Вариационная статистика

йствии одного элемента на другой, в биологии недости­

. Взаимодействие факторов в природе слишком сложно,

чтобы устранить влияние на результативный признак всех этих

факторов, кроме одного.

Задача элиминирования (выравненности) факторов успешно

решается методом чистой или частной корреляции (см. табл. 49).

Этот метод позволяет измерить вариацию результативного при­ знака, связанную с влиянием изучаемой независимой перемен­

ной Х1 при исключенном влиянии других учитываемых в опыте

переменных, например, Х2, Х3. В § 9 гл. XI были уже вычислены коэффициенты частной регрессии ЬУ1.2 и ЬУ2.1 и оценено с их посредством влияние на результаrивный признак У одного из независимых признаков при эли~инировании (выравненности)

ется посредством вычисления соответствующих коэффициентов.

корреляции rY1.2 и гУ2.1·

Для вычисления этих коэффициентов можно воспользоваться

значениями коэффициентов корреляции между двумя перемен­

ными Гу1, ГУ2, ,12. т. е. между у и х1. у и х2. х1 и Х2. Коэффициенты корреляции между двумя переменными, как

известно, можно вычислить по различным формулам (IX.l-

IX.4; Х.60-Х.64 и др.). Воспользуемся формулой (IХ.З). Коэффициент корреляции между объемом и квадратом диа­

метров х1 будет:

rt1 = (~ Х1У)2/(~ xi ~ i) = 624291/(816779 Х 526589) = 0,906,

Гу1 = 0,952.

r~2 = (~ Х2У)2/(~ х~ ~ i) = 175032/(923 Х 526589) = 0,630,

Гу2 = 0,794.

r1~ = (~x1x2n(~xi ~х~) = (17211)21 (816779 х 923) = 0,393,

r12 ~ 0,627.

Коэффициенты чистой корреляции:

х o,627)/V(1- о,9522) (1- о,6272) = о,82о.

152

Ошибка коэффициента частной корреляции определяется как

и ошибка коэффициента между двумя переменными (см. фор-

1\!УЛУ IX.15). Однако величина N - 1 уменьшается на число эли­

минируемых переменных, т. е. стоящих в индексе r справа от

точки (в нашем случае- .на 1).

s,YI.2 = 1 - r~1.2/VN- 2 = 0,022.

Д.ТJЯ Гу2.1 ПОЛУЧИМ S,уц =0,046.

Ошибку частного коэффициента корреляции можно использо­

вать при испытании нулевой гипотезы по критерию t. Однако

при этом ограничения, налагаемые при оценке r, имеют ту же

значимость. При высоких r и малочисленной выборке используют

Z - преобразование Фишера.

Наиболее эффективный метод оценки составляющих варьиро­

вания величины У иЗложены в предыдущем параграфе.

Г л а в а ХН

ПЛАНИРОВАНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИИ

§ t. ОБЩИЕ ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ НАБЛЮДЕНИй

Вышеизложенные способы оценки параметров совокупности по показателям выборки применимы только в тех случаях, когда

выборка является репрезентативной (представительной) для

совокупности. Иногда считают, что можно удачно заложить «ТИ­

пичные» пробы. Ошибочность таких суждений описана в литера­ турс на классическом примере подбора серии средних по раз­

меру и массе камней из партии камней разных размеров, а также

на примере выбора средних по урожайности делянок (Снедекор,

1961). Систематические ошибки в первом примере в среднем равнялись 25% в сторону завышения, а во втором зависели от густоты растений на делянках.

Подбор проб по принципу типичности несостоятелен, когда

ставят целью результаты опыта истолковывать с определенной точностью и уверенностью как средние для характеризуемой

совокупности. Статистический'анализ к такому материалу непри­

меним.

Биологические совокупности, для которых требуется стати­

стическая информация, как правило, очень неоднородны. По од­ ному или даже нескольким типическим образцам надежно судить

о них вообще нельзя.

Следующие примеры могут служить подтверждением.

153

Чтобы получить статистически значимую информацию, напри­

мер, для первой из названных совокупностей, надо провести

наблюдение на большом числе учетных площадок. Численность возобновления от вырубки к вырубке и от площадки к площадке

внутри вырубки будет сильно варьировать. Коэффициент вариа­

ции v может достигать 100% и выше. Понятно, что в этих усло­

виях ни одна, ни десятки площадок, заложенных по принципу

типичной выборки, не дадут надежной информации.

Непригодность этого способа отбора выборки состоит, одна­

ко, не в том, что способ мало точен, а в том, что он не свободен

от субъективизма.

Несмотря на этот недостаток, способ типической выборки приходится вередко применять при оценке (таксации) насажДе­

ний. Например, при -глазомерной таксации средний диаметр

деревьев древостоя определяют как среднюю величину из

3-4 средних «на глаз» по толщине деревьев.

При детальном обследовании участка леса на зараженность вредителем приходится закладывать пробную площадь в сред­ них (типичных) условиях. Иногда также решают и задачу оцен­

ки возобновления (см. подробнее об этом в следующем пара­

графе).

По неизбежности, как способ, требующий наименьшего объ­

ема наблюдений, он находит широкое применение при решении

многих задач в лесном деле. Следует отметить, что информацию,

пригодную для статистической оценки опыта с определенной точ­

ностью, этим способом получить невозможно. Можно вычислить среднюю величину признака на основе такого материала. Но

ошибку этой средней вычислять не следует, так как она непра­

вомерна, ибо случайная изменчивость признака (среднее квадра~ тическое отклонение) в опыте не измерялась. В этом случае при­

дется для оценки опыта ограничиться типической выборкой, т. е. только полученной средней величиной признака.

Для статистического истолкования результатов опыта для

трех рассматриваемых совокупностей (возобновление на выруб­ ке, сосняки лесничества, культуры сосны) с определенной точ­

ностью требуется закладка·проб по одному из способов случай­ ного отбора, рассматриваемых ниже. При этом исследователю

придется решить два главных вопроса: 1) определить достаточ­

ное число наблюдений, 2) правильно отобрать единицы для на­

блюдений.

При решении 11ервого вопроса l.toжiю воспо:Iьзоваться формудой

точности.

Из формулы (XII.l) видно, что для получения результата с точностью 5%

для оценки возобновления потребовалось бы принять число площадок

N = v 2fv'2_ = 1002/52 = 400.

х

154

При этом наше заключение о том, что полученная выборочная средняя будет

от.1ичаться не более чем на 5% от генеральной средней, дается с вероят­

ностью 0,68 (В 32 случаях из 100 может и не подтвердиться). Если принять

уровень безошибочного суждения 0,05, т. е. делать заключение с вероятностью

0,95, которую следует считать достаточной, то в формулу для определения

числа наблюдений нужно ввести множитель t (t - критерий из табл. 3 прил.).

Формула для ;исла наблюдений будет

В других случаях, когда v по пробной выборке хар-актеризовалось бы мень­

шим числом, можно было бы планировать меньшее число наблюдений.

Из приведеиного примера видно, что, если варьирование значений при­

знака в совокупности велико и полученное N по формуле (XII.2) практи­ чески недостижимо, исследователь должен пойти на сужение объекта иссле­ дований или иногда довольствоваться точностью Qпыта v; 10%. Правильнее

первое решение. Можно взять, например, в опыте не все сосняки лесхоза, лесничества, а только какого-то типа леса или типа условий местопроизра­ стания. В пределах таких объектов варьирование будет значительно мень­ шим. Вообще, следует придерживаться принципа брать более ограниченные

совокупности.

Для решения второго вопроса по Планированию наблюдений, состоя­ щего в правильном отборе или размещении ед1шиц наблюдения, .современная статистическая теория рекомендует ряд способов. Подробное изложение этих способов можно найти в работах Д. У. Снедекора (1961)-; Ф. Миллса (1958); В. В. Налимава (1971) и др.

Обычно применяют следующие способы: простой случайный отбор, или случайное бесповторное выборочное наблюдение, случайное послойное выбо­ рочное наблюдение, систематическое выборочное наблюдение и субвыбороч-

ным и статистическн разработанным метоl(ом. Его организуют с помощью

какого-либо механизма, обеспечивающего равную возможность для любой еди­

ницы попасть в выборку. Обычно для выбора единиц используют таблицу слу­ чайных чисел (см. табл. 1, прил.).

Чтобы воспользоваться таблицей, всю совокупность .следует разделить на единицы и последние пронумеровать. Например, можно выбрать деревья для

измерения высот или для исследования на выход из них сортиментов из пред­

варительно пронумерованной совокупности их.

При исследовании численности или качественного состава возобновления

на вырубке можно разделить сначала на клеточной бумаге всю ее площадь.

Получаем элементарные площадки. Из них можно выбрать по таблице случай­

ных чнсел номера для учета. Эти элементарные площадки можно взять

и проще, например, на случайно намеченных ходовых линиях.

ЗО-й и т. д. ряд культур. Закладка учетных площадок через определенное

расстояние друг от друга представляет также систематическую или механи­ ческую выборку. Преимущества такой выборки -легкость ее получения и рав­

номериость распределения по всему объекту. Но если совокупность обладает периодической изменчивостью н если интерва.1 между отбираемыми едини­

цами совпадает с длиной волны этого изменения (или кратный ей), получим

выборку со смещением (систематической ошибкой).

Допустим, что агрегат, который применяли при посадке саженцев, имел

один из шести или другого числа неисправный захват. Если в последующем учете N2N!! учетных рядов культур совпадают с рядами, произведенными

155

~авным захватом, то выборка будет содержать систематическую ошибку.

",..Го_!сегда следует учитывать при планировании опыта и отдавать предпоч­

тение случайному отбору всюду, где он возможен и не очень затруднителен. Однако в условиях равномерной изменчивости признака, можно применять систематическую выборку и без существенной погрешности обрабатывать как

с.1учаiiную.

§ 2. СТАТИСТИЧЕСКИй -дИАЛИЗ СЛУЧАйНОй ВЫБОРКИ

Выше были рассмотрены способы обработки результатов

наблюдений и методы оценки параметров (f.!, cr, V, а, е) в сово·

купиости по показателям выборки (имеется в виду случа.йная

выборка). Здесь рассматриваются только те проблемы, которые

возникают при вычислении оценок для некоторых, ранее не рас­

смотренных параметров, например, для общей численности еди·

ниц в совокупности, для доли признака в совокупности, а также

при вычислениях оценок для ограниченных по размеру совокуп­

ностей.

Принятая символика количества или названия элементов приведена ниже

Так как показатели генеральной совокупности обычно не бы­ вают известными (они являются гипотетическими), пользуются

оценками этих показателей. Обозначим их теми же индексами

со штрихом:

156

§ 3. ОЦЕНКИ ОШИБОК ВЫБОРКИ

Формулы ошибки средней выборочной совокупности были приведены ранее (VI.2, VI.З). Для ограниченных по объему совокупностей, когда выборка включает более 5% единиц, в фор­

мулы ошибки вводится поправка на ограниченность совокупно­

сти. Эта поправка (множитель) равна отношению части сово­ купности, не включенной в выборку, ко всей совокупности, т. е.

(N-n)/N.

Так как n/N=f- доля выборки, то не включенная в выбор­

ку доля = 1-f. Значение поправочного множителя (1-f) сво­

дится к уменьшению дисперсии выборочного показателя на вели­ чину f. С учетом поправки дисперсия средней величины или

квадрат. ошибки выборочной средней

s~ = (ijn) [(N- n)/N] = (i!n) (1- f).

хх

Дисперсия оценки общей суммы значений признака в генераль­

ной совокупности

родная генеральная совокупность). По oб)llepy 1000 деревьев, взятых по мето­

ду случайного отбора, площадь проекций крон их равна 3000 м2• Дисперсия s2 равна 0,25 м2• В принятых символах имеем: Xt=3000; x=Xt/n=3000/1000=

=3 м2; N=10000; n=1000; q=·10000/1000=10; s=0,5; дисперсия s2 =0,25.

Для расчета общей площади проекций используем вышенаnисанную фор­

мулу для

х; = qx; = 10 х зооом~ = 30000 м~.

Пользуясь формулой (XII.5), оnределяем ошибку выборки д.1я обшего

итогового ноказателя Х~

157

чнс.1енность поврежденных деревьев в совокупности? Ошибка доли

выборки. Ошибки, которые происходят от неправильной методо­ логии, не являются ошибками выборки в полном смысле слова.

·При подготовке плана выборочного наблюдения более удобно

иметь дело с относительнь!МИ показателями точности или с по­

казателями относительных ошибок выборки.

Общее понятие об относительной вариации было дано выше (формула IV.21). Оно применимо как к выборкам, так и к сово­ купностям И1 может быть расширено. Например, оно применимо

в отношении распределения средних долей, коэффициентов кор­

реляции и т. д. Символ v - относительный показ(.lтель варьиро­

вания, подписной значок при нем указывает варьирующую пере­

менную И совокупность (выборочная- с чертой, генеральная­

без значков и черты). Если показатели относительных ошибок

относятся к выборочным распределениям, то v:r представляет отно~ние стандартной ошибки выборки s-x к оцениваемой вели-

(х- выборочная средняя, принимаемая также за оценку сред­

ней генеральной совокупности).

Для генеральной совокупности коэффициент вариации V =

=al~t или в% v= (a/~t) 100%.

Практически удобнее пользоваться средним квадратом коэф­ фициента или средним квадратом относительной ошибки-дис­

персии.

С учетом поправки на ограниченность совокупности формулы

относительных дисперсий запишутся:

Каждое из этих выражений относительных ди>сперсий представ­ ляет собой отношение квадрата стандартной ошибки выборки

158

~ПРИЛОЖЕНИЯ

rт-~ 1. Случайные числа (по А. К. Митропольскому)

160

2. Значения четвертых моментов разрядных частот