Как определить, является ли распределение нормальным?

Если установлено, что исследуемые значения имеют количественный характер, следует проверить выборку на нормальность распределения. Это можно сделать несколькими способами.

Первый способ проверки выборки на нормальность распределения

Прежде всего, нужно вычислить показатели асимметрии и эксцесса, используя программу Excel, имеющуюся практически на всех компьютерах. Для этого в таблицу программы следует поместить результаты измерений. Пусть это будет ряд значений, полученных на выборке из 25 объектов: 9 10 10 10 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 15 15 16 17

Данные могут располагаться как в виде строки, так и в виде колонки. Далее, нажатием кнопки с символами f_x, расположенной ниже панели инструментов, вызываем мастер функций. В верхнем окне выбираем категорию «Статистические», а в нижнем - пункт «Скос». Возвращаемся к таблице с результатами измерений, и, выделяя набранные ранее цифры, помещаем их значения в открывшееся окно «Аргументы функций». На правой стороне окна появляется результат вычислений – 0,579. Это и есть значение показателя асимметрии, характеризующего степени отклонения вершины кривой распределения от его центра. Можно сказать, что показатель асимметрии отражает отклонение вершины реальной кривой распределения от идеальной по оси абсцисс.

По схожему алгоритму вычисляем величину показателя эксцесса характеризующего подъем или снижение вершины распределения, то есть – отклонения по оси ординат. Для того, чтобы произвести расчет данного показателя, следует выбрать пункт «эксцесс». В окне «Аргументы функций» получим его значение – 0,116.

При наличии статистических таблиц критических значений асимметрии и эксцесса (в данном учебном пособии это таблицы 9 и 10) вычисленные значения сравниваются с табличными. Если оба (!) показателя окажутся меньше табличных величин, то распределение может считаться нормальным.

Для нашего примера табличное значение показателя асимметрии находим на пересечении строки n = 25 и колонки р ≤ 0,01 (предположим, что мы анализируем результаты достаточно важных экспериментов и считаем, что вероятность ошибки статистического заключения не должна превышать 1%). Это число составляет 1,061. Так как вычисленное значение показателя асимметрии 0,579 оказывается гораздо меньше табличной величины 1,061, можно сделать заключение, что отклонение вершины распределения по оси абсцисс не столь значительно, чтобы отказаться от применения параметрических методов.

В таблице 10 находим критическое значение показателя эксцесса. Для n = 26 (так как в таблице отсутствует строка для n = 25, переходим к ближайшей строке) и

р ≤ 0,01 оно составляет 0,869. И снова фактическое значение показателя 0,116 оказывается меньше табличного 0, 869. Отсюда следует, что отклонение вершины распределения по оси ординат также несущественно и его можно считать нормальным. То, что оба показателя оказались меньше критических табличных величин, дает основание для последующего применения параметрических критериев.

Второй способ проверки выборки на нормальность распределения

При отсутствии таблиц критических значений асимметрии и эксцесса следует произвести расчеты не только этих показателей, но и их выборочных ошибок.

Ошибка показателя асимметрии производится по формуле:

Для нашего примера она составит:

Выборочная ошибка эксцесса рассчитывается по другой формуле:

в результате получим:

Далее следует разделить показатели асимметрии и эксцесса на их ошибки.

Частное от деления показателей асимметрии и эксцесса на их ошибки определяется как t_ф (фактическое значение) и сравнивается с t_т,табличное значение), взятым из таблицы Стьюдента (таблица 6), при соответствующем уровне значимости и числе степеней свободы. Если фактическое значение критерия Стьюдента окажется меньше табличного, распределение признается нормальным, и, наоборот, если фактическое значение окажется больше табличного, следует сделать вывод о несоответствии распределения нормальному закону.

Для показателя асимметрии получаем следующее значение t-критерия:

Число степеней свободы (df), определяющее строку в таблице Стьюдента, находим как n-1. Следовательно, df = 25-1=24. Уровень значимости (вероятность ошибки статистического заключения), определяющий колонку в таблице Стьюдента, оставляем 1%. На пересечении строки df =24 и колонки р ≤ 0,01 находим табличное значение критерия t_{т =} 2,80_. Так как t_ф (1,25) оказывается гораздо меньше чем t_т (2,80), можно заключить, что и второй способ проверки указывает на незначительность асимметрии кривой распределения.

Фактическое значения t-критерия для показателя эксцесса рассчитываем по формуле Таким образом, не только для асимметрии, но и для эксцесса t_ф (0,129) оказывается существенно меньше чем t_т (2,80), что опять же указывает на нормальность распределения.

Третий способ проверки выборки на нормальность распределения

Проще всего задача решается, если имеется компьютер с установленной на ней программой Statistica. После ввода данных в таблицу вызывается стартовая панель модуля Основные статистики и таблицы (Basic Statistics/Tables). В средней части окна Descriptive Statistics (Описательные статистики) слева находится блок проверки распределений (Distribution). Чтобы проверить, относятся ли показатели выбранной переменной к распределяемым по нормальному закону, нужно поставить галочку в окне возле пункта K-S and Lilliefors test for normality (Критерий Колмогорова-Смирнова и Лилиефорса для нормальности) и нажать на кнопку Histograms (гистограммы). В появившемся окне приводятся гистограмма распределения значений переменной и наложенная на нее кривая нормального распределения, сопоставление которых позволяет визуально оценить характер распределения.

В верхней части окна указывается достоверность отличия проверяемого распределения от нормального, характеризуемая уровнем значимости р (вероятность неправильного отвержения гипотезы, если она верна). Если уровень значимости р<0,05, то распределение отлично от нормального на основании соответствующего критерия. И наоборот, если р>0,05, как на рисунке, то наблюдаемая величина распределена нормально. Зная вид распределения, в дальнейшей обработке можно применить оптимальные статистические методы.