Линейная, векторная алгебра. Аналитическая геометрия Конспект лекций Часть 1 Николаева
.pdf
|
ПРИМЕР. Показать, что уравнение |
|
x2 y2 5x 0 |
задает окружность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(то есть найти ее центр и радиус). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Приведем |
данное |
|
уравнение |
к |
|
виду (3.9), выделив |
полный квадрат по пере- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
менной x: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x2 5x y2 x2 2 |
5 |
x |
25 |
y2 |
|
25 |
0 x |
5 |
2 y2 |
|
5 |
2 O |
5 |
,0 |
, R |
5 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
ПРИМЕР. Написать уравнение линии центров окружностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x2 y2 5x 0 и x2 2x y2 y 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Найдем центр второй окружности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
x 1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
1 x 1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
2x |
y |
|
y |
|
|
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
O2 1, |
|
|
, O1 |
|
,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение прямой (3.4), проходящей через две точки:
x 2,5 |
|
y |
|
x 2,5 |
|
y |
2x 14y 5 0. |
1 2,5 |
0,5 |
|
|
||||
|
7 |
1 |
|
Эллипс
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипс – совокупность точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.
Чтобы вывести уравнение эллипса, выберем пдск следующим образом: ось абс-
цисс проведем через фокусы F1 |
и F2 , а ось ординат – посередине отрезка F1F2 |
|||||||||||||||||
перпендикулярно |
оси абсцисс. |
|
Обозначим расстояние |
|
между фокусами |
|||||||||||||
|
F1 F2 |
|
2c, тогда |
F1 c,0 ,F2 c,0 . Пусть M x,y |
– произвольная точка, ле- |
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
жащая на эллипсе, а 2a – сумма расстояний от точек на эллипсе до F1 и |
F2 , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
У |
|
|
|
2a 2c по определению эллипса. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
M x,y |
FM x c,y ,F M x c,y (рис. 27). |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем в виде уравнения свойство то- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
чек, принадлежащих эллипсу, сформули- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
рованное в определении: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F( c,0) О |
F (c,0) |
Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x c |
2 |
y2 |
|
x c |
2 |
y2 2a |
(3.11) |
|||||||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 27
51
(3.11) – уравнение эллипса в выбранной системе координат. Преобразуем его к более простому (каноническому) виду. Для этого умножим (3.11) на сопряженное выражение:
x c 2 y2 x c 2 y2 2a |
x c 2 y2 |
|
x c 2 y2 |
|
4cx 2a x c 2 y2 x c 2 y2
|
|
|
|
|
|
|
x c 2 y2 |
|
|
|
x c 2 y2 |
|
2cx |
. |
|
|
(3.12) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||
Сложим (3.11) и (3.12) и результат возведем в квадрат: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2x2 |
|
|
|
|||
2 x c |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|||||||
|
y |
|
|
2 |
|
|
|
a |
x |
|
2cx |
c |
|
y |
|
|
|
|
|
2cx a |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
a2 c2 |
|
y2 a2 c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.13) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как по определению a c, то есть |
a2 c2 |
0, то обозначим a2 |
c2 b2 . |
||||||||||||||||||||||||||||
Тогда из (3.13) получим: |
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.14) – каноническое уравнение эллипса.
Исследуем форму эллипса по его каноническому уравнению. Найдем точки пересечения с осями координат:
|
У |
|
|
|
|
|
|
y 0 x a, x 0 y b. |
||||||||||||||||||||
|
B2 |
b |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Из (3.14) следует, что |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
A1 |
F1 |
F2 |
|
|
A2 |
Х |
|
x2 |
y2 |
|
x |
|
|
|
a |
|
|
|
y |
|
|
|
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
1, |
b2 |
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|||||
-a -c О c |
a |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Значит, эллипс расположен в прямо- |
|||||||||||||||||||||
|
-b B1 |
|
|
угольнике со сторонами x a, y b. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, из уравнения следует, что |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
он симметричен относительно OX и |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
OY . O 0,0 |
– точка пересечения осей |
||||||||||||||||||||
|
Рис. 28 |
|
|
симметрии – центр симметрии эллипса. |
Ось, на которой лежат фокусы, называется фокальной осью эллипса. Точки пересечения эллипса с осями симметрии называются его вершинами.
52
OF1 |
|
OF2 |
c – полуфокусное расстояние, |
OB1 |
|
OB2 |
b – малая полуось, |
OA1 OA2 a – большая полуось эллипса и a2 b2 c2 (рис. 28).
Отношение полуфокусного расстояния к длине большой полуоси c a
называется эсцентриситетом эллипса. Он характеризует форму эллипса. Так как c a, то 0 1, и чем меньше , тем больше эллипс похож на окружность. Для окружности 0.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Уравнение эллипса, центр которого O1 x0,y0 , а оси симметрии параллельны координатным осям, имеет вид:
x x |
2 |
y y |
0 |
2 |
|
||
0 |
|
|
|
|
1. |
(3.15) |
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка эллиптического типа отно-
сятся также мнимый эллипс
У
5
F2
-4 О 4 F1
-5
Рис. 29
x2 |
|
y2 |
1 и точка |
x2 |
|
y2 |
0. |
|
a2 |
b2 |
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
ПРИМЕР. Найти эксцентриситет
эллипса x2 y2 1 (рис. 29). 16 25
ХТак как b2 a2 , то фокусы лежат на
оси OY и поэтому b2 a2 c2 .
c2 25 16 9 c 3. b 5
ГИПЕРБОЛА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гипербола – совокупность точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы F1 и F2 , а ось ординат – посередине отрез-
ка FF перпендикулярно оси абсцисс. Тогда |
F |
c,0 ,F |
c,0 – фокусы ги- |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
перболы (рис. 30). Пусть M x,y – произвольная точка, лежащая на гиперболе.
53
У
M x,y
|
|
|
|
F1 c,0 |
О |
F2 c,0 |
|
|
|
Рис. 30 |
|
F1F2 2c – расстояние между фокусами,
2a – модуль разности расстояний от точек на гиперболе до F1 и F2 , 0 2a 2c,
FM1 x c,y ,F2M x c,y (рис. 30).
ХЗапишем свойство точек, принадлежащих гиперболе, сформулированное в определении:
x c 2 y2 |
|
x c 2 y2 |
2a, |
(3.16) |
(3.16) – уравнение гиперболы в выбранной системе координат ( «+» – если разность расстояний положительна, и «–» – если отрицательна). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, умножим (3.16) на сопряженное выражение и выполним такие же действия, как при упрощении уравнения эллипса, после чего получим:
x |
2 a2 |
c2 |
y |
2 |
a |
2 |
c |
2 |
. |
(3.17) |
|
|
|
a2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению a c a2 c2 0. Обозначим a2 c2 b2 , тогда (3.17) перепишется в виде:
x2 |
|
y2 |
1, |
(3.18) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
(3.18) – каноническое уравнение гиперболы.
Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.
Из (3.18) следует, что гипербола симметрична относительно осей коорди-
нат. Если x 0, |
|
y2 |
1 , значит, точек пересечения с OY нет; если |
y 0 , то |
|
b2 |
|||||
|
|
|
|
x a. Точки пересечения с осями симметрии называются вершинами гипер-
x2
болы. Кроме того, из (3.18) следует, что a2 1 x a . Точка пересечения
осей симметрии называется центром гиперболы. Ось симметрии, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. При этом фокальная ось также называется действительной (с ней гипербола пересекается), а ось симметрии, с которой гипербола не пересекается, называется ее мнимой осью.
c – полуфокусное расстояние, a – действительная полуось, b – мнимая полу-
ось. Отношение полуфокусного расстояния к длине действительной полуоси
называется эксцентриситетом гиперболы: c . Так как по определению a
c a, то 1.
54
|
|
|
b |
|
|
|
|
Считая, что y 0, |
x 0, из (3.18) получим, что |
y |
|
x2 a2 – уравне- |
|||
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
ние части гиперболы, расположенной в первой четверти. Заметим, что при не-
ограниченном возрастании x x разность |
x2 a2 x2 |
y |
b |
x, то |
|
||||
|
|
|
a |
есть при достаточно больших x гипербола приближается к прямой y b x, a
причем ординаты точек на ней меньше соответствующих ординат точек на этой
|
b |
|
|
|
|
b |
x. Прямая |
y |
b |
x называется асимптотой гиперболы. |
|||
прямой: |
|
x2 a2 |
|||||||||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
a |
|||||
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
Из симметрии гиперболы следует, что |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то же самое происходит во второй, |
||
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
третьей и четвертой четвертях. Поэто- |
|||
|
-c |
-a О |
|
a |
c |
Х |
|
му y |
b |
x – также асимптота. |
|||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
a |
-b Итак, прямые y b x – асимптоты a
Рис. 31
гиперболы (3.18), а гипербола – кривая, состоящая из двух ветвей (рис. 31).
Если фокусы гиперболы лежат на OY , то ее уравнение имеет вид:
|
x2 |
|
y2 |
1 |
(3.19) |
|
a2 |
b2 |
|||||
|
|
|
|
Гиперболы (3.18) и (3.19) называются сопряженными (рис. 31). Уравнения асимптот (3.19) такие же, как и для (3.18), но действительной является ось OY .
Если a b, то гипербола называется равносторонней: x2 y2 a2, y x
– уравнения ее асимптот (рис. 32 ).
Очевидно, в этом случае асимптоты
Уперпендикулярны. После поворота
осей координат на 45 против часовой стрелки, получим гиперболу, за-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
a2 |
|
|
|
|
|
даваемую уравнением |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если центр гипер- |
|||||||||||
-a |
О |
a |
болы в точке O1 x0,y0 , а оси сим- |
|||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
метрии параллельны координатным |
|||||||||||
|
|
|
осям, то уравнение гиперболы имеет |
|||||||||||
|
|
|
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x |
2 |
y y |
0 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1. |
(3.20) |
||||
|
|
|
|
a2 |
|
b2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 32
55
ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка гиперболического типа от-
x2 y2
носится также пара пересекающихся прямых: a2 b2 0.
ПРИМЕР. Найти координаты центра и написать уравнения асимптот ги-
перболы 9x2 16y2 90x 32y 367 0.
Приведем данное уравнение к виду (3.20):
9 x2 2 5x 25 25 16 y2 2y 1 1 367 0
9 x 5 2 16 y 1 2 225 16 367 0
9 x 5 2 16 y 1 2 576 x 5 2 y 1 2 1.
|
|
|
|
64 |
36 |
|
|
Таким образом, O |
5,1 – центр, а |
y 1 |
6 |
x 5 y 1 |
3 |
x 5 – урав- |
|
|
|
||||||
1 |
|
8 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
нения асимптот данной гиперболы.
ПАРАБОЛА
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Парабола – совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, и фиксированной прямой, не проходящей через эту точку, называемой директрисой.
Чтобы вывести уравнение параболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ординат посередине между фокусом и директрисой (рис. 33).
Пусть расстояние между фокусом F и директрисой DK равно p. Тогда
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
M x,y – произвольная точка на параболе, то по оп- |
||
F |
|
,0 |
|
, D |
|
|
,0 |
|
. Если |
||
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ределению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
FM |
|
|
|
KM |
|
, K |
|
|
|
,y |
KM |
x |
|
,0 |
|
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
K |
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
FM |
x |
|
|
|
,y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D О F |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
p 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
. |
|
(3.21) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Рис. 33 (3.21) – уравнение параболы в выбранной системе координат.
56
Упростим его:
x2 px |
p2 |
y2 x2 px |
p2 |
|
|
|
|||
4 |
4 |
|
||
|
y2 2px, |
(3.22) |
(3.22) – каноническое уравнение параболы; p называется ее параметром.
Из уравнения следует, что парабола симметрична относительно OX и проходит через начало координат. Кроме того, если p 0, то x 0, поэтому кривая
лежит в правой полуплоскости и с ростом величины x y также растет. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной (рис. 34).
Y |
Y |
y2 2px |
y2 2px |
О |
|
F |
X |
F |
|
О |
X |
|
|
|
|
|
Рис. 34 |
|
|
|
|
|
|
|
Если фокус параболы на оси ОУ (рис. 35), то ее каноническое уравнение |
||||||||||
имеет вид x2 2py. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Y |
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
x2 2py |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
О |
|
|
X |
|
||
О |
X |
|
|
|
||||||
|
|
F |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2py |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 35 |
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если вершина параболы в точке |
O1 x0,y0 и ось сим- |
|||||||||
метрии параллельна OX , то ее уравнение имеет вид |
y y |
0 |
2 |
2p x x |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
57
ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка параболического типа отно-
сятся также y y0 2 0 y y0 – пара совпадающих прямых;
y2 c2 y c – пара параллельных прямых; y2 c2 – пара мнимых параллельных прямых.
ПРИМЕР. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой x y 1 0 и точки F 3, 2 .
По определению множество точек, равноудаленных от данных точки и прямой,
является параболой. Пусть |
M(x,y) – произвольная точка искомой параболы, |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
|
x 3 2 |
y 2 2 . Расстояние от точки M до прямой x y 1 0 |
|||||||||||||||||||||
FM |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
вычисляется по формуле (3.8): d |
|
x y 1 |
|
. Из условия следует, что |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2xy |
y |
2 |
2x 2y 1 |
|
|||||||
|
|
FM |
d2 x2 6x 9 y2 4y 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 2xy y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
14x 10y 25 0 – уравнение искомого геометрического места |
||||||||||||||||||||||||||
точек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
оси |
|
|
координат |
|
системы |
||||||||
|
|
Y |
|
|
|
X |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
У |
|
|
|
XOY |
повернуть на угол так, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чтобы одна из них стала парал- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лельна директрисе, а затем пере- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
нести |
начало координат в точку |
||||||||||||
|
|
|
|
|
-3 O |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O – вершину параболы, то в но- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-2 |
x y 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
вой системе XOY |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
параболы |
|
|
будет |
каноническим |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
(рис. 36). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2px |
|
|
|
|
Рис. 36
ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что, кроме окружности, эллипса, гиперболы, параболы и вырожденных случаев, указанных в замечаниях, других кривых второго порядка не существует.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
1. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ.
Пусть на плоскости задана пдск ХОУ. Будем называть ее “старой”. “Новая” система координат X OY получена из “старой” параллельным переносом осей в точку 0 a, b . Выясним, как связаны координаты (x,y) и (x ,y ) од-
ной и той же точки М в этих системах координат.
58
Так как
или
Y |
|
M |
|
Пусть i, |
|
j – орты коорди- |
||||||||||||
|
Y |
натных осей системы ХОУ, |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
j |
X |
|
|
а i , |
|
|
– системы X OY |
|
||||||||||
|
|
Тогда |
|
OM xi y j, |
|
|
|
|||||||||||
О |
i |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
i |
OO a i |
b j, OM |
|
|
|||||||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
i |
|
y |
j |
|
|
|
y |
j, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x i |
|
|||||||||
|
|
|
|
так как i i, |
j j |
по опре- |
||||||||||||
|
Рис. 37 |
|
|
делению |
|
равенства |
векто- |
|||||||||||
|
|
|
ров (рис. 37). |
|
|
|
|
|
|
|
OM OO OM , то
x x a
xiy j a x i b y j
y y b
x x a
(3.23)
y y b.
(3.23)– формулы параллельного переноса осей пдск.
Y |
Y |
2. ПОВОРОТ КООРДИНАТНЫХ |
||||
|
М |
ОСЕЙ НА УГОЛ . |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
полу- |
|
Пусть “новая” пдск X OY |
|
||||
N |
|
чена из “старой” системы коорди- |
||||
|
P |
нат XOY |
поворотом осей ОХ и |
|||
|
|
ОУ на угол |
(рис. 38) и М(х, у) – |
|||
О |
X |
произвольная точка в |
системе |
XOY . Выясним, какими станут ее координаты в “новой” пдск.
Рис. 38
Из рис. 38 очевидно, что
|
|
|
XOY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X OY |
|
|
|
||
|
|
M x,y |
|
|
|
|
|
M x ,y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
||
|
OP x cos ,x |
|
|
|
OP x |
,0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ON 0,y |
|||||
ON |
y cos |
|
|
,y sin |
|
|
|
или |
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ON y sin , y cos |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
Так как OM OP ON , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos j |
xi y j x |
cos i x |
sin j y |
sin i y |
|
|
x x cos y sin |
(3.24) |
||
|
|
|
|
|
|
y x sin y cos |
|
(3.24) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие старые координаты точки через новые.
|
cos |
sin |
, |
x |
, X |
|
x |
, то (3.24) мож- |
||
Если обозначить T |
|
cos |
|
X |
|
|
|
|||
|
sin |
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
cos |
sin |
и |
но переписать: X TX |
|
. Так как T 1, |
то существует T |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
1 |
|
|
|
X |
X |
x x cos y sin |
(3.25) |
||
|
T |
|
|||
|
|
|
|
y x sin y cos |
|
(3.25) – формулы поворота координатных осей на угол , выражающие новые координаты точки через старые.
|
|
|
|
ПРИМЕР. Каким будет уравнение пря- |
||||||||||||||||
|
|
Y |
|
мой x y 1 0 после поворота коорди- |
||||||||||||||||
Y |
X |
натных осей на угол |
|
? |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
45 |
|
4 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
X |
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
2 |
|
y |
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
О |
|
(3.24): |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x y 1 0 |
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
2 |
|
y |
|
– |
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|||
x y 1 2x |
1 0 x |
|
Рис. 39 |
2 |
|
новое уравнение прямой (рис. 39). |
||
|
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Рассмотрим систему линейных уравнений:
x 11x 12 y
(3.26)
y 21x 22 y
Каждой точке плоскости M x,y по формулам (3.26) можно поставить в соот-
|
|
той же плоскости. При этом точка |
N |
ветствие единственную точку N x,y |
называется образом точки M , а точка M – прообразом точки N . Кроме того,
60