Введение

чение вектора Пойнтинга можно получить как вещественную часть вектора П = E × H / 2 , который называется комплексным вектором

Пойнтинга, т.е. Пср = ReП . Подобным образом находится выражение

для среднего значения плотности энергии поля w. В случае среды без потерь w = (εа E2 +μа H 2 )/ 2 .

а также

wсрэ = εа EE / 4, wсрм = μа HH / 4,

где wcэр - среднее значение плотности энергии электрического поля; wcмр - среднее значение плотности энергии магнитного поля. Интеграл от wcр по некоторой области V дает среднюю энергию гармонически

колеблющегося поля.

Для плотности мощности, определяемой как, ρ = jE, среднее значение

есть ρср = Re (jE / 2)= Re (j E / 2). Обычно величину ρ = j E / 2 называют плотностью комплексной мощности, причем ρср = Reρ . Комплексная

мощность P есть интеграл по объему V от ρ .

После введения Пср , wср , ρср анализ равенств (В.64), (В.65) не

представляет труда. В выражении (В.64) слева мы имеем среднее значение потока энергии Pcир , проходящего через ограничивающую объем

V замкнутую поверхность S. Второе слагаемое справа выражает среднюю мощность источника Pcстр . Таким образом,

Полученное равенство характеризует средний баланс энергии при гармонических колебаниях поля. Действительно, если проницаемости вещественны (ε′а′ = 0, μ′а′ = 0), то, как видно из (B.67), Pсри = −Pсрст , т.е. мощность источников, расположенных внутри V (Pсрст 0), расходуется

на излучение во внешнее пространство.

Рассмотрим теперь другое состояние. Пусть область V энергетически изолирована ( Пср = 0 на S). Равенство (B.67) приобретает вид

потерь в V и смысл (В.68) очевиден: мощность источников расходуется внутри области V. В частном, широко распространенном случае,

когда μ′а′ = 0 и ε′а′ = σ/ ω, Pсрп = 12 V∫σE Edυ.

Итак, равенство (В.64) есть не что иное, как уравнение среднего баланса энергии при гармонических колебаниях.

При εа′′ 0 и μ′а′ 0 вместо поглощения должна происходить реге-

нерация (восстановление) или генерация энергии поля в результате каких-то процессов в среде, связанных с преобразованием неэлектромагнитной энергии. Такие регенеративные среды анализируются, например, в теории параметрических или квантовых генераторов и уси-

S

Выражение слева характеризует реактивный поток энергии, а величина Im Pст = Pr - реактивную мощность источника. Уравнение (B.69) является уравнением баланса реактивной мощности. Мнимая часть потока комплексного вектора Пойнтинга представляет собой реактивный поток энергии через поверхность S. Нетрудно показать, что реактивный поток энергии изменяется со временем по гармоническому закону с частотой 2ω. Это означает, что в течение первого полупериода колебаний он имеет положительное значение (энергия поступает из V в окружающее пространство), а в течение второго - отрицательное (энергия поступает из окружающего пространства в V). Среднее за период значение реактивного потока энергии равно нулю. Таким образом, из (B.69) следует, что разность между реактивной мощностью сторонних источников и потоком энергии через охватывающую этот объем поверхность S равна умноженной на удвоенную частоту разности между средними значениями энергии электрического и магнитного полей.

Предположим, что объем V представляет собой изолированную

систему. Тогда поток комплексного вектора Пойнтинга через поверхность S будет равен нулю, а, значитPr = 2ω(Wсрэ −Wсрм ). В таком случае в объеме V энергия электрического поля будет периодически преобразовываться в энергию магнитного поля и обратно. Если средние за период значения энергии электрического и магнитного полей равны (Wсрэ =Wсрм ), то данный процесс протекает без участия источников и

Pr = 0. Если же Wсрэ ≠ Wcмр , то периодическое преобразование энергии

из электрической в магнитную и обратно возможно только при участии источников. При этом Pr ≠ 0. Если при некоторой частоте ω Pr = 0 , то говорят, что имеет место резонанс и, следовательно, для него необходимо выполнение условия Wсрэ =Wcмр .

Отношение

где Wср =Wсрэ +Wсрм , называют добротностью изолированной системы.

риод.

Таким образом, добротность изолированной системы это увеличенное в 2π раз отношение запаса энергии системы к энергии, расходуемой за период.

§ В.6. Энергия поля в среде с дисперсией

Рассмотренные в § В.5 энергетические соотношения относятся лишь к строго монохроматическим процессам. При распространении же группы волн в среде с дисперсией условия распространения различных частотных составляющих оказываются неодинаковыми. Определение изменения, которому подвергается немонохроматический волновой процесс в такой среде, связано с изучением энергетических соотношений, характеризующих взаимодействие среды и частотных компонент сложного волнового процесса.

Заметим, что с электромагнитным волновым процессом связан перенос энергии из одних областей пространства в другие. Однако формула

для плотности потока энергии остается справедливой в любых переменных электромагнитных полях, в том числе и при наличии дисперсии. Это вытекает из таких соображений: ввиду непрерывности тан-

генциальных составляющих E и H формула (В.71) однозначно следует из условия непрерывности нормальной составляющей П на границе раздела сред и из того, что она справедлива в вакууме.

Изменение энергии в единице объема в единицу времени [4] - div П = E rot H - H rot E . Используя уравнение Максвелла для среды с σ = 0 и при отсутствии сторонних токов, получаем известное выражение для дивергенции вектора Пойнтинга:

В отсутствие дисперсии, когда εа и μа действительны и не зависят от частоты,

E ∂∂Dt + H ∂∂Bt = 12 ∂∂t (εа E2 +μа H 2 ).

Величина ω = (εа E2 +μа H 2 )/ 2 как отмечалось ранее, представляет со-

бой плотность электромагнитной энергии в среде. При наличии дисперсии энергетические соотношения имеют более сложный вид. (Энергетические соотношения для монохроматических полей были получены в § В.5. Показано, что поглощение энергии характеризуется мнимыми частями ~εа и μ~а . Для определения плотности электромаг-

нитной энергии в диспергирующей среде проанализируем немонохроматический процесс, ограничившись случаем, когда ε′а′ , μ′а′ очень

малы по сравнению с ε′а , μ′а и ими можно пренебречь. Области час-

тот, для которых выполняется это условие, называются областями прозрачности.

Итак, рассмотрим поле, представляющее собой совокупность монохроматических компонент с частотами в узком интервале вокруг некоторого среднего значения ω0.

Векторы E (t) , D (t) такого поля можно записать в виде

Амплитуды E0 (t),D0 (t) - медленно меняющиеся функции времени:

E0 (t)= E0αeiαt , D0 (t)= D0αeiαt , где α ϖ0 . Аналогичный (В.73) вид име-

ют H (t) , B (t).

Используя подобное представление полей и проведя усреднение

Рассмотрим производную ∂D / ∂t и выясним, к какому результату приводит дифференцирование по времени:

и есть величина электромагнитной энергии в единице объема диспергирующей прозрачной среды.

В случае εа = const и μа = const выражение (В.77) переходит в (В.66). Поскольку средняя энергия поля в единице объема положи-

Подчеркнем в заключение, что выражение (В.77) получено в первом приближении по частотам α на основании разложения (В.75). По-

Сравнение (В.78) и (В.83) дает основание трактовать групповую скорость как скорость движения энергии. Такой смысл сохраняется в случае монохроматических процессов, поскольку по формуле (В.78) поток энергии, переносимый плоской волной в направлении своего распространения, можно рассматривать как результат движения объемной плотности энергии со скоростью . И в более общем случае для квазимонохроматической волны, распространяющейся в диспергирующей среде, можно определить скорость движения энергии из (В.78): υэ = υгр = Пcр /wср, если известно wср. Смысл скорости υгр в этом случае выясняем следующим образом. Представим сигнал в виде длинного импульса произвольной формы: при соответствующей «растянутости» данного импульса во времени и пространстве он имеет достаточно узкий спектр. Вводим координату центра энергии этого, сигнала

zc = ∞∫zwcрdz / ∞∫wcрdz,

−∞ −∞

считая, что плотность энергии убывает так быстро при z → ±∞, что интегралы сходятся. Можно показать [З], что

т.е. центр энергии сигнала движется со скоростью υгр. Подобный результат является совершенно естественным, поскольку в среде с дисперсией сигнал (его огибающая) перемещается как целое со скоростью υгр, а поэтому с той же скоростью движется и его центр энергии. Фактически соотношение (В.84) показывает, что даже после заметного искажения формы сигнала его центр энергии продолжает двигаться со скоростью υгр.