principdalambera

При неподвижной точке A имеет место сферическое движение. Связав жестко с телом подвижную систему отсчета, можно записать:

KA = I A ω,

где I A – тензор инерции тела относительно точки A.

По формуле Бура (см. сложное движение точки), имеем:

системе отсчета, жестко связанной с телом. В этой системе I A = const , значит

если С – центр масс, поскольку движение относительно центра масс сферическое.

10

4. ПРИВЕДЕНИЕ СИЛ ИНЕРЦИИ ЧАСТИЦ ТВЕРДОГО ТЕЛА К ЦЕНТРУ

Любая система сил приведением к выбранному центру A может быть замена результирующей силой, равной главному вектору сил системы и результирующей парой, равной главному моменту сил системы относительно центра приведения.

Точно также можно привести к центру A и силы инерции частиц твердого

– главный момент сил инерции частиц твердого тела, если точка A неподвижная или является центром масс, (см. формулы 3.1 – 3.3).

Частные случаи приведения сил инерции к центру

а) Поступательное движение

За точку приведения берется центр масс тела. Вращение тела относительно центра масс отсутствует, следовательно mCΦ = 0 .

Итак:

{dΦ} ΦC ; ΦC = −M aC .

Рис 4.1

11

Аналогично получаем

m0Φ = τ(εJxz −ω2 J yz )+ j (εJ yz +ω2 Jxz )−k ε Jz .

13

Частные случаи вращения тела

1. Если тело вращается вокруг главной, нецентральной оси, то

Jxz = J yz = 0 .

m0Φ можем рассмотреть как алгебраическую величну:

{dΦ} (mOΦ ,ΦO ),

ΦO =ΦOn +ΦOτ ,mOΦ = −εJz .

2. Если тело вращается вокруг главной, центральной оси, то

ΦC = 0, {dΦ} (mOΦ ).

д) Плоское движение

Рассмотрим движение тела параллельно плоскости его материальной симметрии. За центр приведения возьмем центр масс.

Относительное движение – вращение вокруг главной центральной оси тела zc . Кинетический момент относи-

тельно этой оси можно рассматриваешь как величину алгебраическую

14

5 Определение динамических реакций опор.

При движении несвободного твёрдого тела принято реакции связей представлять в виде суммы двух составляющих – статической и динамической.

В общем случае по принципу Даламбера имеем

({Rk }n ; {Fke}n ,{dΦ}n ) 0 ,

Если представить, что

{Rk }n ({Rk ст}n +{Rk дин}n ),

то статическими составляющими будем называть те, которые зависят только от внешних заданных сил:

({Rk ст}n ,{Fke}m ) 0 .

Динамическими составляющими сил реакций связей будем называть те, которые зависят от движения тела и определяются силами инерции тела

({Rk дин}m ,{dΦ }) 0 .

В частности, для тела вращающегося тела в подшипнике вокруг неподвижной оси и закреплённого в подшипнике B и подпятнике A на этой оси будем иметь

Примем AB =h.

2)Заданные силы {Fk }n .

3)Связи: подшипник B , подпятник A.

15

Их реакции: X B ,YB ,X A ,YA ,ZA .

4)Введём в рассмотрение силы инерции тела

{dΦ} (ΦA ,LΦA ) (ΦA , LΦA ),

ΦA (ΦAx ,ΦAy ); ΦA = −MaC .

LΦ = ε I - ω2 I ;

Φ A x zx zy LAZ = −εIz ; LΦA y = ε Izy +ω2 Izx .

5) В соответствии с принципом Даламбера

({Fke}m ,X A ,YA ,ZA ,X B ,YB ,{dΦ}) 0 .

6) Составим уравнения равновесия для нахождения динамических составляющих реакций опор в соответствии с зависимостью

({Rдин},{d Φ}) 0;

∑Fx = X Aдин + X Bдин +ΦAx = 0 ;

∑Fy =YAдин +YBдин +ΦAx = 0 ;

∑Fz = ZAдин = 0 ;

∑mx F = −YBдин h +εJzx −ω2 Jzy = 0 ;

∑my F = X Bдин h +εJzy +ω2 Jzx = 0 .

Таким образом, для нахождения динамической составляющей будем иметь систему уравнений. Из этих уравнений видно, что при быстром вращении тела динамические составляющие могут достигать больших величин. Динамические составляющие обращаются в нуль, если ΦA = 0, Jzy = Jzx = 0 т.е. ось враще-

ния будет главной центральной осью инерции тела. Итак: Если ось вращения тела является главной центральной осью инерции тела, то реакции подшипников этой оси при движении не отличаются от статических. В этом случае говорят,

16

что ось вращения – свободная ось, а тело уравновешенно. В противном случае тело неуравновешенно.

Виды неуравновешенности

(RA ,RB ), RA = −RB

m(RA ,RB )= h RB = h yB2 + xB2 = (Jzx2 + Jzy2 )(ε2 +ωx ).

17

Динамические составляющие представляют собой параллельные силы. Такая неуравновешенность над статической неуравновешенностью. Её можно устранить путём статической балансировки.

В общем случае вращающееся неуравновешенное тело не уравновешенно ни статически, ни динамически. Силы инерции можно в общем случае привести к двум скрещивающимся силам и, соответственно, силы реакции – две скрещивающиеся силы. Устранить такую неуравновешенность можно с помощью статической и динамической балансировки.

Балансировка машин

Несбалансированный ротор вращающейся машины является источником переменных сил, действующих на элементы машины, в частности на ее подшипниковые опоры, и значительно сокращает ресурс машины. Процесс уменьшения этих сил носит название балансировки.

Балансировка осуществляется при помощи установки на вращающихся частях машины дополнительных (балансировочных) масс для создания инерционных сил, равных по величине и противоположных по направлению силам, вызванным несбалансированностью. При этом нет необходимости (да и возможности) устанавливать такие массы в каждом сечении ротора. Обычно предполагается, что ротор является твердым телом (так называемый жесткий ротор). В этом случае для компенсации влияния всех дисбалансов в нем достаточно двух балансировочных масс, установленных в разных сечениях ротора. Если машина состоит из нескольких жестких роторов, связанных между собой относительно гибкими валами, все вышесказанное относится к каждому из роторов.

Балансировка роторов машин обычно осуществляется при помощи специальных балансировочных станков. Однако при сборке ротора из отбалансированных частей, установке его в собственные опоры и стыковке его с остальными вращающимися частями машины возникают дополнительные источники дисбаланса. Они определяются:

•наличием технологических допусков при сборке ротора;

•точностью посадки ротора в его подшипниковые опоры;

•точностью центровки сопряженных валов;

•влиянием на величину дисбаланса условий эксплуатации (влияние перекачиваемой жидкости для насосов, температурные условия при эксплуатации), которые невозможно воспроизвести при балансировке на станке.

18

Кроме того, в процессе эксплуатации машины происходит увеличение дисбаланса. Это связано с появлением сколов или налипанием среды на вращающиеся части машины, их коррозионным износом, ослаблением связей в составных роторах, ослаблением опор и фундаментных конструкций. При этом работоспособность машины может сохраняться, и ремонт ее не требуется.

Корректировка масс ротора осуществляется либо путем добавления материала в «легкой» части ротора, либо путем его удаления в «тяжелой».

В условиях производства балансировка проводится на универсальных или специальных балансировочных станках. Для серийного и массового производства выпускаются высокопроизводительные автоматические балансировочные линии. Балансировочные станки различаются по частоте вращения ротора, по точности измерения дисбаланса, по способу измерения и виду индикации, по виду привода ротора во вращательное движение, по габаритам и массе роторов, по способу корректировки масс.

Некоторые из балансировочных станков для автомобильных колес приведены на рисунке.

19