Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МА_технические_семестр1_Пределы Производная Графики Интегралы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.03.2016

Размер:

2.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Ответ:		10x	7	.


	2 5x2		7x 3
	2 5x2		7x 3

b)y=x5arcsin2x.

Пользуясь правилами дифференцирования (1.35), (1.37) и таблицей производных, получаем:

y	x5 arcsin 2x x5 arcsin 2x			5x4 arcsin 2x x5		1 2


						1 2x 2
						1 2x 2
	5x4 arcsin 2x		2x5
					.


		1		4x2

Ответ:

5x4 arcsin 2x				2x5
						.
						.
			1		4x2
	x4
y		.
y	ln x	.

Пользуясь (1.36) и таблицей производных, получаем:

ln x x

ln x

ln x x

x3 (4 ln x 1)

ln2 x

Ответ:

x3 (4 ln x

ln2 x

d)y=tg23x.

Пользуясь (1.37) и таблицей производных, получаем:

y 2tg3x						1		3.

				cos2
							3x
e)		x t5					2t, y t3 2t 1.
Пользуясь (1.40) и таблицей производных, получаем:
y	3t2	2			.
	5t4	2

Ответ:			3t2			2	.
			5t4			2

00.04	Вычислить вторую производную функции	y=x2arctgx.
Решение.
Пользуясь правилами дифференцирования (1.34), (1.35),		(1.36), (1.41) и
	51

таблицей производных, получаем последовательно первую и вторую производные:

arctgx

x2 arctgx

2xarctgx

1 2xarctgx

1 x2

2 x

arctgx x arctgx

1 x2

2 arctgx

(1 x2 )2


Ответ: 2 arctgx		x3	2x		.
Ответ: 2 arctgx					.
	1		x2	2
	1		x2
00.04	Найти экстремумы функции y					x2
							.
						x 1	.

Решение. Рассмотрим функцию при x 1.

Вычислим производную и приравняем ее нулю.

	2x x 1 x2	x2 2x	x x 2
y				.
y	x 1 2	x 1 2	x 1 2	.

Производная равна нулю при x1=0 и x2=0.

При прохождении критической точки x1=0 производная меняет знак с плюса на минус, значит в ней есть экстремум, а именно – максимум, в

которой функция равна нулю.

При прохождении критической точки x2=2 производная меняет знак с минуса на плюс, значит в ней есть экстремум, а именно – минимум, в

которой функция равна четырем.

Ответ: при x1=0 максимум, y(0)=0; при x2=2 минимум, y(2)=4.

00.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции

f(x)=x/2-sinx на отрезке [3π/2;2π].

Решение.

Вычислим производную и приравняем ее нулю.

f (x)	1	cos x.

	2
	2

Производная равна нулю при cos x	1	, x	arccos	1	2 n		2 n, n Z.
Производная равна нулю при cos x	2	, x	arccos	2	2 n	3	2 n, n Z.
	2			2		3
52

Заданному интервалу принадлежит только критическая точка x=5π/3,

при прохождении которой производная меняет знак с плюса на минус,

значит в ней есть экстремум, а именно – максимум, в которой функция равна

f	5		5	sin	5		5	sin 2		5	sin		5		3	3, 483.
	3	6			3	6			3	6		3	6	2

Вычислим значения функции на концах заданного отрезка

f (	3	)		3	sin	3		3	1		3	1 3,355,
	2		4			2	4			4

f (2 )					sin(2 )		0			3,141.

Ответ: наибольшее значение функции f	5		5		3	3, 483,
	3	6		2

наименьшее значение функции f(2π)=π≈3,141.

00.06Провести полное исследование и построить график

функции y	4x
		.
	4 x2

Решение.

1)Область определения функции – вся числовая ось.

2)Точек разрыва нет.

3)Функция нечетная (симметрична относительно начала координат).

4)График пересекает ось OX в начале координат.

5)Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты:

lim

f (x)

lim

0, b

lim f (x) kx

lim

)

(4 x

Наклонная (горизонтальная) асимптота y=0.

4 4 x2

4x 2x

4 x2

Функция возрастает при 0<x<2, убывает при x>2

7)f (x)=0 при x=2. В данной точке максимум f(2)=1.

2x 4 x2 2

4 x2

2 4 x2

4 x2

8 2x2

x2 4

x2 3

8x(x2

12)

x2 3

График функции выпуклый при 0 x

3; вогнутый при x

2 3.

Поместим основные данные в таблицу (рис. 3.2).

(0;2)

(2;2 3)

2 3

(2 3; )

f(x)

f (x)

f=0, -

f>0, воз-

f=1,

f>0,

Пере-

f>0,убывает,

Выводы

перегиб

растает,

макси-

убывает,

гиб

вогнута,

выпукла

мум

выпукла

асимптота y=0

рис 3.2. График функции

Часть 2 Интегральное исчисление

00.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить

результат дифференцированием.

x4dx . 1 x10

Решение.

Пользуясь простейшими свойствами неопределенного интеграла,

формулой (2.16) и (2.20), получаем:

x4dx

5x4dx

d (x5 )

arcsin x5

1 x10

1 (x5 )2

Проверим полученный результат дифференцированием

	1	arcsin x5		C		1	arcsin x5	1	1		5x4		x4	.
5					5			5

									1 x5	2		1 x10
Ответ:			1	arcsin	x5		C.
Ответ:			5	arcsin	x5		C.
			5

00.08 Вычислить неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием.

x sin2 x cos2 x dx.

Решение.

Пользуясь простейшими свойствами неопределенного интеграла и формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле (2.22),

получаем:

x, du

dx,

x sin2 x cos2 x dx

x cos 2xdx

dv cos 2xdx,

sin 2x

x sin 2x

cos 2x

Проверим полученный результат дифференцированием

	x sin 2x					cos 2x	C			1		x sin 2x	1	cos 2x
2				4			C		2			x sin 2x	4	cos 2x
2				4					2				4
		1	sin 2x x 2 cos 2x						1			2sin 2x		x cos 2x x sin2 x cos2 x .
2			sin 2x x 2 cos 2x						4			2sin 2x		x cos 2x x sin2 x cos2 x .
2									4
Ответ:					x sin 2x			cos 2x			C.
Ответ:				2			4				C.
				2			4

00.09 Вычислить неопределенный интеграл

x 3 dx

x3 x2 2x

Решение.

Интегрирование правильной рациональной несократимой дроби осуществляется путем разложения на простейшие дроби (см. 2.1.6).

x	3	x 3	A B		C
						.
x3	x2 2x	x x 1 x 2	x	x 1	x 2	.

A, B, C, найдем методом неопределенных коэффициентов:

		x 3						A						B								C					A x 1 x 2 Bx x 2 Cx x 1												,

	x x 1 x 2							x				x 1 x 2																			x x 1 x 2
	x x 1 x 2							x				x 1 x 2																			x x 1 x 2
	x 3 A x 1 x 2															Bx x 2 Cx x 1 ,
	x	0,	3			2 A,				A										3	,
	x	0,	3			2 A,				A						2					,
																2
	x	1,	4		3B,			B						4		,
	x	1,	4		3B,			B		3						,
										3
	x	2,		1 6C,						C							1	.
	x	2,		1 6C,						C						6		.
																6
Интегрируя простейшие дроби (2.29), получаем:
										3						4						1
		x	3 dx																											3			4			1
													2						3						6			dx			ln	x		ln	x 1		ln	x 2		C.
													2						3						6
		x3	x2		2x								x						x 1						x 2					2			3			6
		x3	x2		2x								x						x 1						x 2					2			3			6
Ответ:					3				4		ln				x 1								1	ln		x
					3	ln	x		4														1				2		C.
				2		ln	x	3														6					2		C.
				2				3														6

00.10Вычислить неопределенный интеграл

3cosx 4sin x .

Решение.

Пользуясь универсальной тригонометрической подстановкой (2.37),

получаем:

												tg		x			t,								2dt

		dx												2										1			t2						2dt
3cosx			4 sin x								dx					2dt			,			3 1		t2				4		2t		3	8t 3t2
											dx			1			t2		,									4		2t

																						1		t2			1			t2
																						1		t2			1			t2
	2			dt									2					d t				4				2		1			t 2

																						3								ln			C
																						3
3		t	2		8		t		1				3				t			4	2		25	3			2		5		t	1
3			2		8								3								2			3					5			1
				3																								3				3
				3																3		9						3				3
										tg		x		2						3		9


				1
				1				ln			2						C.
											2
						5				tg		x			1
										tg	2			3

			tg		x	2
1			tg			2
1				2
Ответ:		ln		2				C.
Ответ:	5	ln	tg		x		1	C.
			tg	2		3

00.11 Вычислить определенный интеграл

ln 8		dx
		dx	.


ln 3	ex 1
ln 3	ex 1

Решение.

Сделаем подстановку в определенном интеграле (2.46) ex+1=t2, exdx=2tdt, eln3+1=4=t2, eln8+1=9.

ln 8	dx			ln 8		ex dx			3		2tdt		3	dt
	dx					ex dx					2tdt		2	dt
											t2			t2 1
	ex		1	ln 3 ex			ex 1					1 t
ln 3	ex		1	ln 3 ex			ex 1		2			1 t	2
2	1	ln	t	1	3	ln	2	ln	1	ln 3		ln 2.
	1		t	1	3		2		1

	2		t	1	2		4		3

Ответ: ln3-ln2.

00.12 Вычислить несобственный интеграл или доказать его

расходимость

xe x2 dx.

Решение.

Несобственный интеграл первого рода по определению (2.47) равен:

xe x

lim

x dx

lim

e x

2x dx

lim

x2 b

lim

Интеграл сходится и равен ½.

Ответ: ½.

00.13Найти длину дуги кривой y=lnx от x= 3 до x= 8.

Решение.

По формуле (2.54) длина дуги кривой:


		b														8											8		x2 1
		b														8						1	))2 dx				8				dx
L				1 ( f (x))2 dx														1 (				1
L				1 ( f (x))2 dx														1 (
		a																				x								x
																3						x					3			x
																3											3
			x2							t2 ,															3
						1							xdx				tdt,								3		x2	1	(xdx)
						1							xdx				tdt,										x2	1
	3 1 4 t2 , 8 1 9 t2 ,																								2		x2
	3 1 4 t2 , 8 1 9 t2 ,																										x2

3 t				tdt			3 (t2					1		1)dt				3							3 dt
																				dt
		t2		1								t2		1						dt						t2	1
2		t2		1		2						t2		1				2							2	t2	1
2						2												2							2
1		1		ln	t	1				3		1		1	ln		2		1		ln			1		1	1	ln	3	.
		1			t	1				3				1			2		1					1			1		3

		2			t	1				2				2			4		2					3			2		2


Ответ: 1							1	ln			3	.
Ответ: 1								ln				.
						2			2

4 Контрольная работа № 2

Вариант № 1

Часть 1. Дифференциальное исчисление

01.01С помощью преобразований на плоскости построить

график функции y		2x	1	.
график функции y		x	3	.
		x	3
01.02	Вычислить предел				lim	sin 6x
							.
						5arctgx	.
					x 0

01.03Вычислить производные функций

x3 2x2

b) y

3 arcsin 2x,

e2x

tg 2

, d )

x , e) x t ln(cos t), y t ln(sin t).

sin 3x

01.04

Вычислить вторую производную функции

01.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на

заданном промежутке y	x	6	, [ 5;5].
	x2
		13

01.06Провести полное исследование и построить график

функции

y x 1 2 x 2 .

Часть 2. Интегральное исчисление

01.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить

результат дифференцированием:	arctgx 2x 5	dx	.
		x2
	1

01.08Вычислить неопределенный интеграл и проверить

результат дифференцированием: x2 sin 2xdx.

01.09	Вычислить неопределенный интеграл			2x	1	dx.

			x x2		2
			x x2		2
01.10	Вычислить неопределенный интеграл				dx
							.
		8		4sin x 7 cos x			.
	ln 2
01.11	Вычислить определенный интеграл	ex		1dx.
	0
	59

01.12Вычислить несобственный интеграл или доказать его

расходимость xex dx.

01.13Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

y=ex, y=e-x, x=1.

Вариант № 2

Часть 1. Дифференциальное исчисление

02.01С помощью преобразований на плоскости построить

график функции y		13		3x	.
график функции y			x	5	.
			x	5
02.02	Вычислить предел					lim	ln 1		5x	.

							e	4x	1
						x 0	e		1

02.03Вычислить производные функций

ln 2sin 3x

3cos 2x ,

3 ,

3 tg

, d )

y arctg

2x, e)

sin 2t, y sin3 t.

02.04

Вычислить вторую производную функции

y ln ctg2x.

02.05Найти наибольшее и наименьшее значение функции на

заданном промежутке	y	x	cos x, [		; ]
		2		2

02.06 Провести полное исследование и построить график

функции	y	x	1 2	.
		x	2

Часть 2. Интегральное исчисление

02.07Вычислить неопределенный интеграл и проверить

результат дифференцированием:	arcsin x	dx.

	1 x2

02.08Вычислить неопределенный интеграл и проверить

результат дифференцированием:	x	dx.

	cos2 x
	cos2 x
60

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.03.2016550.74 Кб742Линейная Алгебра КР№1.pdf
#
02.04.20151.85 Mб13ЛР1_метод_корр_2011.doc
#
02.04.2015163.84 Кб14ЛР4_метод_25_04_08.doc
#
02.04.201529.41 Кб12лр7_оп.docx
#
02.04.2015139.26 Кб30ЛРИнтернет2002.doc
#
14.03.20162.02 Mб57МА_технические_семестр1_Пределы Производная Графики Интегралы.pdf
#
14.03.20164.85 Mб56МАГНИТНЫЕ.doc
#
02.04.2015244.22 Кб15макро.docx
#
02.04.2015326.14 Кб47макроэкономика очная.doc
#
02.04.2015175.62 Кб14Малый бизнес.doc
#
02.04.20154.92 Mб323Мартынов_Сил-электЧ2(Инверторы).pdf