Кантрольная работа №1 для ФЗО-техн
.pdf
Задания для аудиторного занятия «Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве»
1. По данным уравнением построить прямые, найти их угловые коэффициенты и отрезки отсекаемые на осях координат: а) 2x − y + 3 = 0 ;
б) 5x + 2y −8 = 0 ; в) 3x −8y +16 = 0 ; г) 3x − y = 0 .
2. Записать уравнения прямых, которые проходят через точку M0 (3;−1) и параллельны: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) биссектрисе
первого координатного угла; г) прямой y = 3x + 9 . Ответ: а) y = −1; б) x = 3 ; в) y = x + 4 ; г) y = 3x −10 .
3.Записать уравнение прямой, проходящей через точкиM1 (−1;3) и M2 (4;5).
Ответ: 2x −5y +17 = 0 .
4.Записать уравнение прямой, проходящей через точку M0 (−2;3) и
перпендикулярной прямой 2x −3y + 8 = 0 . Ответ: 3x + 2y = 0 .
5. Точка M(2;−5) является вершиной квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой x − 2y −7 = 0 . Вычислить площадь квадрата.
Ответ: 5.
6. |
Построить линии, заданные уравнениями: а) |
|
x2 |
+ |
y2 |
=1; б) |
x2 |
− |
|
y2 |
=1; |
|||||||||||||
16 |
9 |
25 |
16 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
; д) x = −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
в) y2 = 4x ; г) y = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
16 − x2 |
x2 |
−16 ; е) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x = 2 |
−y |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 (2;−1;3) |
|||||||||||||||||||||||
а) |
перпендикулярно |
вектору |
n = (3;2;−4); |
б) |
|
|
параллельно |
плоскости |
||||||||||||||||
5x − 4y + 8z −9 = 0 ; в) параллельно векторам a = (−1;3;4); |
|
= (3;0;−2). |
|
|||||||||||||||||||||
b |
|
|||||||||||||||||||||||
|
Ответ: а) 3x + 2y − 4z + 8 = 0 ; б) 5x − 4y + 8z −38 = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) 6x −10y + 9z − 49 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
Составить |
уравнение |
плоскости, |
проходящей через |
|
точки |
||||||||||||||||||
M1 |
(2;−1;3); M2 (−1;0;3), M3 (0;−2;5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ответ: 2x + 6y + 5z −13 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
9. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точ- |
||||||||||||||||||||||
ку M |
|
(2;−1;3) а) параллельно вектору a = (4;0;5); б) параллельно прямой |
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x −1 |
= |
y + 4 |
|
= z ; в) перпендикулярно плоскости 3x + 7y + 5z = 0. |
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Ответ:а) |
|
x −2 |
= |
y +1 |
|
= z −3 |
;б) |
x − 2 |
= |
y +1 |
|
= z −3 |
;в) |
x − 2 |
= |
y +1 |
|
= z −3 . |
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
5 |
2 |
3 |
|
5 |
3 |
|
5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
Задания для аудиторного занятия «Пределы. Непрерывность»
|
1. Найти пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
lim |
3x2 |
+ 8x −7 |
|
; б) |
lim |
10x2 + 7x + 8 |
; в) lim |
4x3 + 7x + 8 |
; г) |
|
lim |
6x |
+ 3 |
. |
|||||
|
+ 5x2 − 4 |
5x − 4x2 +13 |
14x2 +9 |
|
|
+ 4 |
||||||||||||||
|
x→∞ 2x3 |
|
x→∞ |
x→∞ |
|
x→∞ 7x |
|
|||||||||||||
|
Ответ: а) 0; б) - |
5 ; в) ∞; г) 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти пределы: а) lim |
3x2 −8x + 4 |
; б) lim |
x2 |
− 2x +1 |
; в) |
lim |
|
x2 −1 |
. |
|
|||||||||
|
x2 − 4 |
|
x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
x→1 |
|
|
x→−1 x2 − x − 2 |
|
|
|||||||
Ответ: а) 1; б) 0; в) 32 .
3. Найти пределы:
а) lim |
|
|
|
2x +1 −3 |
; б) |
lim |
|
|
14 − x |
− 4 |
; |
|
в) |
lim |
|
|
2x + 4 |
− 2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
− |
x |
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
( |
|
|
) |
|
|
|
|
|
||||||
|
x→4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: а) |
1 ; б) |
3 |
; в) |
− 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти пределы: а) |
lim sin3x ; б) |
lim |
|
tg4x |
; в) |
lim 1−cos4x |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г) lim arcsin5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
5x |
|
|
|
|
x→0 sin2x |
|
|
x→0 |
x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
; д) |
lim |
|
|
sin5x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→0 |
|
tg3x |
|
|
|
x→0 arctg8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. Найти |
|
пределы: |
|
а) |
|
|
|
lim |
2x + |
1 x |
; |
|
б) |
|
lim |
4x |
+ 2 |
3x−1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
2 |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ 2x −5 |
|
|
|||||||||||||
lim |
|
− |
5 |
x |
|
lim |
2x |
+1 3x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
x |
|
; г) |
|
2x |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
x→∞ |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ответ: а) 0; |
б) +∞; |
|
|
в) e−10 ; г) e6 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6. Исследовать |
|
на |
|
|
|
непрерывность |
|
и |
построить |
график |
|
|
функции |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, x < 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x)= |
|
|
|
|
|
|
|
≤ x |
≤ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos x, 0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
, x > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
32
а)
г)
ж)
а)
в)
Задания для аудиторного занятия «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»
1. Найти производные функций:
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; б) y = sin(3x −8); в) y = tg(5x2 + 6x); |
|||||||||||
y = 3x2 − |
+ 7 |
x3 − 4 |
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 x5 |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
ln(1+ |
|
); е) |
y = arctg 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
y = e−cos x ; д) y = sin(1− 2x) |
|
cos2 7x ; |
||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+ 2x2 ) |
|
x |
|
|
|
|
|||
y = arcsin(1− x) |
|
|
|
|
|
y = |
; и) y = |
ctg |
(5x + |
4) |
. |
|||||||||||||
1− 4x2 ; з) |
||||||||||||||||||||||||
1− x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− 4x |
|||||||
2. Найти y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2xy3 − 4x = 7 ; б) 3x2y2 + |
y |
|
−5x = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
cos(x − 2y)+ xy3 = 5 ; г) |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
xy2 − sin(x + y)−5y = 0. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
3. |
Найти y′′ |
б) y = x2e7x ; в) y = sin(3x2 + 8); г) y = (x +1)cos4x . |
||||
а) y = e1−4x ; |
||||||
4. |
Найти дифференциал dy, если |
1− x2 |
|
|||
|
; б) y = x2 ln(1−5x); в) y = |
. |
||||
а) y = |
1− 4x |
|||||
|
||||||
|
|
|
|
cos3x |
||
5.Найти дифференциал второго порядка функции а) y = e−x2 ; б) y = sin2 2x .
6.Найти пределы по правилу Лопиталя
а) lim |
7x2 |
+ 8x |
; б) lim |
cos3x −1 |
; в) |
lim |
|
|
arctgx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→∞13x2 − 4x |
|
x→0 |
|
x→0 arcsin4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. Провести полное исследование функции и построить ее график |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
а) y = e2x−x2 ; б) |
|
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: а) y |
|
(1)= e, точки перегиба M |
2 − 2 |
|
|
|
, M |
2 + 2 |
|
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
max |
|
; |
|
e |
|
; |
e |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) ymin (0)= 0 , ymax (4)= −8, асимптоты x = 2 ; y = −x − 2.
8. Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вы-
|
|
|
|
|
|
|
|
числить кривизну линии r = (t3 + t −1)i +(2t2 +3t + 2)j +(t2 +1)k в точке t0 = 0. |
|||||||
Ответ: |
x +1 |
= |
y − 2 |
= z −1 |
- уравнение касательной, |
x + 3y −5 = 0 - |
|
1 |
|
|
|||||
|
|
3 |
0 |
|
|
||
уравнение нормальной плоскости, K = 0,24 .
33
Задания для аудиторного занятия «Дифференциальное исчисление функций нескольких перемен-
ных»
1. Найти частные производные
а) z = 3x2y − y2 cos(3 − 4x); б) |
z = e1−3x |
2 |
y + |
tgx |
; |
|
|
||||
|
y |
|
|
||||||||
в) z = |
y2 |
− |
|
sin xy ; г) u = xyz3 . |
|
|
|
|
|
|
|
2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Найти частные производные второго порядка |
|
|
|
||||||||
а) z = e3x2 y2 ; б) z = (x + y)2 + |
3x ; в) z = ex−2y + arctg |
x |
. |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
y |
|
3. Найти полный дифференциал, если
а) z = sin(x2 + y2 ); б) z = ln(x2 + y2 ); в) u = xyz .
4. Найти d2z , если а) z = exy ; б) z = ex cos y .
5. Исследовать на экстремум функции
а) z = x3 + 3xy2 −15x −12y ; б) z = exy (x2 − 2y2 ).
Ответ: а) zmin (2;1)= −28 , zmax (−2;−1)= 28 ; б) zmax (−4;−2)= 8e−2 .
6. Табличные данные |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
19,1 |
25,0 |
30,1 |
36,0 |
40,0 |
45,1 |
50,0 |
|
y |
76,30 |
77,80 |
79,75 |
80,80 |
8,38 |
83,90 |
85,10 |
Отвечают формуле y = ax +b. Методом наименьших квадратов найти а и b.
34
Литература
1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. - M.:
Наука, 1985, т. I.
2.Жевняк Р. М., Карпук А. А. Высшая математика, ч.1-2, - Минск: ВШ,
1984-1988.
3.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - M.: Наука, 1985.
4.Сборник задач по математике для втузов (под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича). - M.: Наука, 1981, ч. I.
5.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике (под ред. А.П. Рябушко). – Минск: ВШ, 2000, ч. 1.
6.Гусак А.А. Высшая математика, т.1. - Минск: ВШ, 1988.
7.Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. – Минск:
ВШ, 1988.
35
Содержание |
|
Организационно-методические указания……………………………….. |
3 |
Контрольные вопросы курса “Высшая математика” ………………..… |
3 |
Контрольная работа №1………………………….………………………… |
5 |
Задание 1………………………………………………………………….. |
5 |
Задание 2………………………………………………………………….. |
6 |
Задание 3………………………………………………………………….. |
6 |
Задание 4………………………………………………………………….. |
1 |
Задание 5………………………………………………………………….. |
11 |
Задание 6………………………………………………………………….. |
13 |
Задание 7………………………………………………………………….. |
15 |
Задание 8………………………………………………………………….. |
15 |
Решение типового варианта контрольной работы №1……………….. |
17 |
Задание 1………………………………………………………………….. |
17 |
Задание 2………………………………………………………………….. |
19 |
Задание 3………………………………………………………………….. |
21 |
Задание 4………………………………………………………………….. |
22 |
Задание 5………………………………………………………………….. |
23 |
Задание 6………………………………………………………………….. |
25 |
Задание 7………………………………………………………………….. |
26 |
Задание 8………………………………………………………………….. |
26 |
Задания для аудиторного занятия «Определители. Матрицы. Сис- |
|
темы»……………………………………………………………………… |
28 |
Задания для аудиторного занятия «Векторы. Полярная система |
|
координат»……………………………………………………………………. 29
Задания для аудиторного занятия «Аналитическая геометрия на
плоскости и в пространстве»……………………………………………… 30
Задания для аудиторного занятия «Пределы. Непрерывность»…… |
31 |
Задания для аудиторного занятия «Дифференциальное исчисле- |
|
ние функций одной переменой»………………………………... |
32 |
Задания для аудиторного занятия «Дифференциальное исчисле- |
|
ние функций нескольких переменных»………………………... |
33 |
Литература…………………………………………………………………… |
34 |
36
Учебное издание
Составители:
Лизунова Ирина Владимировна, Мороз Людмила Трофимовна, Гладкий Иван Иванович
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Методические рекомендации и варианты контрольных работ по курсу “Высшая математика” для студентов технических специальностей заочной формы обучения
Ответственный за выпуск: Лизунова И.В. Редактор: Строкач Т.В.
Компьютерная верстка: Боровикова Е.А. Корректор: Никитчик Е.В.
_____________________________________________________________
Подписано к печати 02.09.2008 г. Формат 60х84 1/16. Бумага «Снегурочка». Усл. п. л. 2,1. Уч.-изд. л. 2,25. Заказ № 874. Тираж экз.
Отпечатано на ризографе Учреждения образования «Брестский государственный технический университет». 224017, г. Брест, ул. Московская, 267.