Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Орловский филиал РАНХиГС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

04.03.2016

Размер:

3.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2017 18 19 20 > Следующая >>>

7. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение

относительно неизвестной функции и ее производных различного порядка

F(x, y, y′, y′′,..., y(n) ) = 0 .

Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в него.

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая обращает это дифференциальное уравнение в тождество.

Процесс нахождения решения данного дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.

Уравнение

, связывающее между собой независимую переменную, искомую (неизвест-

ную) функцию , и ее производную называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если это уравнение можно записать в виде

то говорят, что оно разрешимо относительно производной.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения первого порядка


называется любая функция	которая при подстановке в это уравне-


ние обращает его в тождество. График функции		в этом случае на-

зывается интегральной кривой.

Задача отыскания решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию

называется задачей Коши.

Геометрически это равносильно следующему: требуется найти интегральную

кривую уравнения

, проходящую через точку

Общим решением уравнения

называется такая функция

где C - произвольная постоянная, что:

1)при любом конкретном значении С она является решением этого уравнения;

2)для любого допустимого начального условия , в окрестно-

сти которого существует решение, найдется такое значение постоянной

, что				.

161

В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения приходится записывать в неявном виде:

Тогда соотношение			называется общим интегралом этого

уравнения.

Геометрически общий интеграл представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху.

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция

получаемая из общего решения							при конкретном значении по-

стоянной	.
Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение вида		′	= f1(x) f2 (y),
Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнение вида		y	= f1(x) f2 (y),

где f1 (x) и f2 (y) − непрерывные функции, называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для отыскания решения такого дифференциального уравнения нужно:

1) y′ заменить dy ;

2) разделить переменные (преобразовать уравнение таким образом, чтобы в левой части содержались функция и дифференциал, например, переменной x , а в правой – функция и дифференциал, например, переменной y ).

y′ = f1 (x) f2 (y)

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может быть задано в следующем виде:

f1 (x) ϕ1 (y)dx + f2 (x) ϕ2 (y)dy = 0

Разделим обе части уравнения на ϕ1 (y) ≠ 0 и f2 (x) ≠ 0, получим

∫f1 (x) dx + ∫ϕ2 (y) dy = С . f2 (x) ϕ1 (y)

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение y′ = y .

162

dy = y , dx x

dx = y dx : y ≠ 0, x

∫ dyy = ∫ dxx ,

ln y = ln x + ln C1 , ln y = ln C1x ,

y = Cx.

- общее решение уравнения.

Пример2. Решить задачу Коши:

Разделим обе части уравнения на

. Получим

Интегрируя обе части этого уравнения, получим общий интеграл:

Отсюда

(

, так как рассматриваются только арифметические значения корня.)

Частное решение получим из условия

при

Подставляя эти значения х и у в общий интеграл, получим

и частным решением будет

Однородные дифференциальные уравнения. Функция F(x; y) называется однородной степени (порядка) k , если при любом t выполняется тождество

F(tx;ty) = tk F(x; y).

F1 (x; y) = x + 2y,

F1 (tx;ty) = tx + 2ty = t (x + 2y) = t F1 (x; y) F1 (x; y)

- однородная функция первой степени.

163

F	(x; y) = x2 sin	x
F	(x; y) = x2 sin
2		y
		y
			tx			x
F	(tx;ty) = (tx)2 sin			= t2 x2	sin		= t2 F (x; y) F (x; y)
F	(tx;ty) = (tx)2 sin			= t2 x2	sin		= t2 F (x; y) F (x; y)
2			ty				2	2
			ty			y

- однородная функция второй степени. Дифференциальное уравнение I порядка

называется однородным, если

P(x; y) и Q(x; y) − однородные функции одной и

той же степени k.

Это уравнение может быть приведено к виду

Способ решения. Введем вспомогательную функцию

z(x) =

, z =

, тогда

подставляя в уравнение, получим

Откуда

Интегрируя, получим

Решив полученное уравнение относительно z, делаем замену z = y и выра-

жаем функцию y.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения y′ = x2 + y2

2xy

Функции, стоящие в числителе и знаменателе, однородные II степени, данное уравнение является однородным.

Введем новую функцию z =	y	′	′
	,
		y = zx, y	= z x + z.
	x

164

x2 − y2

Получим

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Откуда

или

Подставляя , получим

= С - общее решение уравнения.

Линейные уравнения первого порядка. Линейным дифференциальным уравнением I порядка называется уравнение вида

y′ + p(x)y = f (x) .

Способ решения. Если f (x) ≠ 0, то решение уравнения будем искать в виде

y = u v	(где u и v − функции, зависящие от	x т. е. u = u(x), v = v(x) ). Нахо-
дим	и подставляем в уравнение значения	и :
	y′ = u′v + uv′,
	u′v + uv′ + p(x) uv = f (x),
	u′v + u (v′ + p(x) v) = f (x),	(*)

Выберем функцию v такую, чтобы выражение в скобках v′ + p(x) v = 0 . Тогда

уравнение (*) сведется к системе двух дифференциальных уравнений.
v′ + p(x) v = 0 1)
u′v = f (x)	2)

Решим уравнение (1) системы: v′ + p(x) v = 0 ,

Имеем линейное однородное дифференциальное уравнение I порядка, которое является уравнением с разделяющимися переменными. Находим из этого уравнения функцию v, подставляем ее значение во второе уравнение и определяем функцию u. Запишем общее решение исходного уравнения в виде

Пример 4. Найти общее решение уравнения y′ + 2 y = x.

165

Будем искать решение в виде:

y= uv,

y′ = u′v + uv′,

Подставляя значения y в уравнение, группируя по переменной u, перейдем к системе двух дифференциальных уравнений, каждое из которых является уравнением с разделяющимися переменными, и решим их.

u′v + uv′ + 2 uv = x,

				x
′			′		2
′		v	′	+		v = x,
u v + u		v		+		v = x,
					x
	2
v′ +		v = 0,				(1)
v′ +		v = 0,				(1)
	x
u′v =		x.				(2)

Решим (1) уравнение системы:

Решим (2) уравнение системы:

v′ +

v = 0,

u′v = x,

= -

u′

= x,

dv = -

u′ = x3 ,

vdx

: v,

= -

2dx

= x3

∫du = ∫x3dx,

= -2ln

u =

+ C,

= ln

v =

- общее решение уравнения.

Уравнения Бернулли. Уравнение вида

, где

- непрерывные функции, называется уравнением Бернулли.

Это уравнение приводится к линейному уравнению с помощью подстановки

. Уравнение Бернулли можно, не сводя к линейному, проинтегри-

ровать с помощью подстановки (т.е. методом Бернулли) или приме-

нив метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).

Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка. Рассмотрим отдельные примеры.

166

1) Уравнение вида F(x; y′′) = 0 или это уравнение может быть записано в виде y′′ = f (x) . В данном уравнении не содержится y и y′ , поэтому решить его можно с помощью двукратного интегрирования.

Пример 5. Найти общее решение уравнения y′′ − sin x = 0 .

Представим как , получим

dy′ = sin x, dx

∫dy′ = ∫sin xdx,

y′ = −cos x + C1,

Заменяем на отношение дифференциалов

= −cos x + C1,

∫dy = ∫(−cos x + C1 )dx,

y= −sin x + C1x + C2 .

2)Уравнение вида F(x; y′; y′′) = 0 не содержит переменную y . С помощью

подстановки y′ = z(x) преобразуется в дифференциальное уравнение I порядка.

Если

′

= z(x),

то

′′

′

, тогда уравнение примет вид:

′

= z (x)

F(x; z; z ) = 0. Решим

это

уравнение относительно

z(x) = ϕ(x;C1),и

найдем

у из уравнения

y′ = ϕ(x;C1 :

= ϕ(x;C ),

′

′′

3) Уравнение вида

не содержит переменную

х . Введем новую

F(y; y ; y ) = 0

функцию z(y)

′

такую, что z = y .

y′′ =

d(y′)

dy′

Уравнение примет вид F(y; z; z′y ) = 0.

Решив это уравнение, найдем

z = ϕ(y;C1) y′ = ϕ(y;C1).

dy = ϕ(y;C1)dx,

= dx ∫

= x + C2

ϕ(y;C )

ϕ(y; C )

- общее решение уравнения.

Пример 6. найти общее решение дифференциального уравнения:

167

y y′′ − 2(y′)2 = 0,

y′ = z, y′′ = dz z, dy

y z dz − 2z2 = 0, dy

y z dz = 2z2 , dy

y z dz = 2z2dy,

Разделяя переменные и интегрируя, получим

∫ dzz = 2∫ dyy ,

ln z = 2ln y + ln C1 , ln z = ln C1 y2 ,

z = C1 y2 , y′ = C1 y2 .

Интегрируя последнее равенство, найдем общее решения уравнения у.

Линейные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. Линейным дифференциальным уравнением II порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

y′′ + py′ + qy = r(x) ,

Если r(x) = 0, то уравнение y′′ + py′ + qy = 0 называется линейным однородным дифференциальным уравнением II порядка с постоянными коэффициентами.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами ищется с помощью характеристического уравнения k 2 + pk + q = 0 . Характеристическое уравнение получается

из уравнения y′′ + py′ + qy = 0		заменой y′′ → k2, y′ → k, y → k0. Т. к. характери-
стическое уравнение квадратное, то оно имеет не более двух корней.
Справедливо утверждение:
1)	если корни характеристического уравнения действительны и различны,
k1	≠ k2 , то общее решение	однородного уравнения y′′ + py′ + qy = 0 имеет

вид:

yoo = C1ek1x + C2ek2x

2)если корни характеристического уравнения действительны и равные,

k1 = k2 = k, то общее решение уравнения имеет вид:

yoo = C1ekx + C2 xekx

168

3) если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение уравнения имеет вид:

= eαx (C cos βx + C

sin βx), где α = −

β =

q −

Пример 7. Найти общее решение следующих уравнений:

а) y′′ + y′ − 2y = 0

б) y′′ − 2y′ + y = 0

в) y′′ − 4y′ +13y = 0

k 2 + k − 2 = 0

k 2 − 2k +1 = 0

k 2 − 4k +13 = 0

D = 1+ 8 = 9

(k −1)2 = 0

D = (−4)2 − 4 13 = −36 < 0

k1 = −2, k2 = 1

k1 = k2 = 1

α = 2, β = 13 − 4 = 3

= C e−2x

+ C

= C ex + C

xex

= e

2x (C cos3x + C

sin3x)

Решение неоднородных уравнений II порядка с постоянными коэффициента-

ми y′′ + py′ + qy = r(x) .

а) Метод вариации произвольной постоянной.

Находим общее решение соответствующего однородного уравнения в виде y = C1 y1 + C2 y2 ,

где y1 и y2 − функции, зависящие от x .

Предполагаем, что C1 и C2 − функции от переменной x, т. е.

y = C1 (x)y1 + C2 (x)y2

Функции C1(x) и C2 (x) , находятся из системы дифференциальных уравнений

C1′y1′ + C2′ y2′ = 0,

C1′y1′ + C2′ y2′ = r(x).

Решив эту систему, в которой C1 и C2 неизвестные, а y1 и y2 ;		y1′ и y2′ − ко-
эффициенты найдем C1 и C2 , а следовательно и общее решение данного
уравнения.
Пример 8. Найти общее решение уравнения		.



Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
	,