Лекция 6
Первая квадратичная форма. Длина дуги линии на поверхности. Угол между линиями на поверхности. Площадь куска поверхности.
Рассмотрим гладкую линию F класса Ск заданную уравнением: .Дифференциал в т.Мимеет вид:
Введем обозначение: , .
Наше равенство примет вид : (*)
Правая часть полученной формулы представлена в виде квадратичной формы (по определению), эта квадратичная форма задана на векторном пространстве ТМ0 касательной к поверхности F в т.M является положительно определенной в квадратичной форме т.к. одновременно равняться нулю не могу и (dF)2>0.
Определение 6.1. Квадратичная форма (*) называется первой квадратичной формой F или её линейным аргументом и обозначается I.
Коэффициенты являются функциями криволинейных координат на поверхности F.
Рассмотрим некоторую линию F . Для
Из этих равенств , что
Таким образом, значение первой квадратичной формы представляет собой дифференциала длины дуги гладкой линии, лежащей на поверхности при бесконечно малом смещении точки вдоль этой линии.
- длина дуги
Определение 6.2. Углом между линиями и называется угол между касательными к этим линиям всех общей точки.
-вектор касательной к
- вектор касательной к 1
=-косинус угла между линиями
Пусть линия (dv=0) и линия (dv=0) =
Для того чтобы и – линии были ортогональны, нужно чтобы .
Пусть F поверхность с краем, удовлетворяющая трем условиям: F гомеоморфно замкнутому кругу; F является частью гладкой поверхности Ф; край поверхности F кусочно-гладкая линия
Для такой поверхности можно ввести понятие площади.
Определение 6.3. Поверхность, имеющая площадь называется квадрируемой.
Пусть регулярная поверхность задана уравнением в прямоугольной системе координат. Тогда (1)
Если поверхность F задана параметрическими уравнениями , то площадь этой поверхности вычисляется по формуле (2).
Доказательство (2) формулы
1)
2) выразим из этих равенств и применяя формулы Крамера
3) найдем , где
, где .
4) из 2) и 3) следует и
5) подставим выражения и в формулу площади куска поверхности
6) Покажем, что .
.
Так как и , то Значит, .