Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ГОСЫ / вопрос 5 / Лекция 11

.doc
Скачиваний:
26
Добавлен:
25.03.2016
Размер:
265.22 Кб
Скачать

Лекция №11

Парабола. Исследование формы параболы по ее уравнению. Уравнение линии второго порядка при вершине. Полярные уравнения линий второго порядка

Определение 11.1. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой, называемой директрисой.

1. Введём прямоугольную систему координат, у которой ось ОХ проходит через фокус перпендикулярно прямой d, ось - серединный перпендикуляр к отрезку, заключенному между директрисой и фокусом, . Обозначим расстояние от директрисы до фокуса через . Тогда координаты точки будут , а уравнение директрисы - .

2. Пусть - любая точка параболы. Тогда по определению параболы: или (1)

3. , . Подставим данные выражения в равенство (1):

(2)

4. Докажем, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (2), то есть , принадлежит параболе.

  1. Выразим в координатах ;

  2. Из равенства (2) имеем, что ;

  3. Из а) и b) следует, что = = =.

  4. Расстояние точки до прямой будет равно: .

  5. Значит, . Таким образом, точка есть точка параболы. Уравнение - каноническое уравнение параболы.

Исследование формы параболы по её уравнению

  1. Из уравнения следует, что может принимать положительные значения и ноль. Значит, вся парабола располагается по одну сторону от оси .

  2. Так как уравнение содержит только чётную степень переменной у, то парабола симметрична относительно оси , и для выяснения её формы достаточно рассмотреть только I четверть, где .

  3. Ось называется осью симметрии параболы (ось параболы).

  4. Парабола проходит через точку (0,0).

a) б)

в)

Определение 11.2. Величина р, фигурирующая в уравнении параболы, называется фокальным параметром параболы.

Фокальный параметр имеет следующее геометрическое истолкование: если через фокус параболы провести прямую, перпендикулярную оси параболы, и найти точки пересечения этой прямой с параболой, то при совместном решении системы уравнений: , т. е. .

Таким образом, фокальный параметр равен длине перпендикуляра, проведенного из фокуса до точки пересечения с параболой. Фокальный параметр характеризует форму и размеры параболы. Он изменяется от 0 до . Чем больше фокальный параметр, тем парабола сильнее вытягивается вдоль оси .

Способы построения параболы

Способ №1 (в основу положено определение 11.1)

Пусть заданы фокус и директриса параболы. Закрепим на плоскости линейку так, чтобы ее правый край совпадал с директрисой. К линейке приложим меньшим катетом угольник и в вершине противолежащего острого угла закрепим конец нити, длина которой равна большему катету. Второй конец нити закрепим в фокусе . Если перемещать угольник вдоль линейки, удерживая нить натянутой карандашом, то будет вычерчиваться дуга параболы.

Способ №2(в основу положено определение 11.1)

Пусть на плоскости заданы две перпендикулярные прямые, определяемые как - директриса и ось , и точка .

        1. Проведем через точку произвольный луч , пересекающий в точке ;

        2. Проведем через точку луч , параллельный ;

        3. Построим серединный перпендикуляр к отрезку ;

        4. Построим точку пересечения серединного перпендикуляра с лучом . Точка - искомая точка параболы.

        5. Аналогичные действия проводим при построении следующего луча, проходящего через фокус .

Способ №3 (в основу положено свойство симметричности параболы)

Построить по точкам часть параболы в первой четверти, используя уравнение, а затем использовать симметричность линии относительно оси

Уравнение эллипса, гиперболы и параболы при вершине.

При выводе канонического уравнения параболы начало системы координат совпадало с вершиной параболы, а ось совпадала с осью параболы.

Для эллипса и гиперболы также существует уравнение, когда начало системы координат совпадает с одной из вершин данных фигур.

Уравнение эллипса при вершине.

1. Перенесем начало системы координат в точку . Получим новую систему, в которой ось совпадает с осью , ось параллельна оси .

Новая система координат, полученная из старой системы путём параллельного переноса координатных осей на некоторый вектор .

2. Запишем формулы преобразований для этого параллельного переноса:

3. Подставим вместо х и y их значения в уравнение эллипса:

Так как фокальный параметр эллипса и

- уравнение эллипса при вершине.

Уравнение гиперболы при вершине (рассматривается только правая ветвь гиперболы)

- уравнение гиперболы при вершине.

Итак, в надлежащей системе координат эллипс, гипербола и парабола имеют уравнение одного и того же вида, а именно: .

Если , то это уравнение задаёт эллипс.

Если , то это уравнение задаёт гиперболу.

Если , то это уравнение задаёт параболу.

Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.

Пусть – одна из перечисленных фигур. Точка ; – фокус,– директриса, ε – эксцентриситет,– расстояние от фокуса до директрисы.

1) Пусть полярная система координат введена следующим образом: полюс совпадает с фокусом, полярная ось перпендикулярна директрисе, направление в сторону фокуса, точка находится по одну сторону с фокусом (в правой полуплоскости). Тогда

N – проекция точки на полярную ось;

К – пересечение полярной оси и директрисы.

2) Фигура – есть множество всех точек, для которых отношение расстояния от фокуса к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная , т.е.

(*);

3) Выразим: , где , . Так как точка и , то

4) По основному свойству директрисы:

5) Подставим в равенство (*) вместо значения его выражение:

- полярное уравнение фигуры второго порядка (эллипса, параболы, гиперболы в правой полуплоскости).

Соседние файлы в папке вопрос 5