Метода ЦОС

u1(n)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

n

Рисунок 3.11– Единичный скачок

По формуле (3.14) получаем

Следовательно, сумматор не является устойчивой системой.

Пример 3.9. На вход линейной стационарной системы поступает экспоненциальная последовательность вида

(3.16)

Замечание. Если – вещественное число, то последовательность называется вещественная экспоненциальная.

Исследуем систему на устойчивость. Используя последовательность (3.15) (единичный скачок), экспоненциальную последовательность запишем в форме

Отклик на единичный скачок

Сумма коэффициентов импульсной характеристики равна

(3.17)

Если , то формула (3.17) представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая сходится так как Сумма такой прогрессии выражается формулой

аналоговых систем. Поэтому вычисление производных заменяется вычислением разностей.

Линейное разностное уравнение имеет вид

(3.18)

где: – вещественные коэффициенты (веса) уравнения, определяющие свойства дискетной системы;

иконстанты;

изначения задержек для воздействия и отклика;

Как известно, дифференциальное уравнение решается с помощью методов численного интегрирования. Однако метод численного интегрирования является приближенным. Разностное уравнение (3.18) представляет собой алгоритм вычисления отклика методом простой

Пример 3.11. Покажем, что отклик сумматора описывается разностным уравнением.

По определению отклик сумматора запишем в виде

C учетом (3.19) получаем выражение

. (3.20)

Подставив соотношение (3.19) в (3.20) получаем

(3.21)

Таким образом, вход и выход сумматора связаны линейным разностным уравнением первого порядка

Так как сумматор описывается выражением (3.21.), то

и

(3.22)

На рисунке 3.14 показана структурная схема, реализующая сумматор на основе уравнения (3.21).

Рисунок 3.14 – Структурная схема сумматора

Элемент «задержка» осуществляет временную задержку отсчетов на один интервал дискретизации. При каждом значении складывается значение отсчета входной последовательности с предыдущим значением отсчета выхода сумматора.

Если использовать другую форму уравнения (3.22), т.е.

,

структурная схема сумматора приобретет вид, рисунок 3.15.

Рисунок 3.15 – Структурная схема дискретной системы

Замечание. Уравнения вида (3.18) или (3.21) и схемы, показанные на рисунках 3.14, 3.15 называют рекуррентным (рекурсивным) представлением дискретной системы, поскольку каждый отсчет реакции вычисляется с помощью ранее найденных значений отсчетов.

Упражнение 3.5. Решить разностное уравнение первого порядка

3.7.1. Рекурсивные линейные дискретные системы

Определение 3.3. Линейная дискретная система называется рекурсивной, если хотя бы один из коэффициентов уравнения (3.18) не равен нулю.

Из уравнения (3.18) следует, что n -е значение отклика рекурсивной ЛДС в каждый момент времени определяется:

–текущим значением отсчета входа;

–предыдущими значениями отсчета входа;

–предыдущими значениями отсчета выхода.

Например, рекурсивная система первого порядка описывается разностным уравнением с ненулевыми коэффициентами вида

(3.23)

Поскольку стационарная (инвариантная к сдвигу) система характеризуется импульсной характеристикой, вычислим импульсную характеристику рекурсивной линейной дискретной системы, удовлетворяющей разностному уравнению первого порядка следующего вида

(3.24)

Вычисление можно продолжать бесконечно по итерационной формуле

при

Выводы.

1. Импульсная характеристика рекурсивной линейной дискретной системы имеет бесконечную длительность.

2. Значения отсчетов определяются коэффициентами разностного уравнения

3. Рекурсивные ЛДС относятся к классу БИХ систем (фильтров). Заметим, что порядок фильтра указывает какое число предыдущих выходов надо рассматривать.

Вычислим отклик рекурсивной линейной системы, описываемой уравнением (3.24) для произвольной входной последовательности

, так как

,

Подставляя, полученные ранее значения коэффициентов импульсной характеристики (3.25) в уравнения , получаем следующие коэффициенты откликов:

;

(3.26)

Из уравнения (3.26) следует, рекурсивная линейная система первого порядка это устройство выполнения свертки, называемое конвольвером. Весовые коэффициенты конвольвера (уравнения 3.25) соответствуют коэффициентам импульсной характеристики

Рисунок 3.16 – Структурная схема конвольвера

Пример 3.12. Вычислить коэффициенты на выходе конвольвера, описываемого уравнением

.

Легко убедиться, что схема, показанная на рисунке 3.16 это

вычислитель свертки. На выходе схемы формируются значения

–текущим значением отсчета входа;

–предыдущим значением отсчета входа;

Например, разностное уравнение нерекурсивной ЛДС второго порядка имеет вид

.

Пример 3.13. Вычислим импульсную характеристику нерекурсивной системы второго порядка

Согласно определению, импульсная характеристика – это отклик на

Методом прямой подстановки вычисляем значения отсчетов импульсной характеристики

(3.29)

, при

Выводы.

1. Импульсная характеристика нерекурсивной линейной дискретной системы имеет конечную длительность.

2. Значения отсчетов равны коэффициентам разностного уравнения

3. Нерекурсивные ЛДС относятся к классу КИХ систем (фильтров).

Вычислим отклик нерекурсивной линейной системы, описываемой уравнением (3.28) для произвольной входной последовательности С учетом полученных значений коэффициентов импульсной характеристики (3.29), имеем для уравнения :

(3.30)

Пример 3.14. Вычислить коэффициенты на выходе схемы, описываемой уравнением

если

Решение. Отклик описывается уравнением

.

Структура разностного уравнения определяет способ построения нерекурсивной линейной системы. Например, уравнение первого порядка можно реализовать с помощью схемы,

изображенной на рисунке 3.19.

Рисунок 3.19 – Схема нерекурсивной линейной системы (конвольвер)

Легко убедиться, что схема, показанная на рисунке 3.16 это вычислитель свертки. На выходе схемы формируются значения На рисунке 3.20 изображен график свертки.