Лекция 7
Вторая квадратичная форма. Кривизна кривой на поверхности. Индикатриса кривизны.
Пусть F – регулярная (гладкая) поверхность класса и поверхность F задается уравнением . – регулярная (гладкая) линия
1. При смещении точки М к М1 получим вектор . Так как , то
(1)
2. – вектор нормали в точке М к поверхности F
– единичный вектор нормали.
3. Так как , то умножив равенство (1) скалярно на получим:
.
4. Пусть (4), тогда .
Учитывая 2, 3, 4, имеем, что
.
Выражение вида: называется второй квадратичной формой поверхности.
Кривизна кривой на поверхности.
– естественная параметризация.
1. Найдем единичный вектор касательный к в точке М
(1)
2. По формуле Френе , тогда (2)
3. Умножим (2) скалярно на вектор нормали к поверхности
4. Учитывая значения имеем
(*)
Определение 7.1. Сечение поверхности F, проходящее через нормаль к поверхности в точке М, называется нормальным сечением поверхности.
, и – единичные векторы.
Если нормальное сечение поверхности F, то или .
, так как при , а при .
Так как , то формула (*) примет вид:
(**).
Так как при и одновременно (в противном случае не было бы смещения точки М вдоль линии ), то можно положить, что .
Поделив равенство (**) почленно на имеем:
.
Из формулы следует, что нормальная кривизна линии в точке М зависит только от направления касательной. Следовательно, все гладкие линии поверхности, проходящие через точку М и имеющие в этой точке общую касательную, имеют в точке М одну и ту же нормальную кривизну.
Значит, нормальная кривизна любой линии поверхности, проходящая через точку М с точностью до знака равна кривизне нормального сечения, имеющего с данной линией общую касательную.
Рассмотрим некоторую точку M поверхности F. Поверхность задана уравнением . Если в этой точке коэффициенты , то из формулы нормальной кривизны следует, что нормальная кривизна любой линии в этой точке равна нулю. В дальнейшем будем рассматривать случаи, когда хотя бы один из этих коэффициентов не равен нулю. Установим связь между нормальными кривизнами линий, проходящих через точку М и имеющих различные касательные.
Построим в точке М пучок прямых, лежащих в касательной плоскости к этой поверхности. В каждой из них будет касательная к определённой линии, проходящая через точку М.
По обе стороны точки М отложим отрезки
р
нормальная кривизна линии на поверхности.
Определение 7.2. Линия, образованная концами отложенных отрезков называется индикатрисой кривизны или индикатрисой.
Введем в касательной плоскости аффинную систему координат, так чтобы точка М – начало системы координат, – координатные векторы.
Найдем уравнение индикатрисы в данной системе координат.
1. Пусть Р(х,у) – произвольная точка индикатрисы, принадлежащая , где – единичный вектор касательной МР к некоторой линии на поверхности, заданной уравнениями .
2. По определению индикатрисы имеем, что , так как единичный вектор касательной к линии , тогда
,
следовательно , .
3. выразим через и подставим выражения в формулу нормальной кривизны , имеем: – уравнение индикатрисы кривизны в точке М, где одновременно.
Уравнение индикатрисы определяет следующие действительные линии
1) – эллипс
2) – пара сопряженных гипербол
3) – пара параллельных прямых
4) – окружность