Boyarshinov_ChM_T1
.pdfДля установления условий сходимости определим величину погрешности метода формулой z(n) x(n) x, тогда из формулы (2.13) для стационарного итерационного метода можно получить
B z(n 1) |
x z(n) x Az(n) Ax f , |
|
||
|
|
|
|
|
Bz(n 1) z(n) |
Az(n) 0, |
n 01,,... |
(2.14) |
|
|
|
|
|
|
Теорема 2.4. Пусть А - симметричная положительно определенная матрица, A > 0;
итерационные параметры удовлетворяют соотношению
B 05, A 0, |
0. |
Тогда стационарный итерационный метод сходится.
Доказательство. Для доказательства теоремы следует показать, что погрешность
метода z(n) 0 при любой начальной погрешности z0 .
n
Построим числовую последовательность вида Jn Az(n),z(n) .
Из формулы (2.14) следует
|
z(n 1) z(n) B 1Az(n), |
|
|
Az(n 1) |
Az(n) AB 1Az(n) . |
Теперь можно подсчитать |
|
|
Jn 1 Az(n 1),z(n 1) Az(n) AB 1Az(n) , z(n) B 1Az(n) |
||
Az(n),z(n) AB 1Az(n) , z(n) Az(n) , B 1Az(n) 2 AB 1Az(n) , B 1Az(n) . |
||
|
Вследствие симметрии матрицы А имеем |
|
m |
m m m |
|
AB 1Az(n) , z(n) ai jb j |
1kak t z(tn) z(in); |
|
i 1 |
j 1 k 1 t 1 |
m m m m |
m |
m m m |
Az(n) , |
B 1Az(n) ap q zq(n)bp1rar |
sz(sn) |
a j ib j |
1kak t z(tn) z(in), |
a j i |
ai j. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p 1 q 1 r 1 s 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 i 1 k 1 t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Иначе говоря, AB 1Az(n) |
, z(n) Az(n) , B 1Az(n) . Отсюда получаем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Jn 1 Az(n),z(n) 2 Az(n) , B 1Az(n) 2 AB 1Az(n) , B 1Az(n) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Jn 2 Az |
(n) |
2 |
AB |
1 |
Az |
(n) |
, B |
1 |
Az |
(n) |
Jn |
|
|
|
|
|
1 |
Az |
(n) |
, B |
1 |
Az |
(n) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 B |
A B |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jn |
|
|
|
|
|
|
|
(n) |
, u |
(n) |
(n) |
B |
1 |
Az |
(n) |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 B |
|
A u |
|
|
|
, u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
|
|
|
(n) |
, u |
(n) |
0 |
u |
(n) |
, откуда следует, что |
Jn 1 Jn |
В силуусловия теоремы B |
2 |
A u |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, то есть построенная последовательность является монотонно убывающей и, кроме того, в
силу Jn 1 Az(n 1),z(n 1) 0, ограничена снизу. Отсюда следует, что существует предел
этой последовательности J limJn .
n
Из положительной определенности (B - 0,5 A) > 0 следует существование константы
>0 такой, что имеет место
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
(n) |
, B |
1 |
Az |
(n) |
|
1 |
Az |
(n) |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
B |
A B |
Az |
|
|
|
B |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь предыдущее соотношение может быть переписано в форме неравенства: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Az |
(n) |
, B |
1 |
|
(n) |
|
|
|
|
|
|
1 |
Az |
(n) |
2 |
||||||
|
Jn 1 Jn 2 B |
|
2 |
A B |
|
|
|
Az |
|
Jn 2 B |
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При n |
из последнего выражения получаем J J 2 lim |
B |
1 |
|
(n) 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Az |
|
|
. Очевидно, что |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неравенство lim |
B |
1 |
|
|
(n) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Az |
|
|
|
0 может выполняться лишь при условии, что |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
B 1Az(n) |
lim |
u(n) |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С другой |
стороны, |
z(n) |
A 1Bu(n) , |
|
причем |
A 1 существует в |
силу положительной |
||||||||||||||||||||||||||
определенности матрицы А по условию теоремы. Оценим норму погрешности: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z(n) |
|
|
A 1Bu(n) |
|
|
A 1B u(n) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Теперь |
|
становится |
|
очевидным, |
|
что |
вследствие |
|
lim |
u(n) |
0 |
имеет место |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
z(n) 0 |
, что и требовалось доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие 1. Пусть |
А - |
симметричная положительно определенная матрица. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||
метод верхней релаксации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D wA1 |
x(n 1) x(n) |
Ax(n) f, |
w 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится при 0 < w < 2. В частности, метод Зейделя (w = 1) сходится.
В рассматриваемом случае, очевидно, B D wA1, w .
Ax,x A1 D A2 x,x A1x,x Dx,x A2x,x Dx,x 2 A1x,x .
Последнее соотношение справедливо в силу симметрии матрицы А:
m |
m |
m |
A1x,x a(1)i jxjxi |
a(2)jixjxi |
a(2)jixixj A2x,x . |
i,j 1 |
i,j 1 |
i,j 1 |
52
Условие сходимости итерационного метода B 05, A 0, |
0 теоремы 2.4 принимает |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
вид: |
|
|
|
|
|
|
w |
|
|
|
w |
Ax,x |
Dx,x w A |
|
w |
Dx,x 2 A |
x,x |
|
B |
A x,x Bx,x |
2 |
x,x |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
Dx,x w A1x,x |
w |
Dx,x w A |
|
w |
|
|
|
|||||
2 |
1x,x 1 |
Dx,x 0. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
Очевидно, что последнее неравенство выполняется при условии 1 w 0, |
0 w 2. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Следствие 2. Пусть А - симметричная положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, то есть имеет место
ai i ai j , |
i, j 1,m. |
i j |
|
Тогда метод Якоби сходится.
Поскольку в рассматриваемом случае B = D, условие сходимости принимает вид неравенства
2D A .
Из неравенств
xi xj 2 |
xi2 2xixj x2j 0, |
xixj |
1 |
x2i |
x2j |
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
следует |
|
|
|
|
|
|
|
m |
m |
m |
|
1 |
m |
|
|
1 |
m |
Ax,x aijxixj |
1 aij |
x2i 1 aij |
x2j |
aij x2i |
a ji x2i . |
||||
i,j 1 |
2i,j 1 |
2i,j 1 |
|
2i,j 1 |
|
|
2i,j 1 |
В силу симметричности и положительной определенности матрицы А имеем
m |
m |
|
aij |
aii |
|
Ax,x aij x2i |
|
x2i . |
|||
i,j 1 |
i 1 |
|
j i |
|
|
Используя предположение следствия, запишем
2ai i ai j |
aii, |
i 1,m . |
i j |
|
|
Из двух последних неравенств получаем
m
Ax,x 2 aiix2i 2 Dx,x ,
i 1
что и требовалось доказать.
53
Скорость сходимости
Ранее утверждалось, что если итерационный метод в некотором смысле сходится, то он сходится к решению исходной задачи (2.1). Понятно, что быстрота достижения результата существенно зависит от того, насколько удачно (“близко” к решению) выбрано начальное приближение. В общем случае условия сходимости итерационного метода решения системы линейных алгебраических уравнений определяются следующей теоремой,
доказательство которой можно найти, например, в книге [1].
Теорема 2.5. Итерационный метод
Bx(n 1) |
x(n) |
Ax(n) f, |
n 01,,... |
|
|
|
|
сходится при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы E B 1A по модулю меньше единицы.
При практическом использовании итерационных методов важен не только сам факт сходимости последовательности получаемых решений, но и скорость, с которой эта последовательность сходится к точному результату. Если для погрешности используемого
метода имеет место оценка вида |
|
|
|
|
|
x n |
x |
qn |
x 0 |
x , |
n 0,1, , |
то говорят, что итерационный метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q. Эта оценка показывает, во сколько раз уменьшается начальная погрешность после проведения заданного числа итераций.
Зададим произвольное число k>0 и потребуем, чтобы после выполнения N итераций
начальная погрешность уменьшилась не менее, чем в k раз, то есть x n |
x |
1 |
x 0 |
x . |
|||
Это имеет место в случае qN 1 |
|
|
|
|
k |
|
|
, откуда получаем |
|
|
|
|
|
||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln k |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N ln 1 q |
|
|
|
|
|
Целая часть этой дроби будет минимальным числом итераций, необходимым для достижения заданной точности. Выражение ln 1q называется скоростью сходимости
итерационного метода. Эта скорость целиком определяется свойствами матрицы перехода
E B 1A и не зависит от номера итерации, выбора начального приближения и задаваемой точности. Чем выше скорость сходимости, тем выше производительность выбранного метода решения системы линейных алгебраических уравнений.
54
Полиномы Чебышёва13
Для дальнейшего рассмотрения определим, согласно [8], норму
f max f(x),
x a,b
называемую чебышёвской.
Рассмотрим задачу: среди всех полиномов степени N со старшим коэффициентом,
равным 1, найти такой многочлен TN (x), для которого величина TN maxTN (x)
x 11,
минимальна. Такой многочлен носит название полинома Чебышёва.
Расмотрим функцию
PN (x) cos N arccos x . |
(2.15) |
Произведем тригонометрические преобразования:
PN 1(x) cos N 1 arccos x cos N arccos x arccos x
cos N arccos x cos arccos x sin N arccos x sin arccos x
xPN x sin N arccos x sin arccos x ;
PN 1(x) cos N 1 arccos x cos N arccos x arccos x
cos N arccos x cos arccos x sin N arccos x sin arccos x
xPN x sin N arccos x sin arccos x .
Складывая почленно два последних равенства, PN 1 PN 1 2xPN,
PN 1 2xPN PN 1,
получаем рекуррентное соотношение для построения функции PN 1. В соответствии с формулой (2.15)
P0(x) cos 0 arccos x 1;
P1(x) cos 1 arccos x x.
И далее, в соответствии с полученной зависимостью
13 Чебышёв Пафнутий Львович [4.5.1821 - 26.11.1894]. В 1841 году закончил Московский университет и там же в 1846 году защитил магистерскую диссертацию. В 1847 году подготовил и защитил диссертацию на право чтения лекций и был утвержден в звании доцента Петербургского университета. В 1849 году защитил докторскую диссертацию; в 1850 году стал профессором Петербургского университета. С 1856 года являлся академиком Петербургской академии наук.
55
|
|
P2 x 2xP1 x P0 x 2x2 |
1; |
|
|
|
||
|
|
P3 x 2xP2 x P1 x 4x3 |
3x; |
|
|
|
||
|
|
P4 x 2xP3 x P2 x 8x4 |
8x2 1; |
|
|
|
||
|
|
P5 x 2xP4 x P3 x 16x5 20x3 5x |
|
|
|
|||
На рис. 2.4 показаны некоторые полиномы построенной системы. |
|
|
||||||
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
-0.75 |
-0.5 |
-0.25 |
0 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1 |
|
|
Рис. 2.4. Полиномы TN(x) при N= 2, 3, 4, 5, 6 |
|
|
Можно заметить, что в общем случае коэффициент при старшей степени определяется следующим образом:
PN x 2xPN 1 x PN 2 x 2N 1xN |
(2.16) |
Определим функцию TN (x) в виде |
|
TN (x) 21 N PN (x) 21 N cos N arccos x . |
(2.17) |
Очевидно, что TN (x) является полиномом степени N со старшим коэффициентом,
равным 1.
Определим корни этого полинома:
56
cos N arccos x 0, |
|
N arccos x 2k 1 , |
k 1, 2, |
2
Поскольку TN (x) является полиномом степени N, он имеет не более N корней,
причем все они различны и лежат на отрезке [-1, 1]:
|
|
xk |
cos 2k 1 , |
k 1,N . |
|
|
||
|
|
|
|
2 N |
|
|
|
|
|
|
Корни полинома TN (x) для N=1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 |
Таблица 2.4 |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N=1 |
N=2 |
N=3 |
|
N=4 |
|
N=5 |
N=6 |
N=7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,707106781 |
0,866025404 |
|
0,923879533 |
0,951056516 |
0,965925826 |
0,974927912 |
|
- |
-0,70710678 |
0 |
|
0,382683432 |
0,587785252 |
0,707106781 |
0,781831482 |
|
- |
- |
-0,866025404 |
|
-0,382683432 |
0 |
|
0,258819045 |
0,433883739 |
- |
- |
- |
|
-0,923879533 |
-0,587785252 |
-0,258819045 |
0 |
|
- |
- |
- |
|
- |
-0,951056516 |
-0,707106781 |
-0,433883739 |
|
- |
- |
- |
|
- |
|
- |
-0,965925826 |
-0,781831482 |
- |
- |
- |
|
- |
|
- |
- |
-0,974927912 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вполне очевидно (рис. 2.4), что полиномы TN (x) |
принимают экстремальные значения |
|||||||||||||
в тех точках, где функция cos( ) |
принимает значения +1 или -1. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos N arccos xp 1; |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N arccos xp p ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xp cos p , |
p 0,N. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
В |
этих |
|
точках |
полином |
TN (x) принимает |
чередующиеся |
по знаку значения |
|||||||
T (x |
|
) |
|
1 |
P |
1 N |
, |
p 0,N; при этом чебышёвская норма равна |
T |
1 N |
. |
||||
p |
|
2 |
2 |
||||||||||||
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
Лемма 2.2. Пусть существует система точек 1 xN xN 1 x1 x0 1 такая, что
QN (xp)QN , p 0,N , причем в указанных точках функция имеет
чередующиеся знаки. Тогда среди всех полиномов степени N со старшим коэффициентом,
равным 1, многочлен QN (x) наименее уклоняется от 0.
57
Доказательство. |
Пусть |
|
существует |
полином |
SN (x) |
степени |
N |
со |
старшим |
|||||||||||
коэффициентом 1 (рис. 2.5), причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SN QN , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
то есть SN (x) QN |
x [ 11,]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Построим |
функцию |
R(x) QN (x) SN (x), |
отличную |
от |
нуля |
и |
являющуюся |
|||||||||||||
полиномом степени (N-1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
-0.5 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0.5 |
|
|
1 |
|
|||
Рис. 2.5. Графики полиномов Q5(x), S5(x) |
и их разности R(x) Q5(x) S5(x) |
|||||||||||||||||||
В точках экстремумов xp |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Q |
N |
(x |
p |
) |
|
1 p |
Q |
N |
, |
p 0,N . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
R(x |
p |
) |
|
|
Q |
N |
S |
N |
(x |
p |
), p 0,N и в силу предположения функция R(x) |
||
|
|
1 p |
|
|
|
|||||||||
на отрезке [-1, 1] меняет знак |
N |
|
раз, а значит имеет N |
корней, |
чего не может быть, |
|||||||||
поскольку R(x) является полиномом степени (N-1). |
|
|
||||||||||||
Таким образом, утверждение леммы 2.2 доказано. |
|
|
||||||||||||
Поскольку |
|
построенный |
ранее |
|
полином Чебышёва |
TN (x) |
удовлетворяет всем |
требованиям леммы, он является наименее уклоняющимся от нуля на отрезке [-1, 1].
В случае необходимости отыскания полинома, наименее уклоняющегося от нуля на произвольном отрезке [a, b], следует перейти к новой переменной
58
t 2 |
x b a , |
a x b , |
b a |
b a |
|
которая теперь принимает значение t 11, .
В этом случае функция PN(x) принимает вид:
1 N |
|
|
|
|
2x (b a) |
|
|
|
||||
PN (x) 2 |
cos N arccos |
b a |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Формула (2.16) представляется в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
PN x 2xPN 1 x PN 2 x 2 |
N 1 2x (b a) N |
22N 1 |
N x |
N |
|
|||||||
|
|
|
b a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
b a |
|
|
|
|||
Теперь можно получить полином со старшим коэффициентом 1, то есть полином |
||||||||||||
Чебышёва для отрезка [a, b]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b a N |
|
|
|
|
|
2x (b a) |
|
|
(2.18) |
|||
TN (x) |
cos N arccos |
b a |
. |
|
|
|||||||
22N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Корни этого многочлена определяются аналогично рассмотренному выше случаю: |
||||||||||||
|
2x (b a) |
0, |
|
|
|
|
|
|
||||
cos N arccos |
b a |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
arccos2x (b a) |
|
2k 1 |
|
k 1,N, |
|
|
|
|||||
|
, |
|
|
|
|
|||||||
b a |
|
|
|
2 N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k 1 |
|
k 1,N. |
|
|
|
|||
xk b a b a cos |
|
, |
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
|
2 N |
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что в этом случае TN |
max TN x |
b a N |
|
|
|
|
||||||
|
|
2N 1 . |
|
|
|
|||||||
|
x a,b |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Может рассматриваться еще одна задача: найти многочлен степени N, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [a, b] среди многочленов, удовлетворяющих условию
QN (0) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Перенормируем полином (2.18) так, чтобы TN (0) 1, |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x (b a) |
|
|
|
|
||||
|
|
PN x |
|
cos N arccos |
|
|
|
|
|
2x (b a) |
|
|||
|
|
|
b a |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
TN (x) |
|
|
|
|
|
|
pN cos N arccos |
|
|
|||
|
|
P |
0 |
|
|
|
|
a b |
|
b a |
|
|
||
|
|
N |
|
|
cos N arccos |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
||
|
pN |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
a b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
cos N arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a b |
|
|
|
|
|
|
|
|
59
Корни этого многочлена расположены в точках |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
xk b a b a cos |
2k 1 |
, |
k 1,N . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
a , |
0 1 b a |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
1 |
b a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y arccos(z) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos y z - нечетная функция; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos 2y 2cos2 y 1 2z2 |
1 - четная функция; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
cos 3y cos y 4cos2 y 3 4z3 |
3z - нечетная функция; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
cos 4y 2 2cos2 y 1 2 |
1 2 2z2 1 2 |
1 - четная функция; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
2 |
|
|
N |
|
|
2 |
|
N |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
2 |
z z |
|
1 |
|
z |
z 1 |
|
|||||||||
cos N arccos z |
|
|
cos N arccos z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Положим z 1 |
, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z2 1 1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
02 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z2 1 1 |
1 |
1 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
02 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Вводя обозначение 1 1 , представим определенный выше коэффициент в виде
|
|
|
|
|
N |
2 N |
p |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 2N . |
||||
|
N |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
Теперь очевидно, что построенный полином принимает экстремальные значения,
равные
2 N TN maxTN x 1 12N .
x a,b
1
Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
60