Manzhosov2

Полная вариация и дифференцирование свойством коммутативности не обладают. Полная вариация функции q определяется выражением q q q t .

В приложениях к движению варьирование связано с рассмотрением движения механической системы по кривой, являющейся действительной траекторией механической системы в пространстве конфигураций, и по допустимым кривым или кривым сравнения.

Действительная траектория механической системы в пространстве конфигураций соответствует действительному движению механической системы под влиянием приложенных сил и заданных начальных условий.

Кривая сравнения соответствует движению, бесконечно близкому к действительному, допускаемому существующими связями.

Определим, например, синхронную вариацию кинетической энергии механической системы в некоторый момент времени t при перемещении ее по совокупности действительных траекторий ее точек и по кривым сравнения:

T TД TСР .

Кинетическая энергия определяется выражением

TT (q1 ,q2 ,...,qs ,q1 ,q2 ,...,qs ,t),

авариация кинетической энергии найдется по формуле

При действительном перемещении системы (по совокупности действительных траекторий ее точек) кинетическая энергия за время dt получает приращение dT.

Вариация кинетической энергии в связи с изменением характера движения δТ отличается от dT – изменения кинетической энергии – в связи с изменением времени в действительном движении.

Вариационный принцип Гамильтона–Остроградского

Общее уравнение динамики имеет вид

n Pi mi ai ri 0 , i 1

112

или

n Pi ri n mi ai ri 0 .

Здесь n Pi ri A – работа задаваемых сил на возможном перемещении системы, а

i 1

вектор возможного перемещения ri представляет собой синхронную вариацию радиусвектора ri .

Преобразуем скалярное произведение:

Ограничим произвольность выбора путей сравнения условием пересечения действительной траектории и кривой сравнения в момент времени t1 и t2, т. е. условием, чтобы при t = t1 и t = t2 (рис. 2.26)

ri (t1 ) ri (t 2 ) 0 .

Кривые сравнения должны выбираться из класса дважды дифференцируемых функций.

Интегрируя в пределах (t1, t2), получаем криволинейный Рис. 2.26 интеграл:

Так как по условию вариации радиус-вектора ri на границах равны нулю, то имеем

t2 T A dt 0.

t1

113

Это уравнение выражает принцип Гамильтона-Остроградского: действительное движение механической системы с голономными двусторонними идеальными связями отличается от всех иных возможных ее движений тем, что только для действительного движения выполняется предыдущее равенство.

В случае, если раздельно рассматривать работу задаваемых консервативных и неконсервативных сил, уравнение можно представить в следующем виде:

t2 T AP AF dt 0,

t1

где δАР – элементарная работа консервативных сил, а δАF – элементарная работа неконсервативных сил.

Так как δАР=–δП, имеем

t1t2 T П AF dt 0 .

Учитывая, что

T П T П L ,

где L – функция Лагранжа, выраженная в обобщенных координатах, получаем

t2 ( L AF )dt 0 .

t1

Для консервативной системывыражение принципа Гамильтона–Остроградского имеет вид t2 Ldt 0 .

t1

t2

Введем обозначение Ldt S ,

t1

где величина S называется действием по Гамильтону.

Размерность величины S есть работа, умноженная на время (единицы в системе МКС – кг · м2/с, в технической системе – кгс · м · с).

В общем случае, когда пределы t1 и t2 варьируются, по правилу варьирования интеграла по параметру находим

t2

S L (t1 ) t1 L (t2 ) t2 A F dt 0 .

t1

В том случае, если система находится только под действием консервативных сил и при этом концы временного интеграла t1 и t2 не варьируются, т. е. δt1 = δt2 = 0, уравнение принципа Гамильтона–Остроградского принимает вид

S 0 ,

114

или в развернутой форме

Поэтому принцип Гамильтона–Остроградского может быть сформулирован еще так: действительное движение консервативной механической системы таково, что вариация интеграла S при фиксированных значениях t1 и t2 равна нулю, или действительное движение консервативной системы в промежутке от t1 до t2 таково, что действие по Гамильтону имеет стационарное значение.

t2

S Ldt.

t1

Равенство S 0 является необходимым условием экстремума действия S. Из этого следует, что из всех возможных движений изображающей точки от ее положения в момент t1 до ее положения в момент t2 действительным является то движение, при котором интеграл имеет экстремум: максимум или минимум, или стационарное значение, отличное от экстремума.

Дифференциальное уравнение кривой, реализующей экстремум заданного криволинейного интеграла

Применение принципа Гамильтона–Остроградского к установлению действительного движения механической системы в промежутке времени от t1 до t2 связано с определением экстремума криволинейного интеграла:

t2

S Ldt .

t1

Найдем такую кривую у = у(х), которая на участке x1 x x2 реализует экстремум криволинейного интеграла:

x2

J f y, y , x dx ,

x1

где у' = dy/dx, а переменная х играет роль параметра t.

Для того чтобы использовать обычный аппарат дифференциального исчисления, рассмотрим однопараметрическое семейство кривых у(х), для которых y(x1) = y1 и у(х2) = у2 (рис. 2.27), а их уравнение имеет вид

у(х,α) = у(х, 0) + αη(x),

где η(х) – функция, обращающаяся в нуль при х = х1 и х = х2. Каждой кривой рассматриваемого семейства соответствует определенное значение параметра α, а значению α = 0 будут соответствовать кривые, реализующие экстремум

рассматриваемого интеграла.

Подставив значение у(х, α), получим следующий интеграл, являющийся функцией α:

Необходимое условие экстремума этого интеграла таково:

Производим дифференцирование под знаком интеграла:

Второй интеграл правой части можно представить в следующем виде:

Вычислим этот интеграл посредством интегрирования по частям:

Так как все кривые семейства у = у (х, α) проходят через точки (x1, y1) и (х2, у2), то имеем

Для определения кривой, реализующей экстремум интеграла, умножим полученное равенство на dα и положим α = 0:

В этом равенстве содержатся вариации следующих функций:

где δy – произвольная вариация функции у(х), получающаяся посредством варьирования произвольного параметра α около значения α = 0.

Подставим обозначения вариаций:

Так как δу является произвольной функцией х, то равенство может иметь место лишь в том случае, если

Из этого следует, что экстремум интеграла будет только для таких кривых у(х), которые удовлетворяют дифференциальному уравнению, называемому уравнением Эйлера (оно было опубликовано впервые в 1744 г.). Уравнение Эйлера при х = t и f = L совпадает с уравнением Лагранжа второго рода для консервативной системы с одной степенью свободы.

Интегральные кривые уравнения Эйлера у = у(х, С1, С2) называются экстремалями. Только на экстремалях может достигаться экстремум интеграла.

x2

J f y, y, x dx.

x1

Постоянные, входящие в общее решение дифференциального уравнения, определяются из условий на концах

y(x1 ) y1 , y(x2 ) y2 .

Вывод уравнения Лагранжа второго рода из принципа Гамильтона–Остроградского

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть получены из уравнений Эйлера и непосредственно на основе уравнения, выражающего принцип Гамильтона–Остроградского.

Вариация кинетической энергии δT в каждый момент времени t определяется выражением:

Подставим это выражение δT в уравнение, выражающее принцип Гамильтона– Остроградского:

Сделаем такое преобразование со всеми членами, содержащими q : 117

Равенство нулю подынтегральной функции должно иметь место при любых значениях вариации δqj, а потому необходимо, чтобы все коэффициенты при этих вариациях были равны нулю, т. е.

Полученные уравнения являются уравнениями Лагранжа второго рода и описывают экстремали для принципа Гамильтона–Остроградского.

Вывод канонических уравнений механики из принципа Гамильтона–Остроградского

Функция действия по Гамильтону имеет вид

Подставим в выражение функции действия по Гамильтону это значение L:

Основываясь на принципе Гамильтона–Остроградского, имеем

Вычислим синхронные вариации интегралов, учитывая, что в канонических уравнениях обобщенные скорости q j и обобщенные импульсы рj являются независимыми переменными,

Вариация второго интеграла определяется следующим выражением:

Так как вариации δpj и δqj могут иметь произвольные независимые значения, то этот интеграл равен нулютолько втом случае, есликоэффициенты при этих вариацияхравнынулю.

Из этого следует, что

Полученные уравнения являются каноническими уравнениями Гамильтона.

Принцип стационарного действия Мопертюи–Лагранжа

Этот принцип был установлен в 1744 г. Мопертюи, а его математическое обоснование было дано впоследствии Лагранжем.

Принцип стационарного действия устанавливает, что функция

W t 2Tdt ,

0

называемая действием по Лагранжу, в действительном движении голономной консервативной системы между двумя конфигурациями А и В имеет экстремум по сравнению со значениями этой функции для других кинематически возможных движений, совершаемых между теми же конфигурациями и с той же энергией.

Так как кинетическая энергия консервативной системы в общем случае зависит от скоростей точек системы и от ее положения, то время перехода системы из конфигурации А в В для различных кинематически возможных движений не одинаково. В связи с этим предел t в интеграле является переменным.

Для стационарности интеграла необходимо, чтобы его полная вариация была равна нулю, т. е.

t

W 2Tdt 0 .

0

Сравнение кинематических возможных движений консервативной системы между двумя конфигурациями А и В по принципу стационарного действия производится исходя из условия, чтобы эти движения совершались с одной и той же полной механической энергией h.

Так как при движении консервативной системы кинетическая энергия этой системы определяется выражением T = U + h, где h = Т + П, то

L = T + U = 2T – h. 119

Из этого следует, что для действительного движения действие по Лагранжу имеет стационарное значение.

Действие по Лагранжу

W - всегда положительная функция, ограниченная только снизу.

Так как при применении принципа Мопертюи–Лагранжа при переходе от одного пути к другому варьируются не только координаты и скорости точек системы, но и время, то в этом случае рассматривается полная вариация функции W.

Следует особо отметить, что при полной вариации время t варьируется и на концах траекторий механической системы в пространстве конфигураций (т. е. t ≠ 0 при t = tA и t = tB), но полные вариации обобщенных координат в конечных точках пучка траекторий равны нулю.

Для установления принципа стационарного действия использованы уравнения Лагранжа второго рода. Если же исходить из принципа стационарного действия, то на его основе можно установить все основные теоремы механики консервативных систем и получить дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа второго рода. Установим зависимость между действием по Гамильтону S и действием по Лагранжу W.

Возьмем выражение действия по Гамильтону для голономной консервативной системы между двумя конфигурациями A и В и положим, что конфигурация А соответствует моменту t = 0, а конфигурация В – моменту t, который при движении по возможным траекториям с постоянной энергией будет переменной величиной.

Тогда S t Ldt t T U dt.

0 0

Так как система консервативна, то Т = U + h.

Поэтому S t 2Tdt ht .

0

Так как Т + П = h = const, то S = W – ht.

Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу W и действием по Гамильтону S.

Сопоставим теперь принцип Мопертюи–Лагранжа с принципом Гамильтона– Остроградского. В принципе Мопертюи–Лагранжа сравниваются движения консервативной системы, совершаемые с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона– Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток времени.

Состояние покоя механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и безразличным. Состояние покоя механической системы называется устойчивым, если эта система, выведенная из положения покоя, будет совершать колебания около этого положения.

Состояние покоя механической системы называется неустойчивым, если при сколь угодно малом отклонении системы из положения покоя она удаляется от этого положения, и колебаний около этого положения не возникает.

120