Metoditchka_Vyshka_ch2
.pdf
21
sinα cos β = 12 (sin (α − β )+sin (α + β )).
в) Интегралы вида
∫R(sin x,cos x)dx ,
где R(u,v) – рациональная функция двух переменных, приводятся к интегра-
лам от рациональной функции нового аргумента t подстановкой tg 2x =t . При этом используются формулы
sin x = |
|
|
2t |
, cos x = |
1−t2 |
, dx = |
2dt |
. |
|
1 |
+t2 |
1 +t2 |
1+t2 |
||||||
|
|
|
|
||||||
Если под интегралом sin x и cos x содержатся только в чётных степенях, то удобнее использовать подстановку tg x = t .
г) Интегрирование гиперболических функций производится аналогично интегрированию тригонометрических функций, причём используются следующие формулы:
ch2 x −sh2 x =1, sh x ch x = 12 sh 2x ,
ch2 x = 12 (ch 2x +1), sh2 x = 12 (ch 2x −1),
1− th2 x = ch12 x , cth2 x −1 = sh12 x .
3. Интегрирование некоторых иррациональных функций. а) Интегра-
лы вида
∫R
|
m1 |
|
m2 |
ax +b n1 |
ax +b n2 |
||
x, |
|
, |
|
cx + d |
cx + d |
||
,... dx ,
22
где R(x, y, z,...) – рациональная функция своих аргументов, m1 , n1 , m2 , n2 – це-
лые числа, вычисляются с помощью подстановки cxax++db = ts , где s – общий
знаменатель дробей m1 , m2 , … n1 n2
б) Вычисление интегралов вида
∫R(x, ax2 +bx + c )dx ,
где R – рациональная функция двух аргументов, производится с помощью тригонометрических подстановок следующим образом. Выделением полного квад-
рата в квадратном трёхчлене и последующей заменой переменной u = x + 2ba
исходный интеграл приводится к одному из следующих трёх типов:
1)∫R(u, l2 −u2 )du ,
2)∫R(u, l2 +u2 )du ,
3)∫R(u, u2 −l2 )du .
Последние интегралы тригонометрической или гиперболической подстановкой соответственно
1)u =l sin t или u = l th t ,
2)u = l tg t или u = l sh t ,
3)u =l sec t или u =l ch t
приводятся к интегралам вида ∫R(sin t,cost )dt или ∫R(sh t,ch t )dt . При вычислении интегралов вида
∫ |
mx + n |
ax2 +bx +c dx |
следует предварительно выделить в числителе производную квадратного трёхчлена.
Интегралы вида
|
∫ |
dx |
( r |
=1,2 ) |
|
(mx + n)r ax2 +bx + c |
|||
сводятся к рассмотренным выше интегралам |
с помощью подстановки |
|||
mx + n = |
1 . |
|
|
|
|
t |
|
|
|
23
§ 24. Определённый интеграл и методы его вычисления
1. Определённый интеграл как предел интегральной суммы. Если функция f (x) определена на отрезке a ≤ x ≤b и a = x0 < x1 <... < xn−1 < xn = b – произвольное разбиение этого отрезка на n частей, то интегральной суммой функции f (x) на [a,b] называется сумма вида
n
Sn = ∑ f (ξk ) xk ,
k=1
где xk −1 ≤ξk ≤ xk , xk = xk − xk−1 , k =1,2,...,n . Геометрически Sn есть алгебраиче-
ская сумма площадей прямоугольников, |
имеющих основания xk и высоты |
f (ξk ). |
|
Если определённая на отрезке [a,b] |
функция такова, что существует ко- |
нечный предел последовательности интегральных сумм Sn при условии, что наибольшая из разностей xk стремится к нулю, причём этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на отрезки [xk−1, xk ], ни от выбора точек ξk на этих отрезках, то функция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], а сам предел называется определённым интегралом от функции f (x) в
пределах от a до b и обозначается символом ∫b f (x)dx . Таким образом,
∫b f (x)dx =
a
a
n
lim→ ∑ f (ξk ) xk . (5)
max xk 0 k =1
Непрерывная на отрезке [a,b] функция f (x) интегрируема на этом от-
резке.
Геометрически определённый интеграл (5) представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции y = f (x),
осью Ox и прямыми x = a и x = b , причём площади, расположенные выше оси Ox , входят в эту сумму со знаком плюс, а площади, расположенные ниже оси Ox , – со знаком минус.
2. Вычисление простейших интегралов с помощью формулы Ньюто-
на-Лейбница. Если F (x) – одна из первообразных непрерывной на отрезке [a,b] функции f (x), то справедлива следующая формула НьютонаЛейбница:
24
b
∫ f (x)dx = F (x)ba = F (b)− F (a).
a
3. Свойства определённого интеграла.
1) Если |
f (x)≥ 0 на отрезке [a,b], то∫b |
f (x)dx ≥ 0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
2) Если |
f (x)≤ g (x) на [a,b], то |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∫b |
f (x)dx ≤∫b g (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
3) ∫b |
f (x)dx ≤ ∫b |
|
f (x) |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
aa
4)Если f (x) непрерывна на [a,b], m – наименьшее, M – наибольшее
значения f (x) на [a,b], то
m(b −a)≤ ∫b f (x)dx ≤ M (b −a)
a
(теорема об оценке определённого интеграла).
5) Если f (x) непрерывна, а g (x) интегрируема на [a,b], g (x)≥ 0 , m и M – наименьшее и наибольшее значения f (x) на [a,b], то
m∫b g (x)dx ≤ ∫b f (x)g (x)dx ≤ M ∫b g (x)dx
a |
a |
a |
(обобщённая теорема об оценке определённого интеграла). 6) Если f (x) непрерывна на [a,b], то существует такая точка c (a,b),
что справедливо равенство
∫b f (x)dx = f (c)(b − a)
a
(теорема о среднем значении). Число
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
f (c)= |
1 |
|
∫b |
f (x)dx |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
b − a a |
|
||
называется средним значением функции |
f (x) на отрезке [a,b]. |
|||||||||
7) Если |
f (x) непрерывна, а g (x) |
|
интегрируема на [a,b] и g (x)≥ 0 , то |
|||||||
существует такая точка c (a,b), что справедливо равенство |
||||||||||
|
|
|
∫b |
f (x)g (x)dx = f (c)∫b g (x)dx |
||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
(обобщённая теорема о среднем). |
|
|||||||||
8) Если |
f 2 (x) и g2 (x) интегрируемы на [a,b], то |
|||||||||
|
|
∫b |
f (x)g (x)dx |
|
≤ ∫b |
f 2 (x)dx∫b g2 (x)dx |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
a |
(неравенство КошиБуняковского).
9) Интегрирование чётных и нечётных функций в симметричных
пределах. Если функция f (x) чётная, то ∫a |
f (x)dx = 2∫a |
f (x)dx . Если функция |
−a |
0 |
|
f (x) нечётная, то ∫a f (x)dx = 0 .
−a
10)Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то интеграл с пере-
менным верхним пределом
Φ(x)= ∫x f (t )dt
a
является первообразной для функции f (x), т. е.
Φ′(x)= |
∫x |
f (t )dt ′ = f (x), x [a,b]. |
|
a |
|
|
|
11) Если функции ϕ(x) |
|
и ψ (x) дифференцируемы в точке x (a,b) и |
|
f (t ) непрерывна при ϕ(a)≤t ≤ϕ(b), то
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
ψ (x) |
( ) |
′ |
( ( )) |
|
( ) |
|
( ( )) |
|
( ) |
|
∫ |
|
′ |
|
′ |
|||||
|
|
f t dt = f ψ x ψ |
x |
− f |
ϕ x ϕ |
x . |
||||
|
|
|
||||||||
ϕ(x) |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Замена переменной в определённом интеграле. Если функция f (x)
непрерывна на отрезке [a,b], а функция x =ϕ(t ) непрерывно дифференцируема на отрезке [t1,t2 ], причём a =ϕ(t1 ), b =ϕ(t2 ), то
∫b f (x)dx = t∫2 f (ϕ(t ))ϕ′(t )dt .
at1
5.Интегрирование по частям. Если функции u =u(x), v = v(x) и их производные u′(x) и v′(x) непрерывны на отрезке [a,b], то
b b
∫udv = uv ba − ∫vdu
a a
(формула интегрирования по частям).
§ 25. Несобственные интегралы
1. Интегралы с бесконечными пределами. Если функция f (x) непре-
рывна при a ≤ x < +∞, то по определению
+∞∫ |
f (x)dx = limb→∞ |
∫b |
f (x)dx . |
(6) |
a |
|
a |
|
|
Если существует конечный предел в правой части формулы (6), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то
– расходящимся.
Геометрически несобственный интеграл (6) в случае f (x)> 0 есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f (x), прямой x = a и осью Ox (асимптотой).
Аналогично определяется интеграл ∫b f (x)dx . Далее, по определению
|
|
−∞ |
|
+∞∫ |
f (x)dx = ∫c |
f (x)dx + +∞∫ f (x)dx , |
(7) |
−∞ |
−∞ |
c |
|
27
где c , −∞ < c < +∞, – произвольно, причём интеграл в левой части равенства (7) считается сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части.
Признаки сходимости и расходимости приведём только для интегралов вида (6).
Если F (x) – первообразная для f (x) и существует конечный предел
lim F (x) = F (+∞), то интеграл (6) сходится и равен
x→+∞
+∞∫ f (x)dx = F (+∞)− F (a);
a
если же lim F (x) не существует, то интеграл (6) расходится.
x→+∞
2) Пусть при a ≤ x < +∞ 0 ≤ f (x)≤ g (x). Если |
+∞∫ g (x)dx сходится, то |
|
a |
сходится и +∞∫ f (x)dx , причём +∞∫ |
f (x)dx ≤ +∞∫ g (x)dx . Если |
+∞∫ f (x)dx расходит- |
|||
|
|
a |
a |
a |
a |
ся, то расходится и +∞∫ g (x)dx (признаки сравнения). |
|
||||
|
|
a |
f (x)> 0 , g (x) > 0 и существует конечный предел |
||
|
3) Если при a ≤ x < +∞ |
||||
lim |
f (x) |
≠ 0 , то интегралы |
+∞ f (x)dx и +∞ g (x)dx сходятся или расходятся од- |
||
|
|||||
x→+∞ |
g (x) |
a |
a |
|
|
|
|
∫ |
∫ |
|
|
новременно (предельный признак сравнения).
4) Если сходится |
+∞∫ |
|
f (x) |
|
dx , то сходится и |
+∞∫ f (x)dx (последний инте- |
|
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
a |
грал называется в этом случае абсолютно сходящимся).
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравнение, обычно используются интегралы вида
|
+∞ |
|
|
∫a dxxα , a > 0, α > 0, |
|
которые сходятся при α >1 и расходятся при α ≤1. |
f (x) не- |
|
2. Интегралы от неограниченных функций. Если функция |
||
прерывна при a ≤ x <b и lim |
f (x)=∞, то по определению |
|
x→b−0 |
|
|
b |
b−γ |
|
∫ f (x)dx = γlim→+0 ∫ f (x)dx . |
(8) |
|
a |
a |
|
28
Если существует конечный предел в правой части формулы (8), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то
– расходящимся. |
|
|
|
|
Геометрически несобственный интеграл (8) в случае f (x)> 0 есть пло- |
||||
щадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f (x), прямой x = a |
и вер- |
|||
тикальной асимптотой x = b . |
|
|
|
|
Аналогично определяется |
несобственный |
интеграл в |
случае |
|
lim f (x)= ∞. |
|
|
|
|
x→a+0 |
– точка разрыва и функция f (x) неограничена в |
|||
В случае, когда c (a,b) |
||||
любой окрестности точки c , |
|
|
|
|
b |
c−γ1 |
b |
|
|
∫ f (x)dx = γlim1→+0 ∫ |
f (x)dx +γlim2 →+0 ∫ |
f (x)dx . |
|
|
a |
a |
c+γ2 |
|
|
Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов от неограниченных функций аналогичны признакам из п. 1.
На практике в качестве интеграла, с которым производится сравнение, обычно используются интегралы вида
b b
dx dx
∫a (x − a)α , ∫a (b − x)α (α > 0),
которые сходятся при α <1 и расходятся при α ≥1 (сравните с аналогичными интегралами в случае бесконечных пределов интегрирования).
§ 26. Геометрические приложения определённого интеграла
1. Площадь плоской фигуры. Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции y = f (x) ( f (x)≥ 0 ), двумя прямыми x = a и x =b и
осью Ox , или площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой графика функции y = f (x), a ≤ x ≤b , вычисляется по формуле
|
|
|
S = ∫b |
f (x)dx . |
(9) |
|
|
|
a |
|
|
Площадь фигуры, ограниченной графиками |
непрерывных функций |
||||
y = f1 (x) |
и y = f2 |
(x), f1 |
(x)≤ f2 (x), и двумя прямыми x = a , x = b , определяет- |
||
ся по формуле
29 |
|
S = ∫b (f2 (x)− f1 (x))dx . |
(10) |
a |
|
Иногда удобно использовать формулы, аналогичные (9) и (10), но по переменной y (считая x функцией от y ), в частности,
S = ∫d (f2 (y)− f1 (y))dy .
c
Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x = x(t ), y = y(t ), прямыми x = a , x = b и осью Ox , то площадь её вычисляется
по формуле
t2 |
t2 |
|
S = ∫y(t )x′(t )dt = ∫y(t )dx(t ), |
(11) |
|
t1 |
t1 |
|
где пределы интегрирования |
находятся из уравнений |
a = x(t1 ), b = x(t2 ) |
( y(t )≥ 0 на отрезке [t1,t2 ]). |
|
|
Формула (11) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от t1 до t2 должно соот-
ветствовать обходу контура по часовой стрелке).
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции r = r (ϕ) и двумя лучами ϕ =α и ϕ = β , где ϕ и r – полярные координаты, или
площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой графика функции r = r (ϕ), α ≤ϕ ≤ β , вычисляется по формуле
S = 1 ∫β r2dϕ . 2 α
2. Длина дуги кривой. Если гладкая кривая задана уравнением y = f (x), то длина l её дуги равна
l = ∫b |
1+(y′)2 dx , |
a |
|
где a и b – абсциссы концов дуги.
Если же кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t ), y = y(t ), (t1 ≤t ≤t2 ), то
|
30 |
t2 |
(xt′)2 +(yt′)2 dt . |
l = ∫ |
|
t1 |
|
Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t ), y = y(t ), z = z (t ), t1 ≤t ≤t2 :
t2 |
(xt′)2 +(yt′)2 +(zt′)2 dt . |
l = ∫ |
|
t1 |
|
Если задано полярное уравнение гладкой кривой r = r (ϕ), α ≤ϕ ≤ β , то
β
l = ∫ r2 +(r′)2 dϕ .
α
3. Площадь поверхности вращения. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой, заданной функцией y = f (x),
a ≤ x ≤b , вычисляется по формуле
Qx = 2π∫b f (x) 1+(f ′(x))2 dx .
a
Если дуга задана параметрическими уравнениями x = x(t ), y = y(t ), t1 ≤t ≤t2 , то
t2
Qx = 2π∫y(t ) (x′(t ))2 +(y′(t ))2 dt .
t1
Если дуга задана в полярных координатах r = r (ϕ), α ≤ϕ ≤ β , то
β
Qx = 2π∫r sinϕ r2 +(r′)2 dϕ .
α
Если дуга кривой вращается вокруг произвольной оси, то площадь поверхности вращения выражается интегралом
Q = 2π ∫B Rdl ,
A