metodLinAlg
.pdf
|
7 |
4 |
13 |
|
3 |
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
10 |
|
7 2 ( |
10) |
4 3 2 ( 3) 3 13 13 2 2 3 4 ( 10) 7 ( 3) 3 102 |
||
Таким чином, за методом Крамера:
|
|
x1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
x2 |
|
2 |
|
306 |
|
x3 |
|
3 |
|
|
102 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
102 |
|
|
|
|
|
102 |
|
|
|
|
|
102 |
|||||
|
Зробимо перевірку: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7 |
0 |
4 |
3 |
( |
1) |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 0 |
2 |
3 |
3 ( 1) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
0 |
3 3 |
( |
1) |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b) Використаємо елементарні перетворення. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7 |
|
4 |
|
1 |
13 |
1 |
0 |
7 |
|
|
7 |
1 |
0 |
7 |
|
|
7 |
|
|
||||||
3 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
3 |
2 |
3 |
|
|
3 |
0 |
2 |
24 |
|
|
18 |
|
|
|||||
2 |
|
3 |
1 |
|
|
10 |
2 |
3 |
1 |
|
|
10 |
0 |
3 |
15 |
|
|
24 |
|
|
|||||
1 |
|
0 |
|
7 |
|
|
7 |
1 |
0 |
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 |
|
1 |
39 |
|
|
42 |
0 |
1 |
39 |
|
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0 |
|
3 |
15 |
|
|
24 |
0 |
0 |
102 |
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Повернемося до системи лінійних рівнянь: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x1 |
|
0 x2 |
7 |
x3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
|
39 |
x3 |
42 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
102 |
x3 |
102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
звідкіля x3=-1; x2=3; x1=0.
4. Перевірити сумісність системи та розв'язати її методами: А)Матричним Б)Гаусса.
4x1 9x2 5x3 1 7x1 4x2 x3 11 3x1 5x2 4x3 5
51
4 |
9 |
5 |
|
1 |
|
|
1 |
14 |
9 |
4 |
1 |
14 |
9 |
4 |
|
7 |
4 |
1 |
|
11 |
|
7 |
4 |
1 |
11 |
0 |
94 |
62 |
39 |
||
3 |
5 |
4 |
5 |
|
|
3 |
5 |
4 |
5 |
0 |
47 |
31 |
17 |
||
1 |
14 |
|
9 |
|
4 |
1 |
14 |
|
9 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
47 |
|
31 |
17 |
0 |
47 |
|
31 |
|
17 |
|
|
|
||
0 |
94 |
|
62 |
39 |
0 |
0 |
|
0 |
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отже ранг матриці А дорівнює 3, а матриці В дорівнює 3. Тому за теоремою Кронекера – Капеллі система несумісна.
5. Розв'язати однорідну систему лінійних рівнянь.
x1 7x2 3x3 0 3x1 5x2 x3 0 3x1 4x2 2x3 0
Знайдемо визначник матриці А.
1 7 3 3 5 1 
3 4 2 ( 5) 
( 2) 
1 7 
1
3 ( 3) 
3 
4 ( 3) 
( 5) 
3 3 
7 
( 2) 1
4 
1 102
Отже оскільки визначник не дорівнює, 0 то система має єдиний розвязок х1=0, х2=0, х3=0.
6. Розв'язати однорідну систему лінійних рівнянь.
2x1 2x2 x3 0 5x1 4x2 6x3 0 3x1 2x2 5x3 0
Знайдемо визначник матриці А.
52
2 |
2 |
1 |
5 |
4 |
6 |
3 |
2 |
5 |
|
|
|
2 
4 
( 5) 3 
2 
( 6) ( 1) 
5 
2 ( 1) 
4 
3 2 
5 
( 5) 2 
2 
( 6) 0
Тобто система має безліч розв’язків. Знайдемо їх.
2 |
2 |
1 |
0 |
2 |
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
5 |
4 |
6 |
0 |
5 |
4 |
6 |
0 |
2 |
2 |
1 |
0 |
3 |
2 |
5 |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
5 |
4 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
4 |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
0 |
2 |
7 |
0 |
0 |
2 |
7 |
0 |
0 |
2 |
7 |
0 |
0 |
4 |
14 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Повернемося до системи лінійних рівнянь:
x1 0 |
x2 |
4 |
x3 |
0 |
2 |
x2 |
7 |
x3 |
0 |
|
|
0 |
x3 |
0 |
Отже оскільки х3 може бути будь-яким, позначимо його через t. Тоді
x2 |
7 |
x3 |
7 |
t , x1 4x3 4t . |
2 |
2 |
53
Питання для перевірки:
1.Матриця. Елементи матриці. Індекси елементів.
2.Рівні матриці. Матриця-рядок. Матриця-стовпець. Нульова матриця.
3.Квадратна матриця. Порядок квадратної матриці. Головна діагональ.
4.Діагональна матриця. Одинична матриця.
5.Транспонована матриця. Симетрична матриця.
6.Лінійні дії з матрицями ( сума, різниця, множення матриці на число).
7.Множення матриць.
8.Властивості матриць.
9.Елементарні перетворення матриць.
10.Визначник матриці.
11.Мінор елемента.
12.Алгебраічне доповнення елемента.
13.Властивості визначників.
14.Зворотня матриця.
15.Вироджена та невироджена матриця.
16.Ранг матриці.
17.Система ЛАР.
18.Однорідна система ЛАР. Неоднорідна система ЛАР.
19.Розвязок системи ЛАР.
20.Сумісна та несумісна система ЛАР.
21.Теорема Кронекера-Капеллі.
54
Основна література:
1.Бугір М.К. Математика для економістів: Посібник.-К.: Видавничий центр
“Академія”, 2003.-520с.
2.Дюженкова Л.І., Дюженкова О.Ю., Михалін Г.О. Вища математика: Приклади і задачі/ Посібник.-К.: Видавничий центр “Академія”, 2002.-624с.
3.Соколенко О.І. Вища математика: Підручник.-К.: Видавничий центр “Академія”,
2002.-432с.
4. .Бугров Я.С., Никольский С.Н. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, –М.: Наука, 1980.
5. .Бугров Я.С., Никольский С.Н. Дифференциальное и интегральное исчисление. –М.: Наука, 1980.
6. Берман Сборник задач по математическому анализу М."Наука", 1978г.
Додаткова література:
7.Вища математика. Основні розділи. Під редакцією проф. Кулінича Г.Л., К., “Либідь” 1995р.
8.Вища математика. Спеціальні розділи. Під редакцією проф. Кулінича Г.Л., 1995р.
9.Дороговцев А.Я. Математичний аналіз. У 2-х частинах. К.,“Либідь” 1994р.
10.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. –М.: Наука, 1978. Т.1,2.
55