном отношении.
Пусть и - две точки плоскости, а - некоторое действительное число, причем . Говорят, что точка делит направленный отрезок в данном отношении , если . Из данного равенства следует:
-
, то и лежит внутри отрезка ;
-
, то и лежит вне отрезка .
Задача 2
В аффинной системе координат отрезок задан координатами своих концов: , . Найти координаты точки , делящей отрезок в отношении .
Решение.
-
Выразим векторы: и ;
-
Равенство примет вид: ;
Выразим : (*).
-
Векторы - радиус-векторы точек , , , поэтому эти векторы в базисе имеют координаты: , и ;
-
Применив к равенству (*) свойства координат векторов имеем формулы для нахождения координат точки , делящей отрезок в отношении :
Для нахождения координат середины отрезка формулы преобразовываются следующим образом:
Определение 4.2. Система координат называется прямоугольной декартовой или просто прямоугольной, если его координатные векторы являются единичными взаимно перпендикулярными векторами.
Такая система координат с началом в точке О обозначается: или , где .
Координаты точки в прямоугольной системе координат имеют простой геометрический смысл.
Точки и проекции точки М на
оси координат.
Таким образом, , если -
точка положительной полуоси ;
, если - точка отрицательной полуоси ; , если совпадает с началом координат.
Аналогичный геометрический смысл имеет и ордината у точки . Итак понятие координат в прямоугольной системе координат совпадает с тем понятием, которое известно из курсов алгебры и геометрии средней школы.
Длина отрезка в прямоугольной системе координат.
-
Пусть в прямоугольной системе координат точки имеют координаты и .
-
По определению длины вектора , где
Ориентация плоскости
Пусть L - некоторое множество векторов плоскости. Выделим в этом множестве два базиса
Выразим векторы второго базиса через векторы первого.
, где
Матрица перехода от базиса А к базису В имеет вид: , - определитель второго порядка матрицы перехода от базиса А к базису В.
Свойства определителей матриц перехода:
1. Для любого базиса имеем: А|A=1
2. Для любых трех базисов , справедливо равенство: ;
3. для любых базисов , справедливо равенство: .
Определение 4.3. Базисы и называются одинаково ориентированными, если определитель А|В больше 0.
Обозначается: AB (базис одинаково ориентирован с базисом )
Определение 4.4. Одинаково ориентированные базисы и из множества всех базисов подпространства L называются ориентацией векторного подпространства L.
Одна из ориентаций называется положительной, другая – отрицательной.
Определение 4.5. Векторное подпространство L называется ориентированным, если в нем выбрана положительная ориентация.
Определение 4.6. Базисы положительной ориентации называются правыми, отрицательной ориентации – левыми.
Определение 4.7. Плоскость называется ориентированной, если ориентированы подпространства векторов этой плоскости.
Определение 4.8. Система координат называется правой, если базис – правый. Левой, если базис – левый.
Рассмотрим два вектора и – ненулевые и заданные в определенном порядке.