Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Приазовский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Тетрадь 3 (функция одной переменной)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.03.2016

Размер:

9.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Крок 5. Перевірте точку x3 2 (знайдіть значення функції при x3 2 ).

y (2)		2 2		...

	22	3 2	2

У разі, якщо знаменник функції при x0 обертається на нуль, то x0 – точка розриву.

Крок 6. Знайдіть односторонні границі при x 2 0 і зробіть висновок.

lim		x 2	lim	x	2		...

	x2	3 x 2		x 1 x 2
x 2 0	x2	3 x 2	x 2 0	x 1 x 2
lim		x 2	...			...

	x2	3 x 2
x 2 0	x2	3 x 2

Якщо lim	f x lim	f x a ,	a ,	f x0 a або в цій точці
x x0 0	x x0 0

функція невизначена, то точку x0 називають усувною точкою розриву. Відповідь: у точці x1 0 функція неперервна; x2 1 – точка розриву

другого роду; x3 2 – точка усувного розриву.

Учимося самостійно розв’язувати завдання

3.11.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Дослідіть функцію на

неперервність

на

неперервність

на

неперервність

на

вказаному проміжку:

f (x)

x2 49

f (x)

x 6

; [ 10;10]

f (x)

x 6

; [ 1;1]

; [0;10]

x2 36

x 1

x 7


Знайдіть			точки,	Знайдіть точки, що			Знайдіть точки, що
що	не	входять в		не	входять	в	не	входять	в
область		визначен-		область визначен-			область визначен-
ня функції. Засто-				ня функції. Засто-			ня функції. Засто-
суйте теореми про непе-				суйте теореми про непе-			суйте теореми про непе-
рервність	частки		двох	рервність	частки	двох	рервність	частки	двох
неперервних функцій.				неперервних функцій.			неперервних функцій.

3.12.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Дослідіть

функцію

Дослідіть

функцію

Дослідіть

функцію

f (x)

3х 2

f (x) arctg

на

непе-

на непе-

f (x) 5х 1

на

непе-

х 2

рервність

точках

рервність

точках

рервність

точках

х 2, х 0.

Зробіть

х 0, х

х 1, х 1.

Зробіть

3 .

Зробіть

схематичне креслення.

Для

дослідження

Для

дослідження

Для

дослідження

функції

на

непе-

функції

на

непе-

функції

на

непе-

рервність

вико-

рервність

вико-

рервність

вико-

ристовуйте

озна-

ристовуйте

озна-

ристовуйте

озна-

чення.

Для

побудови

чення.

Для

побудови

чення.

Для

побудови

графіка функції дослідіть

поведінку

функції

при

поведінку

функції

при

поведінку

функції

при

х .

3.13.

І рівень

ІІ рівень

ІІІ рівень

Дослідіть

функцію

Дослідіть

функцію

За

яких

значень

x 0,

tgx, x 0,

параметра а функція

f (x)

1 x, x 1,

cos x, 0 x ,

1 x, 0 x 1,

f (x)

буде

1 x, x .

2x 1, x 1.

3 ах2 , x 1

неперервною

всюди?

на

неперервність

на

неперервність.

Зробіть

схематичне

Зробіть

схематичне

Зробіть

схематичне

креслення.

Дослідіть

функ-

Дослідіть

функ-

цію

на

неперер-

цію

на

неперер-

Значення

параметра

вність

у точках

вність

точках

знайдіть з умови

х 0, х .

х 0, х 1.

lim

f x lim

f x f x0

x 1 0

Учимося застосовувати CAS Mathcad для дослідження функції на неперервність

3.14. Уздовж балки розподілено навантаження р. Навантаження, що проводиться на ділянку балки від її початку до точки з абсцисою х, буде

функціональною залежністю від х:	p (x)	x 1	. Дослідіть

		x2 3x 2

неперервність цієї функціональної залежності по всій довжині балки.

Хід обчислення.

1.Відкрийте вікно CAS Mathcad.

2.За допомогою опції Вид – Панели инструментов – Исчисления, Вид – Панели инструментов – Калькулятор, Вид – Панели инструментов – Вычисление та Вид – Панели инструментов – Графики винесіть на панель інструментів вкладки.

3.Оберіть на вкладках панелі інструментів Графики побудову кривої .

4.Після отримання в полі програми зображення декартової системи

координат, заповніть мітку лівого			кута	виразом відповідної функції
	x 1	із зазначенням змінної,	за якою відбувається дослідження.

	x2 3x 2
	x2 3x 2

Проаналізуйте поведінку графіка функції в околі точок x1 1, x2 2 .

5.Оберіть у вкладці Исчисление «Односторонний предел».

6.Наберіть з клавіатури Калькулятора задану функцію та із вкладки

Вычисление оберіть .

7. Отримайте значення односторонніх границь функції при x 1	та x 2
0
і зробіть відповідні висновки.

Як пов’язано поняття похідної функції з інженерною практикою

Розглянемо графік функції y f x в околі точки x0		(рис. 4.1). Нехай
P0 – точка кривої з координатами x0 ; f x0 , а P	–	точка графіка з
координатами x0 x; f x0 x . Пряму, проведену	через точки P0 і P ,

називають січною. Якщо під час необмеженого наближення точки P за

графіком функції y f x до точки P0 січна P0 P наближається до певного граничного положення (пряма P0 K ), то це граничне положення січної називають дотичною до кривої y f x у точці P0 . Задамо – кут, який утворює дотична з додатним напрямом осі Ox , а – кут між січною P0 P і віссю Ox .

Рис. 4.1. Геометричне тлумачення похідної

З прямокутного трикутника P0QP випливає, що

x0 x f x0

P0Q

Тоді є границя

f / x0

lim

f x0 x f x0

lim tg tg .

x 0

P P0

у точці

x0 дорівнює кутовому коефіцієнту

А похідна функції f

дотичної до графіка функції y f x у точці, абсциса якої дорівнює x0 .

З’ясуємо, які є можливості для обчислення похідних функцій.

Складаємо опорний конспект

Означення похідної

Похідною функції

y f x

точці

називають границю (якщо вона є)

відношення

приросту

функції

y f x x f x

до приросту аргумента

y x lim

lim

...

x , коли останній прямує до нуля, тобто

...

x 0

Функцію, яка має скінченну похідну в

точці x , називають диференційованою в

… (за Лагранжем) або

цій точці. Обчислення похідної називають

диференціюванням. Позначення похідної:

…

(за Лейбніцем)

Геометричний, фізичний та механічний зміст похідної

Геометричний зміст похідної.

Похідна

точці

дорівнює

кутовому

f x

коефіцієнту дотичної до графіка функції

y f

у точці,

абсциса якої дорівнює x0 .

f x0 …

Записується це так:

Рівняння дотичної, проведеної до графіка

функції

y f x

точці

P0 x0 , y0 , має

...

вигляд

Нормаллю до кривої називають пряму, що

проходить

через

точку

дотику,

перпендикулярно до дотичної.

...

Рівняння нормалі має вигляд:

Фізичний зміст похідної. Якщо функція

y f

описує деякий фізичний процес,

…

то похідна y є

Механічний зміст похідної. Якщо S S t

– закон руху матеріальної точки (тобто

залежність пройденого точкою шляху S

від часу

– це швидкість

t ), то похідна S t

v точки в момент часу t ;

друга похідна

–

миттєве

прискорення a

точки в

S t

v …,

...

момент t , тобто

Основні правила диференціювання

Нехай u x ,

v x ,

w x

– диференційовані

в точці

функції, C

– стала. Тоді для

;

1) u v

...

застосування

будуть

правильними

формули:

...

;

3) uv

...

;

4) Cu

...

u v uv

v 0 ;

uvw

...

Таблиця похідних елементарних функцій
Формули диференціювання основних															1
	C	...					arctg x
елементарних функцій	C	...					arctg x								...
елементарних функцій															...
															1
	xn				...	...	arcctg x								1
	xn				...	...	arcctg x								...
															...

	ax				...	...					...
							sh x				...
	e x	...									...
						1	ch x				...
						1
	log a	x												1
	log a	x
						... ...	th x

														...
														...
	ln x		...												1
															1
							cth x
							cth x								...
	sin x				...										...
	sin x				...					ex e x
							sh x			ex e x						, де
					...		sh x									, де
	cos x				...								2
										e		x	e		x
	tg x			...			ch x			e			e			,
	tg x			...			ch x						2			,
													2

	ctg x			...			th x		sh x					,
						1	th x	ch x						,
	arcsin x										ch x
	arcsin x					...	cth x								–


						1					sh x
	arccos x						гіперболічні
	arccos x					...

							функції
							функції

Похідна складеної функції та

таблиця похідних складеної функції

Якщо функція

u g x

має похідну

точці x , а функція

y f u

–

відповідній

точці u g x , то

складена

функція

y f g x

диференційована

точці x , причому

y /

... ...

Похідна оберненої функції

Якщо функція y f x строго монотонна

на інтервалі a,b і має відмінну від нуля

похідну

довільній точці

цього

f x у

інтервалу,

тоді

обернена

функція

x g y ,

яка також

має

похідну

g y ,

причому

g y

...

або yx

...

Диференціювання функції, заданої неявно

Нехай

неявна

функція y x задана

рівнянням

F x, y 0 , не

розв’язаним

щодо залежної змінної

y .

Щоб знайти

продиференціювати

обидві

похідну y , потрібно виконати такі дії:

частини рівняння

…

за змінною

x , не забуваючи при

цьому, що

є функцією змінної

x ;

розв’язати одержане рівняння

щодо …

Диференціювання функцій, заданих параметрично

Функція y x

може

бути

задана

параметрично і записана за допомогою

... , y ...

рівнянь

, де t

–

параметр, що належить проміжку

Похідну функції, заданої параметрично,

x t , y

t ( x

, y

...

, або

...

x t

y t

...

обчислюють за формулою

Логарифмічне диференціювання

Логарифмічне

диференціювання

доцільно

використовувати,

якщо

функція задана у вигляді:

uk1

x uk2

x ... ukm x

а) y

;

vl1

vl2

x ... vln

y ...

...

б)показниково-степеневої,

що

записується

Похідну

показниково-степеневої

1) логарифмують обидві частини

функції

y u x v x ,

де

u x

v x

–

рівняння ln y ln ...

...

... ;

диференційовані функції від

x ,

u x 0

2) диференціюють обидві

обчислюють

за

допомогою

отримані частини

логарифмування. При цьому виконують

наступні дії:

...

;

3) виражають y/

...

Похідні вищих порядків

Якщо функція

диференційована,

f x

то її похідну називають другою

похідною (або похідною другого

порядку) і позначають одним із таких

…

символів:

Похідну від другої похідної, якщо вона

...

є,

називають

похідною третього

порядку, тобто за означенням

...

Похідною n-го порядку функції y f x

y n ...

називають першу похідну, якщо вона є,

, або

від похідної n 1 -го порядку:

y n

...

Формула Лейбніца

Нехай

y uv , де

u x

та v x – n раз

диференційовані функції. Тоді

uv n

Cnk

...

k 0

де Cnk

k !k!

n! 1 2 3 ... n 1 n ,

0! 1

Обчислення похідних вищих порядків функцій,

заданих параметрично

Якщо

функція задана

параметрично

...

рівняннями x x t

, y y t , тоді похідні

...

d 2 y

d 3 y

d n y

, …,

обчислюють за

...

dx 2

формулами

...

, …,

dx3

...

dx n

Перевіряємо готовність до практичного заняття

4.1. На яких рисунках функція f (x) диференційована в точці х0 ?

Якщо функція f (x) диференційована в точці х0 , то в цій точці до графіка функції можна провести дотичну.

4.2. Яке зі співвідношень істинне?

А	х	х	2		х	(х	2
	е	х			(е )	(х	)

cos x

(cos x)

(x) ln x

(ln x) x

ln x

х 2x

x 2x

Дx arcsin x (x) arcsin x x(arcsin x)

Скористайтесь правилами обчислення похідної добутку та частки:


		u	u v v u			.
					2
uv	u v v u,			v
		v

4.3. Оберіть правильну формулу диференціювання.

log3 x

ln 3

log3 x

2x x2x 1

2x 2x ln х

x ln 3

ln a

Скористайтесь праилами обчислення похідної логарифмічної та показникової функцій.

4.4. Оберіть правильну формулу диференціювання.

cos

2cos x

cos

cos x

1 x4

arcsin x2

1 x2

arcsin x2

arcsin x

1 x4

Скористайтесь праилами обчислення похідної функцій y cos x, y arcsin x.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2019251.39 Кб50ТЕСТИ Макроек. показ.doc
#
05.03.2016474.62 Кб559Тесты по англ для шк.олимп.doc
#
05.03.201649.15 Кб51Тесты по ЭАУ №1.doc
#
05.03.20165.6 Mб33Тетрадь 1 (определители,матрицы,СЛАУ,векторы).pdf
#
05.03.20167.3 Mб34Тетрадь 2 (аналитическая геометрия).pdf
#
05.03.20169.33 Mб13Тетрадь 3 (функция одной переменной).pdf
#
05.03.20161.33 Mб96Тех.мех.практические.doc
#
16.08.20195.29 Mб128Техническая термодинамика и теплопередача111.doc
#
19.11.20197.09 Mб79Технология возведения и реконструкции.doc
#
05.03.20161.94 Mб112ТИ 227 П.ГЛ-21-2014 ПРОИЗВОДСТВО ГОРЯЧЕКАТАНОЙ ЛИСТОВОЙ СТАЛИ НА НЕПРЕРЫВНОМ ШИРОКОПОЛОСНОМ СТАНЕ 1700.doc
#
14.08.2019263.68 Кб10ТИТУЛЬНЫЙ ЛИСТ 2.doc