Методы и средства передачи информации (Лекция №4)
.pdfМетоды и средства передачи информации
Лекционный курс
Лекция №4
Содержание
1.Распределение напряжения и тока вдоль длинной линии с потерями при установившемся режиме
2.Установившиеся процессы в нагруженной, разомкнутой и короткозамкнутой линиях с потерями.
3.Описание длинной линии в частотной области в терминах симметричного четырехполюсника.
1.Распределение напряжения и тока вдоль длинной линии
спотерями при установившемся режиме
В стационарном режиме вдоль длинной линии, подключенной к источнику сигнала и нагруженной на фиксированной сопротивление, устанавливается определенная картина распределения действующих значений напряжения и тока, возникающая в результате наложения прямой и обратной волн. Заметим, что последняя − результат отражения от несогласованной нагрузки. В случае согласованного режима в линии обратная волна отсутствует. При этом распределение действующих значений напряжения и тока вдоль длинной линии от генератора к нагрузке соответствует функции убывающей экспоненты e αx (напомним, что функция e αx убывает в направлении от генератора к нагрузке ввиду выбранного обратного направления оси х см. рис. 3.8 лекции 3).
Указанному стационарному (напомним, что мы анализируем стационарный режим в длинной линии) распределению действующих значений соответствуют временные процессы, которые в каждом поперечном сечении линии представляют собой гармонические (периодические и синусоидальные) функции времени, а
амплитуды синусоид соответствуют значениям U пр ( 0 )e αx для напряжений и
I пр ( 0 )e αx для токов. На рис. 4.1 показаны кривые распределения временных
функций (это может быть как функция напряжения, так и функция тока) в ряде поперечных сечений длинной линии с потерями в согласованной режиме.
u ( x , t ) =U 2 m e α x sin (ωt +βx )
α x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e α x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e α0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
2 π |
ωt |
||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/ 2 π |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
− e α0 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− e α x 2 |
|
|
|
|
|
|
βx1 |
|
||||||
− e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u ( 0 , t ) =U 2 m sinωt |
|
|
|
|
|
|
βx 2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u ( x1 , t ) =U 2 m e α x 1 |
sin (ωt +βx1 |
) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
u ( x 2 , t ) =U 2 m e αx 2 |
sin (ωt +βx 2 |
) |
|
|
|
|
|
Рисунок 4.1 − Временные зависимости напряжений в трех сечениях согласованной длинной линии с потерями при х1 < х2
На рис. 4.1 отрезки βx 1 и βx 2 соответствуют начальным фазам синусоид в сечениях х1 и х2 в соответствии с выражениями для кривых, выделенных цветом.
2.Установившиеся процессы в нагруженной, разомкнутой и короткозамкнутой линиях с потерями
Распределение действующих значений напряжения и тока, возникающее в результате наложения прямой и обратной волн, можно получить разными путями, например, из выражений напряжения и тока в длинной линии в гиперболических функциях (3.26), полученных в предыдущей лекции № 3:
2
U ( x ) =U 2 ch γx + Z B I 2 sh γx ;
(4.1)
I ( x ) = |
|
U |
2 |
sh γx + I 2 |
ch γx |
|
|
||||||
Z B |
||||||
|
|
|
Действующие значения напряжения и тока в каждом из поперечных сечений диной линии представляют собой модуль комплексного числа U ( x ) и I ( x ) .
Для записи модулей U ( x ) и I ( x ) необходимо предварительно представить правые части уравнений (4.1) в виде суммы действительной и мнимой частей. Для этого, прежде, необходимо записать в явном виде комплексные выражения сомножителей в слагаемых сумм правых частей в уравнениях системы (4.1).
Применяя выражения для суммы двух аргументов гиперболических функ-
ций, с учетом равенств ch jβx = cosβx и |
|
sh jβx = j sin βx получим: |
|
|
||||||||
ch γx = ch( α + jβ) x = ch αx ch jβx + sh αx sh jβx = ch αx cosβx + sh αx |
j sin βx ; |
|||||||||||
sh γx =sh( α + jβ) x =sh αx ch jβx + ch αx sh jβx =sh αx cosβx + ch αx |
j sin βx . |
|||||||||||
Примем, что U 2 =U 2 e j 0 |
=U 2 |
; |
|
|
|
|
||||||
Z B = Z B e jθ |
= Z B cosθ + jZ B sin θ = x B + j y B ; |
|
|
|||||||||
I 2 = |
|
U |
2 |
= |
|
U 2 |
|
= I 2 e |
jϑ |
= I 2 cosϑ+ jI 2 sin |
ϑ, |
|
|
|
|
|
|||||||||
Z Н |
Z Н e jϑ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где Z Н e jϑ − сопротивление нагрузки длинной линии. |
|
|
||||||||||
Тогда из (4.1) получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U ( x ) =U 2 (ch αx cosβx + sh αx |
j sin βx )+ (Z B cosθ + jZ B sin θ )( I 2 cosϑ+ |
|||||||||||
+ jI 2 sin ϑ) (sh αx cosβx + ch αx |
j sin βx )= |
|
|
|
=U 2 ch αx cosβx + ( I 2 Z B cosθcosϑ− I 2 Z B sin θsin ϑ)sh αx cosβx + −( I 2 Z B sin θcosϑ+ I 2 Z B cosθsin ϑ)ch αx sinβx +
+ j [U 2 sh αx sin βx + ( I 2 Z B sin θcosϑ+ I 2 Z B cosθsin ϑ)sh αx cosβx + + ( I 2 Z B cosθcosϑ− I 2 Z B sin θsin ϑ)ch αx sin βx ]= Re [U(x)]+Im [U(x)],
3
где первое слагаемое − обозначение действительной части выражения U(x), а второе − его мнимой части.
Аналогично получается комплексное выражение для действующего значения тока в сечениях длинной линии с потерями из второго уравнения системы
(4.1):
I ( x ) = |
U 2 |
(sh αx cosβx + ch αx j sin βx )+ I 2 (ch αx cosβx + sh αx j sin βx )= |
|||||||||||||
Z B e jθ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
|
U 2 e − jθ |
(sh αx cosβx + ch αx j sin βx )+ I 2 e jϑ (ch αx cosβx + sh αx j sin βx )= |
||||||||||||
Z B |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
|
U 2 |
(cosθ − j sin θ ) |
(sh αx cosβx + ch αx j sin βx )+ |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Z B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ I 2 (cosϑ+ j sin ϑ)(ch αx cosβx + sh αx j sinβx )= |
|||||||
= |
U 2 |
[cosθsh αx cosβx −sin θch αx sinβx ] |
+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Z B |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ j |
U 2 [cosθch αx sinβx |
−sin θsh αx cosβx ] |
+ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z B |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ I 2 (cosϑch αx cosβx + sin ϑsh αx sinβx )+
+ jI 2 (sin ϑch αx cosβx + cosϑsh αx sinβx )=
=U 2 (cosθsh αx cosβx −sin θch αx sinβx ) +
Z B
+I 2 (cosϑch αx cosβx +sin ϑsh αx sin βx )+
+j U 2 [cosθch αx sinβx −sin θsh αx cosβx ]+
Z B
+ I 2 (sin ϑch αx cosβx + cosϑsh αx sin βx )]= = Re[I(x)]+Im[I(x)]. (4.2)
Теперь выразим модуль и начальную фазу комплексных действующих значений напряжения и тока в сечениях длинной линии. Модуль равен корню квадратному из суммы квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа, а
4
фаза − аргумент комплексного числа, равный арктангенсу отношения мнимой части комплексного числа к его действительной части. Итак:
U ( x ) = |
{Re [U ( x ) ]}2 + {Im [U ( x ) ]}2 ; arg U ( x ) = arctg |
Im [U ( x ) ] |
. |
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Re [U ( x ) ] |
||||
|
|
|
|
||||||||
I ( x ) = |
{Re [I ( x ) ]}2 +{Im [I ( x ) ]}2 ; arg I ( x ) = arctg |
Im [I ( x ) ] |
. |
|
|
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Re [I ( x ) ] |
Полученные формулы позволяют построить распределение вдоль длинной линии действующих значений напряжения и тока при любой фиксированной нагрузке линии. Однако полученные формулы очень сложные и предполагают численный расчет.
Проще достичь результата (построения распределения действующих значений тока и напряжения вдоль линии), используя формулы, полученные в лекции № 3, которые представляют напряжения и ток в сечениях длинной линии в виде суммы прямой и обратной волн:
U ( x ) = 1 (U 2 |
+ Z B |
I 2 )e γ x |
+ |
1 |
( |
U |
2 |
− Z B |
I 2 )e −γ x ; |
(3.24) |
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I ( x ) = |
1 |
U 2 |
+ I |
|
|
γ x |
|
1 |
|
U |
|
2 |
|
− I |
|
−γ x |
|
|
|||
|
|
|
2 |
e |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
. |
(3.25) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
Z B |
|
|
|
|
2 |
|
Z B |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование формул (3.24) и (3.25) с учетом связи между напряжением и током на нагрузке приводит к выражениям:
|
U |
( x ) = |
|
|
U |
|
2 |
|
|
|
Z B |
|
γ x |
|
|
U |
2 |
|
|
|
|
Z B |
|
|
−γ x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
e |
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
e |
|
|
; |
|
|
(4.3) |
||||||||||||
2 |
|
Z |
|
|
|
2 |
|
|
|
Z H |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
I |
( x ) = |
|
|
U |
2 |
|
1 |
|
|
|
Z B |
|
γ x |
|
|
|
|
U |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Z B |
|
−γ x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
e |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
e |
|
, |
(4.4) |
|||||||
|
|
2 |
|
Z B |
|
|
Z H |
|
|
|
|
2 |
|
Z B |
|
|
Z H |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
U 2 |
|
|
1 |
|
Z B |
|
|
=U |
|
|
|
( x ) =C 0 |
|
=C 0 e |
jϕ |
|
= const |
− прямая волна напряже- |
||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Z H |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ния в точке с х = 0;
5
U 2 |
|
|
|
Z B |
|
|
|
|
|
|
|
jϕ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
= |
U |
обр |
( x ) =C 1 =C 1 e |
|
1 |
= const − обратная волна напря- |
|||||||
2 |
Z H |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
жения в точке с х = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
U 2 |
|
1 |
|
+ |
|
Z B |
|
= I |
|
( x ) =C 2 |
=C 2 e |
jϕ 2 |
= const |
− прямая волна тока в |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пр |
|
||||||||
2 |
|
|
|
Z H |
|
||||||||||||||||
|
|
Z B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
точке с х = 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
U 2 |
|
1 |
|
− |
|
Z B |
|
= I |
|
( x ) =C 3 |
=C 3 e |
jϕ 3 |
= const |
− обратная волна тока |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обр |
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
Z H |
|
|||||||||||||||
|
|
Z B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точке с х = 0.
Группируя слагаемые в формулах (4.3) и (4.4) с учетом введенных обозначений, получим:
U ( x ) =C 0 e jϕ 0 e γ x + C 1 e jϕ1 e −γ x =C 0 e αx e j ( βx +ϕ 0 ) + C 1 e −αx e j ( −βx +ϕ1 ) =
=C 0 e αx cos (βx +ϕ0 )+ jC 0 e αx sin (βx +ϕ0 )+
+ C 1 e − αx cos (−βx + ϕ1 )+ jC 0 e − αx sin (−βx + ϕ1 )= |
|
=C 0 e αx cos (βx + ϕ0 )+ C 1 e − αx cos (−βx + ϕ1 )+ |
|
+ j [C 0 e αx sin (βx + ϕ0 )+ C 1 e − αx sin (−βx + ϕ1 )]. |
(4.5) |
Очевидно, что полученные действительная и мнимая части выражения U(x) тождественны формуле (4.2), т.е. формула (4.5) равна U(x) = Re[U(x)]+Im[U(x)].
Аналогичным образом несложно получить через прямую и обратную волны выражение для I(x).
I ( x ) =C 2 e jϕ 2 e γ x −C 3 e jϕ 3 e −γ x =C 2 e αx e j ( βx +ϕ 2 ) −C 3 e −αx e j ( −βx +ϕ 3 ) =
=C 2 e αx cos (βx + ϕ 2 )−C 3 e − αx cos (−βx + ϕ3 |
)+ |
|
+ j [C 2 e αx sin (βx + ϕ 2 )−C 3 |
e − αx sin (−βx + ϕ3 )]. |
(4.6) |
Здесь также I(x) = Re [I(x)]+Im [I(x)], которые получены выше с применением гиперболических функций.
6
Еще проще найти распределения действующих значений тока и напряжения вдоль линии, используя связь между прямой и обратной волнами через коэффициент отражения. Получим эти формулы.
Запишем выражение для комплексного напряжения в любом сечении длинной линии через волны в ней:
U ( x ) =U пр ( 0 ) e jϕ пр e γ x +U обр ( 0 )e jϕ обр e −γ x . |
(4.7) |
В (4.7) учтено, что действующие значения (модули их комплексов) напряжения прямой и обратной волн постоянны вдоль линии. ϕпр и ϕобр − начальные фазы
прямой и обратной волн в сечении х = 0, т.е. на нагрузке линии. Тогда применяя коэффициент отражения на нагрузке в виде
|
|
|
|
n 0 = |
U |
обр |
|
( 0 ) |
e |
j ( ϕ |
обр |
|
−ϕ |
пр |
) |
= n 0 |
e jφ , |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
U пр |
( 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U ( x ) = U пр ( 0 ) e |
|
jϕ |
пр |
e |
γ |
|
x |
+ n |
0 e |
jφ |
e |
−γ x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
jϕ пр |
|
|
γ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 γ x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= U пр ( 0 ) e |
e |
|
|
|
0 e |
jφ |
e |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 + n |
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=U пр ( 0 ) e α x e j (βx+ϕ пр ) (1+n 0 e −2 αx e j ( φ−2 βx ) )= |
|
||||||||||||||||||||||||
=U пр ( 0 ) e αx e j (βx+ϕпр |
) |
[1+n 0 e −2 αx |
cos(φ−2 βx )+ jn 0 e −2 αx sin (φ−2 βx )]= |
||||||||||||||||||||||
=U пр |
( 0 )e |
α x |
Ν( x )e |
j ( |
βx+ϕ пр +Θ ( x ) |
) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
(4.8) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где |
Ν( x ) = |
[1 + n 0 e −2 α x |
cos (φ − 2 βx )]2 + [n 0 e −2 α x sin (φ − 2 βx )]2 ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 e −2 α x |
sin (φ − 2 βx ) |
|
||||||||
|
|
|
Θ( x ) = arg Ν( x ) = arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 α x cos (φ − |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ n 0 e |
2 βx ) |
Аналогично можно представить распределение модуля и фазы тока в ли-
нии.
Из полученных выражений следует, что в длинной линии с потерями распределение напряжения и тока вдоль линии имеют весьма сложный вид, завися-
7
щий от ряда факторов, наиболее значимым из которых является нагрузка линии. Продолжим рассмотрение на примере частных нагрузок длинной линии − режима холостого хода в линии и режима короткого замыкания на выходных зажимах.
|
Режим холостого хода |
на выходных зажимах длинной линии с потерями |
|||||||||||||||
описывается |
приведенными |
выше |
|
выражениями |
с |
|
учетом равенства |
||||||||||
Z Н = Z Н e |
jϑ |
= ∞. |
Из |
этого |
следует |
n 0 = |
Z Н − Z B |
= |
∞ − Z |
B |
=1, |
I 2 = 0 , |
|||||
|
Z Н |
+ Z B |
∞ + Z |
B |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U 2 = 2U пр |
( 0 ) . Тогда, |
следуя формуле (4.8), |
распределение модуля дейст- |
||||||||||||||
вующего значения напряжения вдоль линии соответствует выражению: |
|
||||||||||||||||
U ( x ) =U пр |
( 0 )e α x |
[1+e −2 α x cos (−2 βx )]2 +[e −2 α x |
sin (−2 βx )]2 |
= |
|||||||||||||
=U пр |
( 0 )e α x |
[1 + e −2 α x |
cos 2 βx ]2 |
+ [− e −2 α x |
sin 2 βx ]2 |
= |
|
|
|
||||||||
=U пр |
( 0 )e α x |
1 + 2e −2 α x |
cos 2 βx + e −4 α x (cos 2 βx )2 |
+ e −4 α x (sin 2 βx )2 = |
|||||||||||||
=U пр |
( 0 )e α x |
1 + 2e −2 α x |
cos 2 βx + e −4 α x . |
|
|
|
|
|
|
|
(4.9) |
Распределение действующего значения тока вдоль линии может быть найдено (аналогично формуле (4.8) для напряжения) как алгебраическая сумма (точнее разность) токов прямой и обратной волн в сечении линии. В результате получим ток в произвольном сечении линии, связанный с током прямой волны, в виде:
I ( x ) = I пр ( 0 )e |
jϕ |
i пр |
e |
γ x |
− I обр ( 0 )e |
jϕ i |
обр e |
−γ x |
= |
|
|
|
|
= I пр ( 0 )e jϕi пр (e γx −n 0 e jφ i e −γx )= I пр ( 0 )e jϕi пр e γx (1−n 0 e jφ i e −2 γx ),
где φi |
= ϕобр |
− ϕпр. |
|
Тогда для модуля тока получим: |
I ( x ) = I пр ( 0 )e α x Ν i ( x ) , |
||
где |
Ν( x ) = |
[1 − e −2 α x cos 2 βx ]2 |
+ [− e −2 α x sin 2 βx ]2 . |
8
Тогда I ( x ) = I пр ( 0 )e α x |
1 − 2e −2 α x |
cos 2 βx + e −4 α x . |
(4.10) |
Напомним, что модули Uпр и Iпр |
связаны через модуль Z В |
«законом Ома |
для волны», т.е. U пр = Z B I пр .
Выражения (4.9) и (4.10) можно представить в ином виде, если искать напряжение и ток в линии разомкнутой на конце с применением гиперболических функций, т.е. через напряжение на выходных зажимах длинной линии или, ина-
че, |
|
|
на |
нагрузке. |
|
|
|
Так, |
записав |
|
U |
( x ) =U 2 ch (αx + jβx ) |
и |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
I ( x ) = |
U 2 |
sh (αx + jβx ), для модулей этих функций получим: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Z B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
U ( x ) = U 2 ch (αx + jβx ) |
=U 2 |
ch 2 αx cos 2 βx +sh 2 αx sin 2 βx = |
|
|
||||||||||||||||||||||
=U |
|
|
|
e αx |
+ e |
−αx |
2 |
|
2 |
|
e |
αx − e |
−αx 2 |
sin |
2 |
βx = |
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
βx + |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
U 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
= |
{e 2 αx (cos 2 βx+sin 2 |
βx )+e −2 αx |
(cos 2 βx+sin 2 βx )+2 (cos 2 βx−sin 2 βx )}2 |
= |
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
U 2 |
|
|
e 2 αx |
+e −2 αx +2 (cos 2 βx −sin 2 βx ) |
=U 2 |
|
2ch 2 αx +2cos 2 βx = |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
=U 2 |
|
|
ch 2 αx + cos 2 βx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.11) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
I ( x ) = |
U 2 |
|
sh (αx + jβx ) |
= U 2 |
ch 2 αx − cos 2 βx . |
(4.12) |
|||||||||||||||||
|
|
|
Z B |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z B |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Приведенные выражения (4.11) и (4.12) описывают поведение действующих значений напряжения и тока вдоль длинной линии. Схематичный пример распределения действующих значений напряжения в линии в режиме холостого хода, полученный по формуле (4.11), показан на рис. 4.2. Важно понимать, что в режиме холостого хода на конце линии вследствие равенства единице коэффи-
9
циента отражения напряжение на конце линии удваивается относительно значения прямой волны в точке х =0.
U (х), В
6
4
2
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К генератору |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х, км |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
Рисунок 4.2 − Распределение действующего значения напряжения в режиме холостого хода линии с потерями. Кривая соответствует α =11 10 −3 Нп/км; β =140 10 −3 рад/км и U2 = 2 В. Выбранные параметры − условны
Распределение действующего значения тока в той же линии отличится от приведенной кривой противофазным видом колебаний растущей к генератору (убывающей к нагрузке) кривой. Кривая I (х), начнётся с нуля в точке (сечении) х = 0, что соответствует бесконечно большому сопротивлению нагрузки в режиме холостого хода в линии.
Во временной области в каждой точке напряжение и ток меняются по синусоидальному закону со своей начальной фазой (аргументом комплексных дей-
ствующих значений) и своей амплитудой, которая в 2 раз превышает действующее значение.
На рис. 4.3 приведены для некоторого момента времени кривые прямой и обратной волн напряжения (а) и тока (б) при холостом ходе на выходных зажимах длинной линии, а также для того же момента времени − кривые результи-
рующих напряжения ux и тока ix холостого хода.
10