МАТ. АНАЛИЗ, Диф-ое исч-ие ф-ции одной переменной Конспект лекций Часть 2 Николаева

ТЕОРЕМА (Коши). Пусть функции

y f (x), y g(x)

непрерывны

x a,b , дифференцируемы

x a,b и

g x 0, тогда существует точка

c a,b

такая, что

f

b

f

a

f

c

.

g

g b g a

c

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем, что g b g a . Если бы g b g a ,

то функция

y g x

удовлетворяла бы условию теоремы Ролля,

поэтому су-

ществовала бы точка c1 a,b

такая, что g c1 0 –

противоречие условию.

Значит,

g x 0,

и

обе части формулы определены.

Рассмотрим вспомога-

тельную функцию

F x f x f a

f b f a

g x g a .

g b g a

F x

непрерывна

x a,b ,

дифференцируема

x a,b

и

F b F a 0, то есть

F x

удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Тогда

существует точка c a,b , в которой

F c 0, но

f b f a

f b f a

f b f a

f c

x f

c g b g a

g c

,

F

x g b g a g x f

g c g b g a

y f x , y g x

непрерывны

x (a,b ,

дифференцируемы x a,b ,

g x 0 и lim f

x limg x 0. Кроме того, существует конечный или бес-

x a

x

x a

конечный lim

f

.

x a g x

f x

0

f x

Тогда существует lim

lim

.

x a g x

0

x a g x

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как

по условию lim f x limg x 0, то

x a

x a

доопределим y f x , y g x в точке x a, полагая

f a g a 0. Тогда

y f x , y g x станут непрерывными x a,b . Покажем, что

x a,b

g x 0. Предположим, что g x 0,

тогда существует

c1 a,x

такая, что

f

x

f

a

f

x

c

,

c a,x .

f

g x g a

g x

g c

f

x

0

f c

f c

x a,

Отсюда имеем: lim

lim

lim

, так как если

x

x a g

0

x a g c

c a g c

f x

0

f

x

lim

lim

.

x a g x

0

x a g x

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Правило Лопиталя остается справедливым и в том слу-

чае, когда x b и x .

Оно позволяет раскрывать не только неопределен-

0

ность вида

, но и вида

:

0

f (x)

f

lim

lim

(x)

.

g(x)

x a

x a

ln

x 1

2

x

0

1

2 sin xcos

x

ПРИМЕР. lim

sin

lim

lim

0.

ctg x

0

1

x 1

x 1

x 1

x 1

ПРИМЕР. lim

x2

1

2x

x2 1

lim

lim

и так

x

x2 1

x x

x 2

x

x2 1

Но, очевидно, lim

1, так как степень числителя равна степени

x

x

Пусть

функция

y f x

дифференцируема

x a,b . Если

f x 0 x a,b ,

то

f x не убывает,

если же

f x 0

x a,b , то f x

не возрастает на a,b .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть

x1,x2 a,b

– произвольные точки, тогда

y f x удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа на

x1,x2 (непрерыв-

ность следует из дифференцируемости). Напишем формулу Лагранжа

где c x1,

x2 .

f x2 f x1 f c x2 x1 ,

Если

x2 x1

и f x 0, x a, b то

f c 0

f x2 f x1 0

f x2 f x1

f x

не убывает.

Аналогично показывается, что если

f x 0, то

y f x

не возрастает. Тео-

рема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из доказательства теоремы следует,

что если f x 0,

то y f x

возрастает,

а при

f x 0

y f x

убывает.

Интервалы, на которых функция либо убывает, либо возрастает, называ-

ются интервалами монотонности.

ПРИМЕР. Найти интервалы монотонности функции

y x3 3x2 9x 5.

2

6x 9 3(x

2

2x 3) 0 x1 3, x2 1.

y 3x

Исследуем знак производной (рис. 29).

+

–

+

y (x)

y(x)

-1

3

х

точке существует производная, то

f x0 0.

Эта теорема является теоремой Ферма и была доказана ранее.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Необходимое условие экстремума достаточным не яв-

ляется.

ПРИМЕР. y x3 y 3x2 0

x 0,

у

y x3

но точка x 0 точкой экстремума не яв-

ляется (рис. 30).

Рис. 30

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

Рассмотрим

y

функцию y 3

x2 (рис. 31).

Так как x2 0,

то y 3

x2 0, поэтому

y 3 x2

x0 0 – точка минимума. Функция не-

0

x

прерывна x R, и y

2

y 0

33

x

в тех точках, где f (x) 0, но и в тех, где f (x) не существует.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Критическими точками функции y f x называют-

ся точки, в которых f x 0 или f x

не существует; при этом точки, в кото-

рых f x 0, называются стационарными точками.

Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

ТЕОРЕМА 3 (первое достаточное условие экстремума непрерывной

функции). Пусть непрерывная функция

y f x дифференцируема всюду на

a,b за исключением, быть может, критической точки

x x0 . Если

f x 0

при x x0 и

f x 0

при x x0 ,

то x x0 – точка минимума; если же

f x 0 при

x x0 и f

x 0 при

x x0 , то x x0 – точка максимума.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Если

при

x x0

f x 0,

то по теореме 1

y f x убывает.

Если

при

x x0

f x 0, то

y f x возрастает.

Значит,

x x0

– точка минимума, так как f x0 f x

x x ;x , 0.

Если при x x0

f x 0, а при

x x0

f x 0, то

y f x

слева от

x x0

возрастает, а справа – убывает по

теореме 1. Значит,

x x0 – точка мак-

симума по определению.

f x 0 (или

f x 0) при x x0 и при x x0 , то

Если окажется, что

слева и справа от

x x0

y f x

возрастает (убывает), следовательно, x x0

точкой экстремума не является. Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР. Найти экстремумы функции

y x4 4x3 20.

–

–

+

y (x)

y(x)

0

3

х

Рис. 32

В критической

точке

x 0

экстремума

нет,

в критической точке

x 3 – минимум и ymin

y 3 7.

Пусть график функции

y f x имеет касательные во всех точках ин-

тервала a,b .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. График

функции y f x

называется выпуклым

вверх (вниз) на a,b ,

если во всех точках a,b

он лежит не выше (не ниже)

любой своей касательной.

y

На a,O график

y f x

выпуклый вверх, на O,b – вы-

y f (x)

пуклый вниз (рис. 33).

a

О

b

x

tg f x

возрастает.

Пусть

0

f x

убывает по теореме 1, значит,

f x 0 f x

tg убывает, и график имеет выпуклость, направленную вверх.

Пусть

0

f x

возрастает по теореме 1, и график

f x 0 f x

точки x x0 и

f x0 0. Тогда,

если

при переходе через x x0

f x

меняет

знак, то x x0

– точка перегиба;

если

f x не меняет знак, то

x x0

точкой

перегиба не является.

3

12x

2

12x

2

24x 12x x 2

0

x1 0, x2 2 – точки переги-

y (x) 4x

ба (рис. 34),

y 0 20, y 2 4.

–

–

+

y (x)

y(x)

0

3

х

–

+

y (x) +

y(x)

0

2

х

Рис. 34

Асимптоты бывают трех видов: гори-

н

y в

зонтальные, вертикальные, наклонные

y f (x)

(рис. 36).

г

г

– горизонтальная асимптота

О

х

в

– вертикальная асимптота

Рис. 36

н

– наклонная асимптота

ПРИМЕР. Функция y tg x

определена при всех x

n, причем

2

ные асимптоты: x 1,

x 2,

x 3.

1

ПРИМЕР.

Функция y 2

x 1

определена

при

всех

x 1, причем

1

1

определению прямая x 1 – вертикальная

lim 2

x 1

, lim

2

x 1

0.

По

x 1

x 1

асимптота графика (справа).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямая

y kx b называется наклонной асимптотой

графика функции

y f x

при

x (x ), если

f x

представима в

виде:

f x kx b x ,

lim x 0

lim x 0

.

x

x

f x

f x

lim

k,

lim f x kx b lim

k,

lim f

x kx

b .

x

x x

x

x

x

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть

функция

y f x определена

при всех

достаточно больших положительных значениях x.

1. Необходимость:

y kx b

– асимптота при

x

существуют

конечные пределы

f x

lim

k, lim f x kx b.

x

x

x

По определению

f x kx b x ,

lim x 0.

x

f

x

b

x

lim f (x) kx lim b x b.

Поэтому lim

lim k

k,

x

x

x

x

x

x

x

2. Достаточность: существуют конечные

lim

f x

k,

lim f x kx b y kx b

x

x

x

По условию

lim f x kx b.

x

Обозначим

f x kx b x .

Тогда lim x 0, то есть

f x kx b x ,

где x – б.м. при

x

k

f x

2arctgx

b

lim f x kx lim x 2arctgx x .

lim

lim 1

1,

x

x

x

x

x

x

Таким образом, при x

y x – наклонная асимптота.

k

f x

2arctgx

b

lim f x kx lim x 2arctgx x ,

lim

lim 1

1,

x

x

x

x

x

x

откуда y x – асимптота графика при

x .

y

2

x2

1

x1,2

1

1 x2

x2

1

0

1.

+

–

+

y x

y (x)

у

y(x)

-1

1

х

y x

О

х