3курс,VIсем Задачи инт ур
..pdfчто |
y = Ay , |
т.е. неподвижная точка оператора Р является также и неподвижной точкой |
||||||||||||||
оператора А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Для доказательства единственности неподвижной точки оператора А предположим |
|||||||||||||||
противное, т.е. пусть существуют две точки |
y ≠ y такие что |
Ay = y |
и Ay = y , тогда |
|||||||||||||
An y ≡ Py = y |
и |
An y ≡ Py = y , откуда |
следует, что |
y = y |
в силу |
единственности |
||||||||||
неподвижной точки оператора Р. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 4.3. Пусть в банаховом пространстве |
В заданы два сжимающих оператора А и |
|||||||||||||||
D, |
т.е. |
для |
любых |
|
элементов |
x, |
y B |
имеют |
место |
соотношения |
||||||
|| Ax − Ay || ≤αA || x − y ||, |
0 ≤αA <1 и |
|| Dx − Dy || ≤αD || x − y ||, |
0 ≤αD <1. |
|||||||||||||
|
Зададим некоторое число ε > 0 . |
Назовем операторы А и D ε -близкими, если для |
||||||||||||||
z B выполнено |
|| Az − Dz || ≤ ε . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Доказать, что неподвижные точки x и y |
этих операторов находятся на расстоянии |
||||||||||||||
ρ(x , y ) ≡ || x − y || ≤ |
|
|
ε |
|
|
, |
где α = max{αA ,αD } <1. |
|
|
|
||||||
1 |
− |
α |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Пусть x - неподвижная точка оператора А, т.е. x = Ax , а y - неподвижная точка оператора D: y = Dy .
Возьмем |
x в |
качестве |
начального |
приближения |
итерационного |
процесса |
для |
||||||||||||||||||||||||||||
определения |
y , |
т.е. |
y |
0 |
= x , |
y = Dy ≡ Dx ,..., |
|
y |
k |
= Dk x ; |
|
|
y = lim Dk x . |
|
Тогда |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k →∞ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|| x − y |
k |
|| |
≤ || x − y || +|| y − y |
2 |
|| +... +|| y |
k −1 |
− y |
k |
|| |
≤ || x − y || (1+ |
α |
D |
+α2 +... +αk −1 ) |
≤ || x − Dx || . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
D |
D |
|
1 |
−αD |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Переходя |
в |
последнем |
неравенстве |
к |
|
|
пределу |
|
|
при |
k → ∞ , |
получим |
|||||||||||||||||||||||
|| x − y || |
≤ || |
x − Dx || = |
|| Ax − Dx || |
≤ || Ax − Dx || ≤ |
|
ε |
|
, |
что |
и |
требовалось |
||||||||||||||||||||||||
|
|
1−αD |
|
1−α |
|||||||||||||||||||||||||||||||
доказать. |
|
1−αD |
|
|
|
|
|
|
|
|
1−α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 4.4. Привести пример оператора, переводящего банахово пространство |
В |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
себя, удовлетворяющего |
|
условию || Ay − Az ||B < || |
y − z ||B |
|
|
для |
любых |
y, z B , |
и |
не |
|||||||||||||||||||||||||
имеющего неподвижной точки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax = x + π2 −arctg x . Для |
|||||||||||||||||
Решение. Рассмотрим следующий оператор в пространстве R1 : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
любых |
|
y, z B , |
применяя |
формулу |
Лагранжа |
(ξ |
|
между y |
и |
|
z ), |
получим |
|||||||||||||||||||||||
|| Ay − Az || 1 = | y −arctg y −(z −arctg z) | |
= |1− |
1 |
|
|
| | y − z | |
< | |
y − z | ≡ || |
y − z || 1 . |
Однако, |
||||||||||||||||||||||||||
1+ξ2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||||
для всех |
y имеет место неравенство Ay = y + π |
−arctg y > y , что и означает отсутствие |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неподвижной точки рассматриваемого оператора.
Замечание. Указанный оператор не удовлетворяет теореме о неподвижной точке!!!
31
Пример 4.5. При каких λ оператор Фредгольма Ay = λ∫1 (x − s) y(s) ds является
0
сжимающим
а) при действии C[0,1] →C[0,1]; б) при действии h[0,1] → h[0,1] .
Решение.
а) |
Рассмотрим |
две |
произвольные непрерывные функции |
y(x), z(x) C[0,1] , тогда |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|| Ay − Az || |
= | λ | max |
|
∫ |
(x − s)[ y(s) − z(s)]ds |
≤ | λ | max | y(s) − z(s) | max | x − s | = |
|
|
|||||||
|
|
C[0,1] |
|
x [0,1] |
|
|
|
s [0,1] |
x,s [0,1] |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= | λ | || y − z ||C[0,1] , |
т.е. оператор А: C[0,1] →C[0,1] |
является сжимающим при | λ |<1. |
|
|||||||||||
б) |
Рассмотрим две произвольные непрерывные функции y(x), z(x) h[0,1] , тогда |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
(неравенство Коши-Буняковского) |
|
|||||
|| Ay − Az ||h2[0,1] = λ2 ∫dx |
∫(x − s) [ y(s) − z(s)]ds |
≤ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
≤ λ2 ∫{∫(x −s)2 ds ∫[ y(s) − z(s)]2ds}dx = λ2 || y − z ||2h[0,1] ∫∫(x − s)2 ds dx = λ2 || y − z ||h2[0,1] |
, |
|||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
6 |
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= || y−z||2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
h[ 0,1] |
|
|
|
|
|
|
следовательно, оператор А: |
h[0,1] → h[0,1] является сжимающим при условии | λ |< |
6 . |
|
Пример 4.6. При каких λ оператор Вольтерра By = λ∫x (x − s) y(s) ds является
0
сжимающим
а) при действии C[0,1] →C[0,1]; б) при действии h[0,1] → h[0,1] .
Решение.
а) Рассмотрим любые две непрерывные функции y(x), z(x) C[0,1] , тогда
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|| Ay − Az ||C[0,1] = | λ | max |
|
(x − s)[ y(s) − z(s)]ds |
≤ | λ | max | y(s) − z(s) | max |
∫ |
(x − s) ds = |
|||||||
|
|
|
|
x [0,1] |
|
∫ |
|
|
s [0,1] |
x [0,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ≥0 |
|
|
|
|
0 |
|
= |
| λ | || y − z || |
|
, т.е. оператор В: C[0,1] →C[0,1] |
является сжимающим при | λ |< 2 . |
||||||||
|
2 |
C[0,1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
Рассмотрим две произвольные непрерывные функции y(x), z(x) h[0,1] , тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
x |
|
2 |
(неравенство Коши-Буняковского) |
||||
|| Ay − Az ||h2[0,1] = λ2 ∫dx |
∫(x − s) [ y(s) − z(s)]ds |
≤ |
||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
≤ λ2 ∫1 |
[∫x (x − s)2 ds ∫x [ y(s) − z(s)]2ds] dx = λ2 || y − z ||h2[0,1] ∫1 |
dx∫x (x − s)2 ds = |
λ2 || y − z ||h2[0,1] , |
|||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
12 |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
≤ || y−z||2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h[ 0,1] |
|
|
|
|
|
|
следовательно, |
оператор В: h[0,1] → h[0,1] будет сжимающим при | λ | < 12 . |
32
Пример 4.7. Считая параметр λ "малым", методом последовательных приближений построить резольвенту и получить решение уравнения Фредгольма
y(x) = λπ∫sin(x + s) y(s) ds +cos x .
0
Сформулировать критерий "малого" λ .
Замечание. Приведенный ниже способ построения резольвенты служит иллюстрацией к доказанной в курсе лекций теореме о возможности представления резольвенты R(x, s, λ) в
∞
виде ряда R(x, s, λ) = ∑λm−1Km (x, s) при "малых" λ . Так как ядро оператора Фредгольма в
m=1
данной задаче является вырожденным, то решение уравнения может быть получено более эффективно методами, рассмотренными в примерах 6.1-6.2 (тема 6). Для построения резольвенты также могут быть использованы и другие приемы (сравните с результатом примера 6.3!!!).
Решение. |
Начнем с построения резольвенты R(x, s, λ) , выписав итерированные ядра: |
|
|||||||||||
K1 (x, s) ≡ K (x, s) = sin(x + s) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
K2 (x, s) = π∫K (x,t)K1 (t, s) dt = π∫sin(x +t) sin(t + s) dt = π |
cos(x − s) , |
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
K3 (x, s) = π∫K (x,t)K2 (t, s) dt = |
π π∫sin(x +t) cos(t − s) dt = π2 sin(x + s) , |
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
2 0 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
………………. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π |
π |
2m−1 |
|
m =1, 2,3... , |
|
|
|
|
||||
K2m (x, s) = ∫K (x,t)K2m−1 (t, s) dt = |
|
cos(x −s) , |
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
π |
2m |
sin(x + s) , m |
=1, 2,3... . |
|
|
|
|
||||
K2m+1 (x, s) = ∫K (x,t)K2m (t, s) dt = |
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
Используя формулу для резольвенты |
R(x, s, λ) = ∑λm−1Km (x, s) |
и суммируя ряд |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x + s) + |
πλ |
cos(x − s) |
|
|
отдельно по четным и нечетным номерам, |
найдем R(x, s, λ) = |
|
|
2 |
|
. |
|||||||
|
|
πλ 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий "малого" λ |
в данном случае совпадает с условием сходимости ряда |
||||||||||||
Неймана |
| λ | < |
2 |
, и как |
легко |
видеть, выполняется на более |
широком множестве |
|||||||
|
|||||||||||||
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значений λ , чем достаточное условие, сформулированное в теореме о разрешимости
уравнения Фредгольма 2-го рода: | λ | < |
|
|
1 |
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
K0 |
(b −a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Далее, так как |
решение представимо |
в виде |
y(x) = f (x) +λ ∫b R(x, s, λ) f (s) ds , |
то |
|||||||||||||||
полагая f (x) = cos x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λπ |
|
|
|
|
πλ |
2 |
|
cos x + |
λπ |
sin x |
|
||||
π |
|
|
|
2 |
sin x + |
2 |
|
cos x |
|
|
|||||||||
y(x) = cos x +λ∫R(x, s, λ) cos s ds = cos x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
2 |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
πλ |
2 |
|
|
|
πλ |
2 |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1− |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Тот же результат дает и непосредственное применение метода последовательных
приближений. |
Положим |
y0 ≡ 0, |
|
yn+1 = λ A yn + f , |
n = 0,1, 2,... , |
тогда |
||||||||||||||||||||
y1 = λ π∫sin(x + s) 0 ds +cos x = cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 = λ π∫sin(x + s) cos s ds +cos x = λ |
π sin x +cos x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λπ 2 |
cos x +λ |
π |
sin x +cos x ; |
||||||||
y3 = λ ∫sin(x + s)[λ |
2 |
sin s +cos s]ds +cos x = |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
………………. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2n+1 |
|
λπ |
2 |
+... |
|
λπ 2n |
|
|
|
λπ |
|
|
λπ |
2 |
|
|
λπ 2n−2 |
|||||||||
= cos x 1+ |
|
|
+ |
2 |
|
|
+sin x |
2 |
|
1 |
+ |
|
+... + |
|
|
; |
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y2n+2 |
= cos x |
|
λπ |
|
2 |
|
|
λπ 2n |
|
|
|
λπ |
|
|
λπ |
2 |
|
|
λπ 2n |
|||||||
1 |
+ |
|
|
|
+... + |
2 |
|
|
+sin x |
2 |
|
1+ |
|
|
+... + |
|
|
. |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко |
видеть, |
|
что |
если |
| λ | < |
2 |
, |
то |
при |
n → ∞ обе |
подпоследовательности |
||||||||||||||
|
|
π |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λπ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x + |
sin x |
|
|
|
|||
сходятся к |
одной и |
той |
же функции |
y(x) |
= |
|
|
|
2 |
|
|
|
, |
которая уже была |
||||||||||||
|
|
πλ 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
получена выше в качестве решения задачи другим способом.
Пример 4.8. Методом последовательных приближений решить уравнение Фредгольма
y(x) = λ∫1 |
y(s) ds +1. |
Показать, что ряд Неймана сходится лишь в области | λ |<1, однако |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение, полученное при этом условии, существует при всех λ ≠1. |
|
|
|||||||||||||
Решение. |
Решение уравнения Фредгольма y = λAy + f может быть записано в виде ряда |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Неймана |
y(x) = f (x) +∑λn An f (x) . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||
В нашем |
|
случае |
Af (x) = ∫1 |
f (x) dx , f (x) =1 , |
поэтому |
Af (x) = ∫1 |
1 dx =1 и, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
аналогично, An f (x) =1 |
(n = 2,3,...) . Следовательно, при условии | λ | <1 , |
ряд Неймана |
|||||||||||||
∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑λn An f (x) = ∑λn |
|
|
сходится, |
|
и |
решением |
уравнения |
является функция |
|||||||
n=1 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) =1+∑λn |
= |
|
|
|
, |
однако |
если |
| λ | ≥1 , то |
ряд расходится, и справедливость |
||||||
1 |
− |
λ |
|||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полученной формулы оказывается под сомнением.
34
|
С другой стороны, обозначив |
∫1 |
y(s) ds = C , |
будем иметь |
y(x) = λC +1, откуда |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C = ∫1 |
(λC +1) ds = λC +1. |
Поэтому, |
при λ =1 уравнение неразрешимо, а для остальных |
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ ≠1 |
находим |
C = |
|
|
1 |
и |
y(x) =1+λC =1+ |
|
|
λ |
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
−λ |
1 |
−λ |
1−λ |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Итак, решение задачи существует при всех λ ≠ |
1 |
и дается формулой |
y(x) = |
|
|
, |
|||||||||||||||
|
1 |
−λ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
что совпадает с выражением, полученным ранее лишь на множестве |
| λ | <1 . Заметим, что |
|||||||||||||||||||||
при условии |
| λ | >1 |
решение |
также |
существует, |
несмотря на |
то, что |
ряд Неймана |
|||||||||||||||
расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
4.1Доказать, что интегральный оператор Фредгольма с вещественным непрерывным ядром,
действующий |
в |
пространстве |
C[a,b] , |
|
не имеет характеристических чисел на интервале |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
K0 |
= max |
|
K (x, s) |
|
λ |
0, |
|
|
|
|
, где |
|
. |
|||
|
|
|
|
||||||||
|
|
K0 |
(b −a) |
|
x,s [a,b] |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2Доказать, что интегральный оператор Фредгольма с вещественным непрерывным ядром,
|
действующий |
в пространстве |
h[a,b] , |
|
не имеет характеристических чисел на интервале |
|||||||||||
|
λ |
|
|
1 |
|
|
где K0 |
= max |
|
K (x, s) |
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
, |
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
K0 |
(b |
−a) |
|
x,s [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3 |
Доказать, что задача решения уравнения Фредгольма 2-рода y(x) = λ∫b K (x, s) y(s) ds + f (x) |
с |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
вещественным непрерывным ядром корректно поставлена при условии | λ | < |
1 |
, где |
|||||||||||||
|
K0 (b −a) |
|||||||||||||||
|
K0 = max |
|
K (x, s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x,s [a,b] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
в пространстве C[a,b] ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) |
в пространстве h[a,b] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.4 |
Доказать, |
что |
оператор Фредгольма |
y(x) = 1 |
∫1 |
x s2 y(s) ds +1 является |
сжимающим |
в |
||||||||
|
пространстве C[0,1] , |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|||||||
|
и найти его неподвижную точку. |
|
|
|
4.5Методом последовательных приближений построить резольвенту и получить решение уравнения Фредгольма 2-го рода:
а) y(x) = λ ∫1 x s y(s) ds + x ;
0
1 |
x |
|
|
б) y(x) = λ ∫0 |
y(s) ds +1+ x2 ; |
||
1+ s2 |
|||
в) y(x) = λ∫1 |
y(s) ds +sin π x ; |
||
0 |
|
|
35
г) |
y(x) = λπ∫x sin 2s y(s) ds +cos 2x ; |
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
д) y(x) =λ |
2∫π sin(x + s) y(s) ds + 2 ; |
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
е) |
y(x) =∫2 sin x cos s y(s) ds +1 |
(λ =1) ; |
|
||
|
0 |
|
|
|
|
ж) y(x) = 1 |
∫1 x es y(s) ds +e−x |
(λ = 1 ) |
; |
||
|
2 |
0 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
з) y(x) = ∫2 y(s) ds + x |
(λ =1) . |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
В случаях а) - д) сформулировать критерий "малого" λ ; в примерах е) - з) проверить выполнение соответствующего условия.
Ответы к задачам
4.4 |
y = |
4 |
x +1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
21 |
|
3xs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4.5 |
а) |
Резольвента |
R(x, s, λ) = |
|
, |
|
решение |
|
y(x) = |
|
; |
|
условие |
|
сходимости |
|||||||||||||||||||
3 −λ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
последовательных приближений |
| λ | < 3 , |
достаточное условие теоремы выполнено при |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
| λ | <1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
б) |
Резольвента |
R(x, s, λ) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
, |
решение |
|
y(x) =1+ |
|
λx |
|
+ x2 ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
1+ s2 |
|
|
|
|
ln 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1−λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−λ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||
|
условие сходимости последовательных |
приближений |
| λ | < |
|
, |
достаточное |
условие |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
теоремы выполнено лишь при | λ | <1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
в) |
Резольвента |
R(x, s, λ) = |
|
|
|
1 |
|
|
, |
|
решение |
y(x) = sin πx + |
|
2λ |
|
; |
|
условие |
|||||||||||||||
|
1 |
−λ |
|
|
π(1−λ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
сходимости последовательных приближений | λ | <1 |
совпадает с достаточным условием |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
теоремы. |
|
|
|
|
x sin 2s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
г) |
|
Резольвента |
R(x, s, λ) = |
, |
решение |
y(x) = cos 2x ; последовательные |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
λπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приближения сходятся при | λ | < π2 , достаточное условие теоремы выполнено только для
| λ | < π12 .
36
д) |
Резольвента |
R(x, s, λ) = sin(x + s) +λπ cos(x − s) , |
решение |
y(x) = 2 ; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−λ2π2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
последовательные приближения сходятся |
при | λ | < |
|
, |
достаточное условие теоремы |
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||
выполнено только при | λ | < |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) |
Резольвента |
R(x, s, λ) = 2sin x cos s |
, |
|
|
|
решение |
y(x) =1+ 2sin x ; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −λ |
| λ | < 2 , |
|
|
|
|
|
|
|||||
последовательные приближения |
|
сходятся при |
однако достаточное |
условие |
||||||||||||||||||
"малого" λ : | λ | = |
1 < |
2 |
, сформулированное в теореме, - |
не выполнено. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) |
Резольвента |
R(x, s, λ) = |
|
xes |
|
, |
решение |
y(x) = x +e−x ; |
последовательные |
|||||||||||||
1−λ |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| λ | = 1 |
< 1 |
|||||
приближения сходятся при | λ | <1 , |
однако достаточное условие теоремы |
|||||||||||||||||||||
не выполняется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ; |
|
|
|
|
||||
з) |
Резольвента |
R(x, s, λ) = |
|
|
, |
решение |
|
y(x) = x + |
последовательные |
|||||||||||||
|
2 −λ |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
| λ | =1 < 2 |
|
|
||||
приближения сходятся при | λ | < 2 , |
|
достаточное условие теоремы |
также |
выполняется.
37
ТЕМА 5
Линейное уравнение Вольтерра 2-го рода.
Основные определения и теоремы.
Уравнение |
y = λ ∫x |
K (x, s) y(s) ds + f (x) , |
x, s [a, b] , или в операторной |
форме |
||
|
|
a |
|
|
|
|
y = λ B y + f , называется уравнением Вольтерра 2-го рода. |
|
|
||||
Пусть ядро K (x, s) |
непрерывно по совокупности переменных на своей треугольной |
|||||
области определения |
∆ ={x, s : a ≤ s ≤ x ≤ b} |
и не равно нулю тождественно, |
f (x) – |
|||
непрерывная на |
[a,b] функция. |
|
|
|
||
Теорема. Уравнение Вольтерра 2-го рода при любом значении λ |
имеет |
|||||
единственное решение для любой непрерывной функции |
f (x) . Это решение может быть |
|||||
найдено методом |
последовательных приближений |
yn+1 = λ B yn + f , y0 C[a,b] , |
||||
f (x) C[a, b] . |
|
|
|
|
|
|
Следствие 1. При любом λ однородное уравнение имеет только тривиальное решение.
Следствие 2. Оператор Вольтерра, действующий C[a,b] → C[a,b] , не имеет
характеристических чисел. Таким образом, оператор Вольтерра является примером вполне непрерывного оператора, не имеющего ни одного характеристического числа.
Метод последовательных приближений для уравнения Вольтерра 2-го рода называется методом Пикара и выглядит так: для любого начального приближения
y0 |
C[a,b] |
|
определим |
|
|
yn+1 = λ ∫x K (x, s) yn (s) ds + f (x), n = 0,1, 2,... , |
или |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
y |
n |
+1 |
= λ B y |
n |
+ f , |
причем |
y |
n |
(x) → y(x) . |
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
||||
|
|
|
Полагая y0 |
= 0 , получаем ряд Неймана y = f +λ B f +λ2 B2 f +... +λn Bn f +... . |
|
|||||
|
|
|
Если записать уравнение Вольтерра 2-го рода в операторной форме y = λAy + f |
или |
(I −λA) y = f , |
то так как решение существует и единственно при любой непрерывной |
|||||||
функции f (x) и |
любом λ , его |
|
(решение) |
можно |
|
представить в виде |
||
y = (I −λA)−1 f = (I +λRλ ) f = f +λRλ f , где |
Rλ - интегральный оператор с непрерывным |
|||||||
по x, s ядром R(x, s, λ) , т.е. y(x) = f (x) +λ∫x |
R(x, s, λ) f (s)ds . |
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
Ядро R(x, s, λ) |
оператора Rλ |
называется резольвентой. |
|
|
||||
Функции |
K1 (x, s) ≡ K (x, s) , |
Kn (x, s) = ∫x K (x,t) Kn−1 (t, s) dt , |
n = 2,3,... называются |
|||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
повторными |
(итерированными) |
ядрами. |
|
Ряд K (x, s) +λK (x, s) +... +λn−1 K (x, s) +… |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
=K ( x,s)
сходится равномерно по x, s [a, b] при любых λ, в отличие от аналогичного ряда для
38
уравнения Фредгольма, сходимость которого гарантировалась лишь при |
|
λ |
|
< |
1 |
, и |
|
|
|||||
|
|
K0 (b −a) |
||||
|
|
|
|
|
|
∞
резольвента R(x, s, λ) может быть получена по формуле R(x, s, λ) = ∑λm−1Km (x, s) .
m=1
Уравнения Вольтерра с ядрами специального вида могут также решаться путем сведения к дифференциальному уравнению, либо с использованием преобразования Лапласа (примеры 5.4 и 5.5).
Примеры решения задач.
Пример |
5.1. |
Методом последовательных приближений |
построить резольвенту |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
интегрального |
уравнения |
Вольтерра |
2-го |
рода |
|
y(x) = λ∫e−( x−s) y(s) ds + xe |
|
|
и найти |
||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
решение этого уравнения при λ =1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решение. |
Вычислим повторные ядра этого уравнения: K (x, s) = K (x, s) = e−( x−s) , |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
K2 (x, s) = ∫x |
K (x,t) K1 (t, s) dt = ∫x e−( x−t ) e−(t−s) dt = (x −s) e−( x−s) , |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
s |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K3 (x, s) = ∫x |
K (x,t) K2 (t, s) dt = ∫x e−( x−t ) (t − s) e−(t−s) dt = |
(x − s)2 |
e−( x−s) , |
|
|||||||||||||||||
2 |
|
||||||||||||||||||||
|
s |
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
…………. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Km+1 (x, s) = ∫x K (x,t) Km (t, s) dt = (x −s)m e−( x−s) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
s |
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
эти |
выражения |
в |
формулу |
для |
резольвенты, |
получим |
||||||||||||||
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(x, s, λ) = ∑λm−1Km (x, s) = e−( x−s) eλ( x−s) = e(λ−1)( x−s) . Заметим, что ряд сходится при любых |
|||||||||||||||||||||
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ, что обеспечивается не |
малостью λ, как было |
в случае уравнения Фредгольма, а |
|||||||||||||||||||
наличием множителя |
m! |
в знаменателях повторных ядер. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Далее, |
положив λ =1 , получим R(x, s, λ) = R(x, s,1) =1 и запишем |
решение |
|||||||||||||||||||
уравнения при |
f (x) = xe |
x2 |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x2 |
x |
|
s2 |
|
|
x2 |
|
|||||||
y(x) = f (x) +λ ∫R(x, s, λ) f (s) ds = xe |
|
+1 ∫s e |
|
ds = (x +1) e |
|
−1 . |
|
||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.2. Методом последовательных приближений решить уравнение Вольтерра y(x) = ∫x (s − x) y(s) ds +1 .
0
Решение. Итерационный |
процесс для данного уравнения выглядит так: |
yn+1 (x) = ∫x (s − x) yn (s) ds +1 . |
Выберем в качестве начального приближения y0 (x) ≡ 0 , тогда |
0 |
|
последовательно найдем: |
|
39
y1 (x) = ∫x (s − x) 0 ds +1 =1 ,
0
y2 (x) = ∫x (s − x) y1 (s) ds +1 = ∫x (s − x) 1 ds +1 =1− |
x2 |
, |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
y3 (x) = ∫x (s − x) y2 |
(s) ds +1 =1− |
x2 |
+ |
x4 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
2! |
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
…………….. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yn+1 (x) = ∫x (s − x) yn (s) ds +1 =1− |
x2 |
+ |
x4 |
−... + (−1)n x2n . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
2! |
4! |
|
|
(2n)! |
|
|
|
|
||||||||
Переходя к пределу при n → ∞, получим функцию y(x) = lim yn (x) = cos x , которая и |
|||||||||||||||||
является решением рассматриваемого уравнения. |
|
n→∞ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
Пример 5.3. Доказать, что если ядро уравнения Вольтерра |
y(x) = λ∫x |
K (x, s) y(s) ds + f (x) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
зависит только от разности аргументов, |
т.е. |
K (x, s) = K (x −s) , то все повторные ядра, а |
|||||||||||||||
следовательно и резольвента, также являются функциями лишь от разности |
(x −s) . |
||||||||||||||||
Решение. Пусть K (x, s) = K (x −s) , тогда |
K2 (x, s) = ∫x |
K (x −t) K (t −s) dt . Произведя замену |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
переменной |
интегрирования |
по |
|
|
формуле |
t − s =ξ , |
получим |
||||||||||
K2 (x, s) = x∫−s K (x − s −ξ) K (ξ) dξ = x∫−s F2 (x − s,ξ) dξ = Φ2 (x − s) . |
|
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действуя |
далее |
|
|
|
|
|
аналогичным |
путем, |
найдем, |
Km (x, s) = ∫x K (x,t) Km−1 (t, s) dt = ∫x K (x −t) Km−1 (t − s) dt = x∫−s K (x − s −ξ) Km−1 (ξ) dξ = Φm (x − s) ,
s s 0
что и требовалось доказать.
Пример 5.4. С помощью преобразования Лапласа найти резольвенту и записать решение
уравнения Вольтерра y(x) = ∫x sin(x − s) y(s) ds + f (x) .
0
Решение. Поставим в соответствие функциям, входящим в уравнение, их изображения:
y(x) ÷Y ( p) , f (x) ÷ F( p) , |
sin x ÷ |
|
1 |
|
≡ K ( p) . Учитывая, что изображение свертки двух |
|||||||
|
p2 +1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функций есть произведение их изображений, получим |
Y ( p) = K ( p) Y ( p) + F( p) , откуда |
|||||||||||
Y ( p) = |
|
|
F( p) |
= F( p) + |
|
|
K ( p) |
F( p) . |
|
|||
1 |
− K ( p) |
1 |
− K ( p) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Используя результат предыдущей задачи, можно сделать вывод, что резольвента |
||||||||||||
зависит |
лишь |
от разности (x −s) , |
следовательно, |
решение исходного уравнения |
представимо в виде y(x) = f (x) +∫x R(x − s,1) f (s) ds . Сравнивая последние две формулы,
a
40