matanaliz

72 Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции

Тогда, приравняв в формуле (4.5) n = 2m, получим

4.3. Исследование графика функции на наличие

экстремумов

Пусть задана функция y = f(x). Требуется исследовать ее на

наличие экстремумов, и если они есть, то определить их тип. Точки возможного0 экстремума определяются путем решения

уравнения f (x) = 0, так как это уравнение является необходи-

мым условием существования экстремумов у дифференцируемой функции (теорема4.2). Эти точки будем называть стационарными точками.

Для определения типа экстремума необходимо иметь достаточные условия наличия экстремумов.

Теорема 4.8. (первое достаточное условие экстремума)

Пусть точка x = ® является точкой возможного экстремума функции f(x)(x = ® является решением уравнения f0(x) = 0). Тогда, если в окрестности этой точки слева f0(x) > 0, à

справа f0(x) < 0, то эта точка локального максимума. Если в окрестности этой точки слева f0(x) < 0 а справа f0(x) > 0,

то эта точка локального минимума. Если слева и справа производная имеет одинаковые знаки, то экстремума нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем в окрестности точки x = ® сегмент [x; a]. На этом сегменте функция удовлетворяет

условиям теоремы Лагранжа. Тогда имеем

f0(») находится слева от точки a. Пусть f0(») > 0: Òàê êàê a ¡ ¡ x > 0, òî f(a) > f(x) . На сегменте [a; x] имеем

x ¡ a > 0, òî f(a) > f(x) . Следовательно, точка x = ® является

точкой максимума. Аналогично доказывается условие минимума0 . Пусть функция слева и справа имеет один знак f (») > 0.

Тогда, из формулы (4.6) имеем f(a) > f(x), а из формулы (4.7) получаем f(x) > f(a). Следовательно экстремума нет.¤

Теорема 4.9. (второе достаточное условие экстремума)

Пусть функция f(x) имеет в точке возможного экстремума

x = ®

(f0(a) = 0) и конечную вторую производную. Тогда, если f00(a) > 0, то это точка минимума, а если f00(a) < 0, òî ýòî

функция f0(x) в этой точке возрастает, а f0(a) = 0. Â ýòîì

случае, в 0соответствии с определением0 4.1, в окрестности этой точки f (x) < 0, когда x < a f (x) > 0 когда x > a. Тогда,

в соответствии с теоремой 4.8 это точка минимума. Аналогично доказывается условие для точки максимума.¤

Однако, следует учесть, что функция может иметь экстремумы в точках, в которых производная не определена.

Теорема 4.10. Пусть функция f(x) дифференцируема в

окрестности точки x = ®, а в точке x = ® производная не

определена, но сама функция является непрерывной0 в этой точке. Тогда, если в окрестности этой точки слева f (x) > 0,

а справа f0(x) < 0, то эта точка локального максимума. Если в окрестности этой точки слева f0(x) < 0, а справа f0(x) > 0,

ства построим таблицу интервалов с указанием знака производных на этих интервалах.

74 Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции

Используя первое достаточное условие экстремума, получа- ем, что в точке x = 0 имеем максимум, в точке x = 2 имеем

В точках x = ¡1 è x = 5 имеем минимум, а в точке x = 2 максимум.

4.3.1. Наибольшее и наименьшее значение функции на сегменте. Пусть задана непрерывная функция y = f(x), x 2

2 [a; b]. Требуется определить наибольшее и наименьшее значе-

4.4.Контрольные вопросы

1.Сформулируйте необходимые условия экстремумов.

2.Сформулируйте достаточные условия экстремумов.

3.Сформулируйте правило Лопиталя.

4.Перечислите виды неопределенностей, которые возникают при вычислении пределов и способы их раскрытия.

5.Сформулируйте теорему Тейлора.

6.Какие формы остаточного члена в формуле Тейлора Вы знаете?

7.Приведите формулу Лагранжа и поясните ее геометриче- ский смысл.

8.Сформулируйте теорему для обобщенных конечных приращений.

4.5. Методические указания по решению задач

Рассмотрим порядок решения некоторых типовых задач.

1. Требуется получить оценку разности двух функций y =

jarctgx ¡ arctgzj 6 jx ¡ zj :

это равенство ln y = tg x ln x. Решив это уравнение y = etg x ln x получим xtg x = etg x ln x Принимая во внимание непрерывность

76 Лекция 4. Основные теоремы. Экстремумы фуекции

экспоненциальной функции, получаем etg x ln x = e(tg x ln x). Âû-

= ¡ lim sin2x = 0:

x!0 1

В результате получаем

lim xtg x = e0 = 1:

x!0

5. Найти интервалы возрастания и убывания функции

y = 2x3 + 3x2 ¡ 12x + 5:

Решение: Воспользуемся результатами теоремы 4.1.

Ðèñ. 4.2.

y0 = 6x2 + 6x ¡ 12: Ищем критические точки, решая уравне- íèå6x2 + 6x ¡ 12 = 0, x1 = ¡2, x2 = 1. Определяем знаки произ-

водной на полученных интервалах рис.4.2.

В результате имеем: интервалы возрастания (¡1; ¡ ¡2) è (1; +1), интервал убывания (¡2; 1). В соответствии с теоремой 4.8, в точке x = ¡2 имеем максимум, а в точке x = 1

минимум функции.

6. Найти экстремумы функции y = x2 (4 ¡ x)2

Решение:0 Ищем критические точки

y = 4x(x2 ¡ 6x + 8): Решаем уравнение 4x(x2 ¡ 6x + 8) = 0:

Получаем: x1 = 0, x2 = 2, x3 = 4: Воспользуемся вторым достаточным условие экстремумы, теорема 4.9. y00 = 4(3x2 ¡ 12x +

+ 4). Вычисляем значения второй производной в критических точках y00(0) = 16, y00(2) = ¡32, y00(4) = 16. Следовательно,

в точках x1 = 0, x3 = 4 имеем минимум, а в точке x2 = 2 максимум.

7. Записать формулу Тейлора для функции y = ln x в окрест-

ности точки x = 1. Остаточный член записать в форме Пиано. Решение: В соответствии с теоремой 4.7, имеем

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на сегменте.

8. à) f(x) = ln(x2 ¡ 2x + 2), x 2 [0; 3], á) y = lnx=x, x 2

2 [1; 4]:

Ë å ê ö è ÿ 5

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ИХ ГРАФИКОВ

5.1. Направление выпуклости графика функции

Определение 5.1. График функции y = f(x) имеет на ин-

тервале (a; b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если

график функции на этом интервале лежит выше (ниже) любой касательной проведенной к функции на данном интервале.

Иллюстрация данного определения приведена на рис. 5.1 и

5.2.Часто, функцию, имеющую направление выпуклости вверх, называют выпуклой, а функцию, имеющую направление выпуклости вниз, называют вогнутой.

Следующее утверждение дает условия, по которым можно определять, куда направлена выпуклость.

Теорема 5.1. Если функция y = f(x) дважды дифферен-

цируема на интервале (a; b) и вторые производные имеют конечные значения, то при f00(x) > 0 8x 2 (a; b) функция вогнута, а при f00(x) < 0 8x 2 (a; b) функция выпуклая

Äî ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.0 Составим уравнение касательной

âточке x = ¯ yk = f(¯) + f (¯)(x ¡ ¯). Разложим функцию в

80 Лекция 5. Исследование функций и их графиков

окрестности токи x = ¯ по формуле Тейлора (4.4) с остаточным членом в форме Лагранжа, положив n = 1

Вычитая из этого уравнения уравнение касательной, получим

y< yk 8x 2 (a; b) =) функция выпуклая.¤

5.1.1.Точки перегиба. Определение 5.2. Точка A(c; f(c))

графика функции y = f(x) называется точкой перегиба, если

в окрестности точки x = c график функции слева и справа

имеет разные направления выпуклости.

Теорема 5.2. (необходимое условие) Если функция y = f(x)

дважды дифференцируема в точке x = c и график функции имеет в этой точке перегиб, то f00(c) = 0:

Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ00 т в о. Будем доказывать00 от противного. Пусть в точке x = c f (c) < 0 èëè f (c) > 0. Следовательно, в

соответствии с теоремой 5.1, функция в окрестности этой точке имеет направление выпуклости вверх или вниз. Тогда в этой точке нет перегиба. Противоречие доказывает справедливость утверждения теоремы.¤

Эта теорема дает только необходимое условие наличия точки перегиба. Например, функция y = x4 имеет в точке x = 0 íóëå-

вую вторую производную. Однако эта точка не является точкой перегиба.

Теорема 5.3. (первое достаточное условие перегиба) Åñëè функция y = f(x) дважды дифференцируема в окрестности

точки x = c, f00(c) = 0, а слева и справа вторая производная имеет конечные значения разных знаков, то точка x = c

является точкой перегиба.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выполнено необходимое условие перегиба. Так как по условиям теоремы производные в окрестности точки x = c слева и справа имеют разные знаки, следует, что

слева и справа разные направления выпуклости. Следовательно, точка x = c является точкой перегиба.¤

f00(c) = 0. Следовательно, слева и справа функция f00(x) имеет разные знаки, что говорит о том, что точка x = c является точкой

перегиба.¤

Теорема 5.4. (третье достаточное условие наличия экстремума или точки перегиба) Пусть функция y = f(x)n + 1 ðàç

дифференцируема в окрестности точки x = c, и выполнены условия:

f00(c) = ¢¢¢ = f(n)(c) = 0, f(n+1)(c) 6= 0:

Тогда, если n четное, то точка x = c является точкой

точкой экстремума. Кроме того если f(n+1)(c) > 0, то это минимум, если f(n+1)(c) < 0, то это максимум.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n ¡ ¡четное, n > 4. Èç

условий

f(n)(c) = 0, f(n+1)(c) =6 0 следует, что функция f(n)(x) â

точке x = c возрастает или убывает и слева и справа имеет разные знаки. Разложим функцию f00(x) по формуле Тейлора

f(n)(»), а следовательно и функция f00(x) будут иметь разные знаки слева и справа от точки x = c. Следовательно, это точка

в окрестности точки x = c возрастает, причем слева она отрицательна, а справа положительна.