- •Основы теории вероятностей.
- •1. Классификация случайных событий.
- •2 Вероятность случайного события.
- •3. Теоремы сложения вероятностей.
- •4. Теоремы умножения вероятностей.
- •5. Формула полной вероятности.
- •6. Формулы Байеса.
- •7. Случайная величина.
- •Дискретная случайная величина.
- •Непрерывная случайная величина.
- •3).Функция распределения.
- •1 F(X)
- •8. Числовые характеристики (параметры) случайной величины.
- •3). Средне -квадратическое или стандартное отклонение.
- •Контрольные вопросы.
Лекция №1
Основы теории вероятностей.
Теория вероятностей – это раздел математики, который изучает закономерности в массовых случайных событиях.
Событие – это факт, который может произойти или не произойти в результате проведения опыта или испытания.
Выделяют три вида событий:
а) достоверные
б) невозможные
с) случайные
Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдёт в результате данного опыта.( например: при бросании кубика выпадет 1≤целое число≤6).
Невозможное событие – это событие, которое никогда не произойдет в условиях данного опыта. .( например: при бросании кубика выпадет число≥7, например 10).
Случайное событие – это событие, которое может произойти или не произойти в результате данного опыта. ( например: бросили кубик один раз – выпадение числа 3 – случайное событие).
События обозначаются первыми заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D,.
События называются массовыми, если они происходят одновременно в достаточно большом числе испытаний или многократно повторяются .( например: много людей бросают кубики или один человек бросает кубик много раз).
1. Классификация случайных событий.
Равновозможные события – это события такие, что ни одно из них не является более возможным, чем другие ( например: кубику всё равно на какую грань упасть).
Совместные события – это события, которые могут произойти одновременно в результате данного опыта. ( например: бросаем 2 кубика - выпадение числа 1 и выпадение числа 3 – совместные события).
Несовместные события – это равновозможные события такие, что появление одного из них исключает появление остальных.( например: бросаем 1 кубик – выпадение цифры 3 исключает выпадение остальных цифр).
Несколько случайных событий: образуютполную группу событий, если каждое из них может произойти в результате данного опыта. ( например: выпадение чисел 1,2,3,4,5,6 –полная группа событий для бросания одного кубика).
Противоположные события – это равновозможные несовместные события, образующие полную группу событий. Появление события исключает появление события. ( например: орёл или решка, попадание в мишень или промах).
Несмотря на то, что события случайные, при большом числе опытов они подчиняются закономерностям, которые изучает теория вероятностей.
2 Вероятность случайного события.
Вероятность случайного события (обозначается Р(А)) –это число, которое говорит нам о степени возможности наступления события .
Существуют два определения вероятности: классическое и статистическое, каждое из них имеет свои достоинства и недостатки.
Классическое определение вероятности.
Вероятность события – это отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию (m), к общему числу всех несовместных и равновозможных исходов данного опыта (n).
Если А – случайное событие, то
Если А – достоверное событие, то
Если А – невозможное событие, то
Пример: при бросании кубика возможно 6 исходов
Событие А: выпадет четное число. Число исходов, благоприятствующих событию А, m=3.
Достоинства: можно вычислить вероятность не производя испытания.
Недостатки: 1) не всегда известно число исходов опыта,
2) часто невозможно представить результат испытаний в виде равновозможных и несовместных событий.
Поэтому на практике часто пользуются статистическим определением вероятности.
Статистическое определение вероятности.
Пусть А – случайное событие, опыт проводился n раз, в результате опыта событие А произошло m раз, тогда m- частота наступления события А, а величина называетсяотносительной частотой события А.
Для разных n , могут заметно отличаться, но если проводим длинную серию опытов, т.е. , ток некоторому пределу.
Статистической вероятностью события А называется предел, к которому стремится его относительная частота , при неограниченном увеличении числа испытаний.
Пример: среди 1000 новорожденных 517 мальчиков. Найти относительную частоту рождения мальчиков. , тем не менее, известно, что
Так как вероятность – это число следовательно, с этими числами можно производить арифметические действия.