Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 15 / Лекция 5

.doc
Скачиваний:
23
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
90.62 Кб
Скачать

Лекция №5

Касательная к поверхности. Нормаль. Криволинейные координаты точек на поверхности. Различные виды уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности.

Рассмотрим поверхность F класса Ск заданная векторным уравнением

Пусть функции U и V есть некоторые скалярные функции от аргумента t. Тогда уравнение поверхности: . Правая часть полученного равенства представляет собой функцию от одного скалярного аргумента t следовательно она задает линию .

Терема: 5.1. Для любой гладкой линии класса Ск лежащей на поверхности этого же класса, может быть определено уравнениями:

причем скалярные функции, заданные на некотором промежутке I1 имеющие непрерывные производные до k- порядка включительно и их производные не равные нулю одновременно ни в одной точке I.

В любой точке частные производные по параметру U и V- - эти векторы линейно не зависимы можно задать плоскость проходящею через определяющею векторами .

Эти векторы – направляющее подпространство.

Теорема:5.2. Пусть т. М0(u0,v0) . Тогда множество касательных в т. М0 ко всем гладким линиям, которые лежат на поверхности и проходят через эту точку, образует пучок прямых принадлежащих плоскости .

Доказательство:

1).

2). Найдем вектор касательной к линии в точке М0. Для этого преобразуем уравнение . Из (1)

, где частные производные вычисляются в точке (u0,v0), а производные определяется t0 вектор касательной параллелен плоскости, задаваемой направляющим подпространством (частными производными). Следовательно, он лежит в этой же плоскости, где и векторы.

Так как вектор определяется параметром t0, тот в свою очередь определенности U0,V0, то вектор касательной касательную, проходящею через т.М0.

Определение:5.3. Плоскость, в которой лежат касательные ко всем линиям лежащим на поверхности F и проходящие через М0. Касательная плоскость задается: .

Определение:5.4. Двумерное векторное направление подпространства к касательной плоскости называется касательным векторным подпространством к поверхности F в т. М0 и обозначается ТМ0 .

Векторы частных производных – базис этого подпространства при переходе к новой параметризации в качестве базиса касательного векторного подпространство выступают векторы частных производных к новым параметрам и .

Определение:5.5. Нормалью к гладкой поверхности в т.М0 называется прямая проходящая через т.М0 касательной плоскости.

Вектор нормали , нормаль определяется (М0,N).

Уравнение касательной плоскости в прямоугольной системе координат.

по точке М0(x0,y0,z0) и нормали N(N1,N2,N3)

Уравнение нормали в прямоугольной системе координат.

Если поверхность задана уравнением F(x,y,z)=0(в неявном виде), то для написания уравнение нормали и уравнение касательной плоскости при помощи следующей леммы.

Лемма:5.6. Если гладкая поверхность задана в неявном виде уравнением F(x,y,z)=0, то является ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости касательной данной поверхности в соответственной точке.

Доказательство:

1). Пусть проходящею через т.М0 и заданной уравнением Уравнение поверхности имеет вид.

2). Продифференцируем

Данное равенство можно рассматривать как скалярное произведение векторов в координатах. - вектор нормали касательной (этой касательной)

- вектор касательной к в т.М0.

По определению имеем, что N-нормаль к линии нормаль к поверхности

Соседние файлы в папке вопрос 15