Добавил:

TooL Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

В. Д. Бертяев, Л. А. Булатов, В. В. Глаголев, В. И. Латышев, А. Г. Митяев. ЭВМ в курсе теоретической

.pdf

Скачиваний:

127

Добавлен:

22.01.2014

Размер:

3.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

			0
			P2				Вычисляем определитель матрицы коэффициентов A .
			P2				Вычисляем определитель матрицы коэффициентов A .
	P AL − P AE − M					1
		2	2			1
			0					A(β,γ)	→ BE sin(β) (−ED cos (γ) + EC sin(γ))
			0					A(β,γ)	→ BE sin(β) (−ED cos (γ) + EC sin(γ))
			0
B(γ) :=			0
B(γ) :=			M				*
			M	2			*
				2			Вычисляем вектор неизвестных реакций

−P1 sin(α + γ) − Q sin(γ)
−P1 sin(α + γ) − Q sin(γ)
P cos (α + γ)					+ Q cos (γ)
	1
	1	ED Q − EK P sin(α)					R(β,γ) := A(β,γ)			− 1	B(γ)
	1
	2
	2				1

Формируем выражения неизвестных реакций в соответствие с их обозначениями на рис.

MA(β,γ)

:= R(β,γ)0

RB(β,γ)

:= R(β,γ)1 *

RC(β,γ)

:= R(β,γ)2

RD(β,γ) := submatrix(R(β,γ),3,4,0,0)

RE1(β,γ) := submatrix(R(β,γ),5,6,0,0)

RE2(β,γ) := submatrix(R(β,γ),7,8,0,0)

RE3(β,γ) := −1 (RE1(β,γ) + RE2(β,γ))

Находим символьные выражения реакций связей для их дальнейшего анализа.

Выражения для сил RC и YD = RD 1

представлены в виде коллажа.

MA(β,γ) → P2 AL − P2 AE − M1

RB(β,γ) →

BE sin(β)

R (β,γ) → ED

cos (γ)

+ ED

sin(β) sin(γ) − cos (β) cos (γ)

−

ED cos (γ) − EC sin(γ)

(ED cos (γ) − EC sin(γ)) BE sin(β)

− ED

sin(γ)

(−P1 sin(α + γ) − Q sin(γ))+

ED cos (γ) − EC sin(γ)

+ ED

cos (γ)

(P1 cos (α + γ) + Q cos (γ))−

ED cos (γ) − EC sin(γ)

−

ED Q − EK P sin(α)

(γ) −

(γ)

ED cos

EC sin

R (β,γ)0

→

−1

− P sin(α + γ) − Q sin(γ)

sin(γ)

sin(β) ED − cos (β) EC

RD(β,γ)1 → −EC

P2 − sin(γ)

ED cos (γ) − EC sin(γ)

(ED cos (γ) − EC sin(γ)) BE sin(β)

+ ED

sin(γ)

(−P1 sin(α + γ) − Q sin(γ))−

ED cos (γ) − EC sin(γ)

− EC

sin(γ)

(P1 cos (α + γ) + Q cos (γ))+

ED cos (γ) − EC sin(γ)

ED Q − EK P sin(α)

(γ)

−

(γ)

ED cos

EC sin

−1

RE1(β,γ)0 → 0

RE2(

β,γ)0 →

RE3(β,γ)0 →

RE1(β,γ)1 → P

(

β,γ)1 →

−cos (β)

(β,γ)1 → −P +

cos (β)

BE sin(β)

Для численного расчета уравнений равновесия вводим исходные данные с использованием оператора глобального присваивания

AE ≡ 2	BE ≡ 1	AL ≡ 1	ED ≡ 3	EC ≡ 4	EK ≡ 1	α ≡	π
							6

M1 ≡ 15

M2 ≡ 20

P1 ≡ 10

P2 ≡ 30

q ≡ 5

Fпр := 100

Q ≡ q ED *

Q = 15

Вычисляем равнодействующую распределенной

, постоянной интенсивностиq .

нагрузкиQ

−45

Вычисляем неизвестные реакции связей с помо-

28.284

щью прямого матричного метода при значениях

β =π

, γ

=π

−61.322

−42.99

78.822

−20

φ:= atan

−20

deg = 36.87

Исследуем влияние геометрических параметров балки на величины реакций и найдем области их допустимых значений.

Проводя анализ уравнений равновесия, видим, что решение существует, если определитель матрицы A , составленной из коэффициентов при неизвестных реакциях связей, не равен нулю. Выражение для определителя матрицы A преобразуем к виду

det(A)=BE sin(β ) EC sin(γ )− ED cos(γ ) = BE sin(β )DC sin(γ −φ),

где φ = arctg (ED EC ) (см. рис. 2.2.6).

Величина h = DC sin(γ −φ) (см. рис. 2.2.6 а) задает ориентацию звена

DEC на плоскости. Если h = 0 , звено DEC расположено так, что неподвижный шарнир D и ось невесомого стержня C лежат на прямой, параллельной оси Oy

(см. рис. 2.2.6 б).

Так как размеры звеньев конструкции не могут быть нулевыми, математически равенство нулю определителя матрицы A можно записать в виде

β = 0 ,γ =φ .

При β = 0 , стержень BE получает дополнительную степень свободы и может проворачиваться вокруг шарнира E (рис. 2.2.6 а). При γ =φ звено DEC

будет совершать вращательное движение вокруг шарнира D , стержень AE — поступательное, а звено BE – плоское движение (рис. 2.2.6 б).

Q D

P2	P	Q	D
	2

		E			P1			E
A	L	γ	K	α	A	L	M1		K
		M1	ψ	α			M1	γ	K
			ψ		φ				α	P1
			M2		C				M2	φ
		B			h			B		C
	a)					б)		β
		Рис. 2.2.6 Превращение конструкции в механизм.
	Исследуем теперь влияние параметров β и γ						на величины реакций свя-
зей и определим область значений, внутри которой их модули не превышают
значения Fкр =100 кН .

Анализ выражений для реакций, полученных ранее, показывает, что

реакции M A

и RE1

не зависят от β и γ ;

реакции RB ,

RE 2 и RE3 зависят только отβ ;

реакции RC

и RD зависят как от β так и от γ .

Рассмотрим влияние параметра β

на значения реакций

B ,

E 2 и

E3 .

Так как модули усилий

E 2 и

B равны между собой, ограничимся исследова-

нием реакций

E3 , для чего построим графики зависимостей

B (β ) и

E3 (β )

с установкой в шаблоне 2D-графика маркераFпр .

150

β := 0,

.. 2

γ := 3

360

100

Fпр

RB(β ,γ)

RE3(β ,γ)

β deg−1

Вычисляем предельные значения углаβ , при которых модули реакций не превышают величиныFпр .

root

R β,

− F

,β,TOL,

βпрRb = 11.537

βпрRb :=

пр

deg

root

R β,

− F

,β,TOL,

βпрE3 = 8.882

βпрE3 :=

пр

deg

(β ) имеют выраженные минимумы, определим значения

Так как зависимости

B (β ) и

углаβ , при которых модули реакций

минимальны.

Rb(x) :=

R x,

Re3(x) :=

x := π

Given

0 ≤ x ≤ π

βRb_min :=

Minimize(Rb,x)

βRb_min = 90

deg

βRe3_min:=

Minimize(Re3,x)

βRe3_min = 33.69

deg

Таким образом, угол β при котором значения модулей сил

B ,

E 2 и

не превышают величину Fпр должен лежать в интервале

βmin ≤ β ≤

π , где βmin = βпрR

Минимальное значение модуля реакции

E3 достигается при β = βR .

E 3min

Исследуем теперь влияние параметров β и γ

на значения реакций

C и

RD . Так как эти реакции являются функциями двух переменных, представим данные зависимости на 3D-графиках в виде трехмерных фигур, что не всегда позволяет рассмотреть их детали и требует вращения вокруг осей координат.

Поэтому будем изображать поверхности RC (β, γ ) и RD (β, γ) в проекциях на фронтальную (xO z), горизонтальную (xO y) и профильную (yO z) плоскости.

При необходимости не сложно изобразить и сами эти поверхности. Для отображения этих поверхностей в проекциях на соответствующие плоскости необходимо установить на вкладке "General" панели форматирования 3D графиков следующие значения опции "View":

для фронтального вида — Rotation = 0, Tilt = 0, Twist = 90;

для горизонтального вида — Rotation = 0, Tilt = 90, Twist = 90; 74

для профильного вида — Rotation = 0, Tilt = 0, Twist = 0.

Rc(β,γ) := RC(β deg ,γ deg)

a)		б)

в)

г)

Фронтальный (а), профильный (б), горизонтальный (в) и общий виды зависимостиRC (β, γ) .

Rd(β,γ) :=

RD(β deg ,γ deg)

Фронтальный (а), профильный (б), горизонтальный (в) и общий виды зависимости

RD (β, γ )

Анализ графиков данных зависимостей позволяет сделать предварительный вывод:

o выражения RD (β, γ ) и RC (β, γ ) имеют разрыв при значении γ =φ и любых

значениях β ;

oмодуль реакции RD (β, γ ) имеет ярко выраженные минимумы в интервале

15°≤ β ≤17°;

oв том же интервале значений β поверхности RD (β, γ ) и RC (β, γ ) касаются плоскости γ =γкр .

Так как решения для реакций RD (β, γ ) и RC (β, γ ) при γ =γкр ≡φ имеют сингулярность, нахождение βкр , при котором вышеуказанные поверхности ка-

саются плоскости γкр =φ , будем проводить в окрестности ее значений

γкр =φ(1±ε ),

где ε = TOL, TOL — системная константа Mathcad, обеспечивающая заданную точность вычислений.

Для этого необходимо найти корни уравнений

RD (β, γкр ) = const и RC (β, γкр ) = const ,

при разных значениях констант.

Вычисление корней произведем с помощью процедуры функции "root".

X := 17

F := 100

180

root

R X,φ (1 − TOL)

− F, X

+ root

X,φ (1 + TOL)

− F, X

− 1

βкрRc :=

deg

βкрRc = 16.554

root

R X,φ (1 − TOL)

− F, X

+ root

X,φ (1 + TOL)

− F, X

− 1

βкрRd :=

deg

βкрRd = 16.554

После нахождения βкр можно перейти к определению областей допусти-

мых значений β и γ, при которых обеспечивается условия Ri ≤ Fпр .

Для этого найдем уравнения кривых γпр (β ), которые удовлетворяют

уравнениям

RD (β, γ ) = Fпр и RC (β, γ ) = Fпр ,

и отобразим их на графике с установкой маркеров, обозначающих критические значения углов βкр иγкр ≡φ , а также предельное значение βmin , при котором обеспечивается выполнение условий

RB = Fпр, RE 2 = Fпр, RE 2 < Fпр .

Данные кривые найдем с помощью процедуры функцииroot , вычисляющей корни уравнений, при заданных значениях β , лежащих в интервалах γ

0 ≤γ ≤φ(1−ε )

иφ(1+ε )≤γ ≤π

(β)

:= root

R (β,γ)

− F

,γ,0,φ (1 − TOL)

deg− 1

пр1Rc

пр

(β)

:= root

R (β,γ)

− F

,γ,φ (1 − TOL) ,

deg− 1

пр2Rc

пр

(β)

R (β,γ)

deg− 1

:= root

− F

,γ,0,φ (1 − TOL)

пр1Rd

пр

(β)

:= root

R (β,γ)

− F

,γ,φ (1 − TOL) ,

deg− 1

пр2Rd

пр

β := 0,

.. π

βmin := βпрRb

βкр := βкрRd

180

90
75	βmin βкр
75
γпр1Rc(β)
60
γпр1Rd(β)
γпр2Rc(β) 45									γкр
γпр2Rd(β) 30
15
0	15	30	45			60		75	90
			β deg−1
Анализ данных графиков позволяет указать области допустимых значе-
ний параметров β и γ, при которых выполняются условия задачи									Ri ≤ Fпр
			β		min	≤ β ≤π		2
					min
						≤γ ≤π
	при	γ >φ	γ	пр2 RD		≤γ ≤π		2
				пр2 RD				2
	при	γ <φ		0 ≤γ ≤γпр
						1R
							C
Используя указанные значения предельных величин можно найти част-
ные решения:

при фиксированных значениях β

β := π

(β)

= 24.657

(β) = 56.459

пр1Rc

пр2Rd

при фиксированных значениях γ

βmax_γ(γ) :=

if γ > φ

γ ≥ γпр2Rd 2

deg

root

(β) −

,β,1.01 β

кр

deg ,

deg− 1

otherwise

deg

пр2Rd

otherwise

γ ≤ γпр1Rc 2

root

(β) −

,β,1.01 β

кр

deg ,

deg− 1

otherwise

deg

пр1Rc

βmin_γ(γ) :=

if γ > φ

γ ≥ γпр2Rd(βmin deg) deg

βпрRb

root

(β) −

,β,β

прRb

deg ,0.99 β

кр

deg

deg− 1

otherwise

deg

пр2Rd

otherwise

γ ≤ γпр1Rc(βmin deg) deg

βпрRb

root

(β) −

,β,β

прRb

deg ,0.99 β

кр

deg

deg− 1

otherwise

deg

пр1Rc

γ := π

(γ) = 13.218

(γ) = 90

min_γ

max_γ

2.2.2. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ

Фермой называется геометрически неизменяемая конструкция, образованная прямолинейными стержнями, соединенными друг с другом идеальными шарнирами, которые называются узлами фермы. Если стержни, образующие ферму, лежат в одной плоскости, то такая ферма называется плоской. Плоская ферма является статически определимой, если число узлов n и число стержней N удовлетворяют равенству

N = 2 n −3.

Если N > 2 n −3, то ферма является статически неопределимой.

Если N < 2 n −3 , то ферма имеет дополнительные степени свободы, т.е.

является механизмом.

При расчете ферм методами теоретической механики предполагается, что активные силы приложены в ее узлах. В противном случае все действующие усилия необходимо привести к узлам фермы. Усилия в стержнях фермы направлены вдоль их осей и могут быть только сжаты или растянуты. Расчет статически определимых ферм сводится к определению усилий в стержнях фермы. В этом случае все активные силы и реакции опор являются внешними силами для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело; усилия в стержнях — внутренними силами.

Одним из основных методов расчета ферм является метод вырезания узлов, при котором последовательно рассматривается равновесие каждого узла фермы. Система сил, действующая на узел, является в этом случае сходящейся, а для плоской фермы — сходящейся плоской. При расчете плоских ферм, методом вырезания узлов необходимо составить 2n уравнений равновесия

∑Fk iX = 0,	∑Fk iY = 0, i =		.
		1, n
k	k

Совместное решение уравнений равновесия позволяет вычислить N +3 неизвестных величин: N усилий в стержнях и 3 реакции опор.

Пример

Рассмотрим мостовую ферму (рис. 2.2.7) на которую действуют силы P1 ,

P2 и P3 . Геометрические размеры фермы известны.

			P1
			β		10
			6
			5	7	9			b
	1				9		13
	1	3					13
		3				11
	2		4		8		12	B
γ	A	P				P3
		P			a	P3
	a	2	a				a
	a		a				a

Рис. 2.2.7 Мостовая ферма Определить усилия в стержнях фермы, а также реакции опор, если

P1 =10 кН, P2 = 20 кH , P3 = 30 кH ,
a =1 м,	b = 3 м, β = 30 ,	γ = 45 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>