Временные ряды
.pdf
Пример
Имеются данные о расходах на конечное потребление и уровне дохода за 7
промежутков времени в д.е. yt - расходы на потребление, xt- доходы.
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt |
7 |
8 |
10 |
9 |
11 |
12 |
14 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt |
12 |
13 |
16 |
15 |
16 |
18 |
19 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
xt 1 |
|
xt 1 |
|
xt 1 |
xt 1 |
2 |
xt |
xt xt 1 xt 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt |
|
xt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
xt xt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
12 |
|
- |
|
|
- |
|
|
|
|
|
- |
|
- |
|
|
|
|
- |
|
|
|
- |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
13 |
|
12 |
|
-3,17 |
|
10,05 |
-3 |
|
|
|
9 |
|
|
|
9,51 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
16 |
|
13 |
|
-0,17 |
|
0,03 |
-2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
0,34 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
15 |
|
16 |
|
-1,17 |
|
1,37 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
-1,17 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
16 |
|
15 |
|
-0,17 |
|
0,03 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
18 |
|
16 |
|
1,83 |
|
|
3,35 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1,83 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
|
19 |
|
18 |
|
2,83 |
|
|
8,01 |
3 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
8,49 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Итого |
|
Х |
|
|
Х |
|
|
Х |
|
22,84 |
|
Х |
|
24 |
|
|
19 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
13 |
16 |
15 |
16 |
18 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
13 |
16 |
|
15 16 18 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
xt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16,17 |
|
|
|
xt |
|
|
|
15 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rx , x |
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
0,81 |
|
|
|
|
|
r |
|
0,84 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t t |
|
22,84 |
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
y |
t |
yt 1 |
yt 2 |
yt 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
- |
- |
- |
|
|
2 |
2 |
|
1 |
- |
- |
|
|
3 |
3 |
|
2 |
1 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
3 |
2 |
1 |
|
|
5 |
3 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
6 |
4 |
|
3 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
3 |
|
4 |
3 |
2 |
|
|
8 |
4 |
|
3 |
4 |
3 |
|
|
||||||
|
|
9 |
5 |
|
4 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yt |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
yt |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
r1 0, 6; r2 0, 4; r3 1
Моделирование тенденций временного ряда
Метод аналитического выравнивания сводится к замене фактических данных сглаженными, определенными по
выбранной математической функции. При этом, уровни временного ряда
рассматриваются как функция от времени: yt 
f t
Этапы построения модели тенденции (уравнения тренда)
Выбор математической функции, описывающей тенденцию
Оценка параметров модели
Проверка адекватности выбранной функции и оценка точности модели
Расчет точечного и интервального прогнозов
Уравнения трендов
линейная: y a bt
параболическая: y a bt ct2
степенная: y atb
b
гипербола: y a t
показательная: y a bt
экспонента: y ea bt
Линейный тренд
|
|
|
y |
a |
bt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
y |
a bt |
y yt yt 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
a |
b |
- |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
2b |
b |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
a |
3b |
b |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
a |
4b |
b |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ytt |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b |
|
|
ytt |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|||||||
a yt bt
Парабола 2-го порядка
|
|
t |
yt |
a bt ct2 |
yt |
yt |
yt 1 |
y |
y |
t |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
a |
b |
с |
- |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
2b |
4с |
b |
3с |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
a |
3b |
9c |
b |
5с |
|
2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
a |
4b |
16c |
b |
7с |
|
2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Показательная функция y |
a bt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t |
y a bt |
K yt |
yt 1 |
|
|||
|
||||||||||
|
|
|
1 |
ab |
- |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
ab2 |
b |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
ab |
3 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
ab |
4 |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|