3 Часть - геометрия

1.Трехмерное векторное пространство. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Основные вопросы

Определение скалярного произведения. Механический смысл. Свойства. Длина вектора. Угол между векторами. Вывод формулы скалярного произведения в ортонормированном базисе. Определение векторного произведения двух векторов. Свойства. Геометрический и физический смысл векторного произведения. Координаты векторного произведения в ортонормированном базисе. Определение смешанного произведения трех векторов. Геометрический смысл. Формула смешанного произведения в ортонормированном базисе.

[1], радел I, гл.1.§9, раздел 2,гл.I, §§4,5.[3],гл.1, §§6,7,8; гл.VI,§§55,56.

2.Метод координат на плоскости и в пространстве. Аффинная и декартова прямоугольная система координат. Прямая на плоскости. Различные способы задания прямой. Взаимное расположения прямых на плоскости.

Основные вопросы

Сущность метода координат на плоскости. Понятия аффинной и прямоугольной системы координат на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки, через точку параллельно вектору (каноническое уравнение); параметрические уравнения прямой; уравнения прямой «в отрезках»; уравнения прямой с угловым коэффициентом. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов в уравнении Aх+By+C=0 в аффинной и прямоугольной декартовой системе координат. Формулы угла между прямыми.

[1], гл.II, §§16-19; [6],гл.III, §§20,21.

3.Движения на плоскости и в пространстве: свойства, способы задания, инварианты движения. Группа движений плоскости и пространства. Основные теоремы о движениях на плоскости.

Основные вопросы

Определение движения. Примеры движений плоскости и пространства и их аналитическое выражение. (Формулы параллельного переноса, осевой симметрии, скользящей симметрии). Движения пространства, отличные от движений плоскости. Группа движений и ее подгруппы . Задание движения парой ортонормированных реперов. Определения движений I и II рода.

[1], радел I,гл.3.§§26,27,28,29., [3],гл.V, §§29,30; [6],гл.V,§§41-44.

4. Подобие и гомотетия на плоскости и в пространстве.

Основные вопросы

Определение преобразования подобия. Определение гомотетии. Формулы подобия в ортонормированном репере. Группа преобразований подобия, ее подгруппы. Подобия I и II рода. Теорема о подобии как композиции движения и гомотетии.

[1], радел I,гл.3.§§31,32,33. [3],гл.V, §§28,29; [6],гл.V,§§41-44.

5.Линии второго порядка. Каноническое уравнение эллипса, гиперболы и параболы. Эксцентриситет и директрисы линий второго порядка. Фокальные радиусы и их свойства.

Основные вопросы

Определения эллипса, гиперболы и параболы. Вывести уравнение одной из этих линий (по желанию). Определения эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов. Уравнение асимптот гиперболы. Теорема о директрисах эллипса и гиперболы.

[1], радел I,гл.IV.§§36-39; [6],гл.IV,§§27-29.

6.Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями.

Основные вопросы

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, уравнение плоскости, проходящей через данную точку и коллинеарной двум векторам, параметрическое уравнение плоскости, уравнение плоскости «в отрезках». Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору. Геометрический смысл коэффициентов при текущих координатах в общем уравнении плоскости в аффинных и прямоугольных декартовых координатах. Условия, при которых две плоскости, заданные общими уравнениями , будут параллельны , ортогональны.

[1], радел 2,гл.II, §§7-10, [6],гл.IV,§§27-29.