Lektsii_DU_prof_Gromak__chast_2

(t0; t1); x2(t ) = x2(t ) = 0 , то, поменяв местами x1(t) и x2(t) , мы нашли бы точку t3 2 (t ; t ) такую, что x1(t3) = 0 . Однако, это противоречит последовательности нулей t0; t1 решения x1(t) .

Рассмотрим вопрос сравнения колебательного характера решений двух различных уравнений. Заметим, что для уравнений

выполняется следующее свойство: между любыми двумя нулями произвольного решения (16.6) лежит хоть один нуль любого из уравнений (16.7), т.е. решения уравнения (16.7) колеблются сильнее, чем решения уравнения (16.6).

ки, где q1(t) < q2(t) , то между двумя последовательными нулями любого решения x(t) лежит, по крайней мере, один нуль произвольного решения y(t) .

Доказательство. Пусть t0; t1 - последовательные нули x(t) . Нужно доказать, что существует t 2 (t0; t1) , что y(t ) = 0 . Допустим противное, т. е. y(t) 6= 0; t 2 (t0; t1) . Без ограничения общности считаем x(t) > 0; y(t) > 0; t 2 (t0; t1) . При этом y(t0) > 0; y(t1) > 0 . Из (16.8) имеем

x00y xy00 = (q2(t) q1(t))xy

или

(x0y xy0)0 = (q2(t) q1(t))xy

Интегрируя это тождество по отрезку [t0; t1] имеем

Z t1

x0(t1)y(t1) x(t0)y0(t0) = (q2(t) q1(t))xydt (16.9)

t0

Левая часть (16.9) неположительна, а правая положительна.

Дадим оценку расстояния между последовательными нулями колеблющегося решения уравнения

где q(t) > 0 и непрерывна на [a; b]; q(t) 6= const . Пусть M и m (M > m > 0) наибольшее и наименьшее значение функции q(t) на [a; b] . Сравним осцилляционный характер решений уравнения (16.10) и уравнений

17 Линейные разностные (дискретные) уравнения.

Начнем с примера дискретного уравнения, описывающего динамику популяции при миграции

Pt+1 P (t) = aPt + b;

где Pt+1 P (t) - разность между величиной популяции в момент времени t + 1 и t , постоянная a - разность между средней скоростью рождения и средней скоростью смерти; b - скорость миграции в страну.

Определение 17.1. Разностным уравнением будем называть соотношение вида

где n - независимая дискретная переменная, принимающая значения от 0 до +1 и fyng1n=0 искомая дискретная функция. Решением будем называть последовательность fyng1n=0 , удовлетворяющую уравнению для всех n .

Пример 17.1. Уравнение

имеет решение yn = f2ng1n=0 .

Определение 17.2. Линейным разностным уравнением порядка k называется уравнение

Если g(n) = 0 , то уравнение называется однородным.

Теорема 17.1. Пусть Y0; Y1; : : : ; Yk 1 произвольные постоянные, и предположим a0(n)6=0 . Тогда существует единственное решение fyng1n=0 такое, что y0=Y0; y1=Y1; : : : ; yk 1=Yk 1 .

Множество решений образует линейное пространство размерности 2, fy2g и fzng линейно независимы, если

Теорема 17.2. Пусть fzng и fwkg два линейно независимых решения уравнения (17.4). Тогда

yn = C1fzng + C2fwng

определяет произвольное решение (17.4).

Пример 17.2. Уравнение

2yn+2 + 5yn+1 3yn = 0

имеет решения f2 ng1n=0 , f( 3)ng1n=0 . Найти решение, удовлетворяющее началь-

yn=fpng+C1fyng+C2fzng общее решение, если fyng и fzng линейно независимые решения однородного уравнения.

Рассмотрим линейное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Будем искать решение уравнения (17.5) в виде y = rn . Тогда для определения r имеем уравнение

rn+2 + a1rn+1 + a0rn = rn(r2 + a1r + a0) = 0

Теорема 17.4. Пусть r1 и r2 - корни определяющего уравнения

r2 + a1r + a0 = 0:

а) если r1; r2 вещественные различные, то имеем два линейно независимых решения

и

yn = C1fr1ng + C2fr2ng

общее решение.

б) если r1 = r2 = r одинаковые, то

yn = C1frng + C2fnrng

в) если r1 = ei'; r2 = e i' , то

yn = C1f n cos n'g + C2f n sin n'g

Пример 17.3. Решить уравнение

yn+2 + 6yn+1 + 9yn = 0

Решение.

r2 + 6r + 9 = 0

r1 = r2 = 3

yn = C1f( 3)ng + C2fn( 3)ng

yn+2 + 2yn+1 + 5yn = 0; n = 0; 1; : : :

Решение.

Глава 2

Линейные системы дифференциальных уравнений

18Линейные дифференциальные системы. Общие понятия и определения

Линейной системой дифференциальных уравнений в нормальной форме порядка n назовем систему вида

и вектор-функцию q(t) = colon(q1(t); :::; qn(t)) , то систему (18.1) можно записать в виде одного уравнения

где x(t) = colon(x1(t); : : : ; xn(t)) - искомая вектор-функция.

Определение 18.1. Решением системы (18.2) называется функция '(t) : (a; b) ! Cn , если для всех t 2 (a; b) '(t) = P (t)'(t) + q(t) .

Задачу Коши для системы (18.2) определяем как

(

x0 = P (t)x + q(t)

(18.3)

x(t0) = x0;

где t0 2 (a; b); 8x0 2 Cn . Из теоремы Пикара сразу следует, что решение задачи Коши (18.3) существует, единственно и продолжимо на весь интервал (a; b) . Если q(t) 0 на (a; b) , то система (18.2) однородна.

19 Линейные однородные системы

где P (t) непрерывна (т.е. pij(t) непрерывны) и M(n;n) - множество постоянных n n - матриц. Заметим, что единственным решением задачи Коши

(

x = P (t)x x(t0) = 0

является нулевое решение x = 0 . Здесь x = colon(0; : : : ; 0) - нулевой вектор.

Теорема 19.1. Множество решений уравнения (19.1) образует комплексное векторное пространство.

умножения матриц.

Следствие 19.1. Если '1(t); : : : ; 'm(t) - решения (19.1), то функция

m

X

'(t) = Cj'j(t); 8Cj 2 C

j=1

также решение (19.1).

Определение 19.1. Вектор - функции

называют линейно независимыми на (a; b) (над полем комплексных чисел), если выполнение равенства

1'1(t) + : : : + m'm(t) = 0; j 2 C; 8t 2 (a; b)

влечет '1(t) = : : : = 'm(t) = 0 . В противном вектор - функции 19.2 линейно зависимые.

Из определения в случае линейной зависимости следует, что существует ненуле-

P

вой набор ( 1; : : : ; m); i 2 C; что выполняется тождество j'j(t) 0; t 2 (a; b) . Такой набор ( 1; : : : ; m) называют коэффициентами зависимости.

Если в наборе (19.2) фиксировать t , то получаем набор постоянных векторов. Очевидно, что если вектора (19.2) линейно зависимы, то и постоянные вектора, получаемые фиксированием t в (19.2), также зависимы с теми же коэффициентами зависимости. Очевидно, что обратное утверждение в общем случае неверно. Так, например,

при любом фиксированном t 2 R линейно зависимы, хотя вектор-функции '1(t) и '2(t) линейно независимы.

Теорема 19.2. Пусть '1(t); : : : ; 'm(t) : (a; b) ! Cn – решения уравнения (19.1). Пусть при некотором t0 2 (a; b) '1(t0); : : : ; 'm(t0) - линейно зависимые с коэффициентами зависимости ( 1; : : : ; m); i 2 C . Тогда '1(t); : : : ; 'n(t) линейно зависимые с теми же коэффициентами зависимости.

Доказательство. По условию существует ненулевой набор ( 10; : : : ; m0 ) 2 Cn , что

Теорема 19.3. Произвольные n линейно независимые решения уравнения (19.1) образуют базис пространства решений.

Доказательство. Пусть '1(t); : : : ; 'n(t) линейно независимые решения. Тогда при каждом t0 2 (a; b) векторы '1(t0); : : : ; 'n(t0) линейно независимые. Они образуют базис пространства Cn . Пусть (t) - решение (19.1). Тогда

(t0) = 1'1(t0) + : : : + n'n(t0):

В силу теоремы (19.2) решения (t); '1(t); : : : ; 'n(t) линейно зависимы с теми же коэффициентами зависимости.

Базис пространства решений называют также фундаментальной системой решений. В этом случае также функцию

x = C1'1(t) + : : : + Cn'n(t); 8Cj 2 C

называют общим решением уравнения (19.1).

Как и в случае вещественных линейных уравнений, в случае вещественной матрицы P (t) можно построить вещественный базис, так как комплекснозначное решение x(t) порождает два линейно независимых решения Re [x(t)]; Im [x(t)] .

20Матричное линейное дифференциальное уравнение. Фундаментальная матрица

(a; b)!Rn линейно независимые решения, где 'j(t) = colon('1j(t); '2j(t); : : : ; 'nj(t)) . Рассмотрим матрицу

Она невырождена в любой точке t 2 (a; b) в силу линейной независимости столбцов. Следовательно,

W (t) := det (t)

не обращаются в нуль для 8t 2 (a; b) .

Определение 20.1. Матрицу (t) называют фундаментальной для системы (20.1), а определитель W (t) называют вронскианом.

Теорема 20.1. Пусть '1(t); : : : ; 'n(t) - решения, тогда следующие утверждения эквивалентны :

1. W (t) = W ['1(t); : : : ; 'n(t)] = det (t) = 0 при 8t 2 (a; b)

2.W (t) = 0 при некотором t 2 (a; b)

3.'1(t); : : : ; 'n(t) линейно зависимы.

Доказательство. Утверждение 1 ) 2 очевидно. Импликация 2 ) 3 справедлива в силу теоремы 19.2. Импликация 3 ) 1 очевидна.

есть общее решение (20.1).

Очевидно, что матрица (t) не единственная фундаментальная матрица. Фундаментальная матрица, обладающая свойством (t0) = E , называется нормированной в точке t0 (или матрициантом). Если e(t) - нормированная в t0 фундаментальная матрица, то задача Коши

где P (t) : (a; b) ! Mn;n; X(t) - искомая n m - матрица.

Определение 20.2. Дифференцируемая матричная функция

(t) : (a; b) ! Mn;m

называется решением уравнения (20.5), если при всех t 2 (a; b) .

_ (t) = P (t) (t)

Теорема 20.2. Матричная функция (t) = ('1(t); : : : ; 'm(t)) является решением уравнения (20.5) тогда и только тогда, когда вектор - столбцы '1(t); : : : ; 'm(t) : (a; b) ! Rn являются решениями векторной системы (20.1).

Доказательство. Так как P (t) (t) = (P (t)'1(t); : : : ; P (t)'n(t)) , то

_ (t) = P (t) (t) , 'j(t) = P (t)'j(t); j = 1; n:

Теорема 20.2 устанавливает соотношение между решениями векторной системы (20.1) и матричного уравнения (20.5). В частности, если (t) - невырожденное решение (т.е. det (t) 6= 0 для некоторого t 2 (a; b) ), то (t) - фундаментальная матрица системы (20.1). Эту же матрицу будем называть фундаментальной для уравнения (20.5).

Теорема 20.3. Пусть (t) - фундаментальная матрица уравнения (20.5). Тогда 1. Для любой постоянной матрицы C 2 Mn;m функция (t)C - решение.

2. Если (t) : (a; b) ! Mn;m - решение, то существует постоянная матрица C 2 Mn;m , что (t)= (t)C . Если (t) - фундаментальная, то C - неособая.

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения матриц имеем dtd ( (t)C) = _ (t)C + (t)C_ = _ (t)C:

Но _ (t) = P (t) (t) . Следовательно,

dtd ( (t)C) = (P (t) (t)) C = P (t) ( (t)C) ;

что доказывает первое утверждение.

Для доказательства второго утверждения положим

C(t) := 1(t) (t):

Тогда (t) = (t)C(t) . Покажем, что C(t) – постоянная матрица. Действительно, дифференцируя последнее соотношение по t , имеем

_ (t) = P (t) (t) = _ (t)C(t) + (t)C_ (t) =

= P (t) (t)C(t) + (t)C_ (t):

Откуда (t)C_ (t) = 0 . Умножая последнее тождество на 1(t) , имеем C_ (t) = 0 .

21 Формула Лиувилля

Пусть (t) - фундаментальная матрица линейной системы

В этом случае (t) - невырожденное решение матричного дифференциального уравнения

X_ = P (t)X; X(t) : (a:b) ! Mn;n:

n

Следовательно, _ ij(t) = P Pik(t) kj:

k=1

Вычислим производную по t вронскиана

W (t) = det (t):