Higher Mathematics. Part 3
.pdf7.7.Application of Line Integral
1.Length L of a plane or space curve is evaluated by the formula
L = ∫ dl.
AB
In particular:
а) if a space curve is given by the equations x = x(t), y = y(t), z = z(t), t [α, β], then
β
L = ∫ (x′(t))2 + ( y′(t))2 + (z′(t))2 dt;
α
b) if a plane curve is given by the equation |
y = y(x) , |
x [а; b], then |
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b |
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L = ∫ |
′ |
2 |
dx. |
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(7.11) |
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1+ ( y (x)) |
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a |
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2. Area Р of a part of the cylindrical surface (Fig.7.2). The surface is formed by its directrix АВ lying in the plane Охy and its elements perpendicular to that plane, and bounded from above by the surface determined by the non-negative
function z = f (x, y) .P is defined by the formula:
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P = ∫ |
f (x, |
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y)dl. |
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(7.12) |
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AB |
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3. Mass m of a material curve L is evaluated by the formula |
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m = ∫ γ(x, y)dl, |
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L |
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where γ (x, y) is the line density of the curve L at the point M (x, |
y) . |
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4. Coordinates xc , |
yc of the gravity center of the curve L may be found by |
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formulas |
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∫ xγ (x, y)dl |
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∫ yγ (x, y)dl |
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(7.13) |
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x |
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= L |
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, y |
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= L |
. |
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c |
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m |
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c |
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m |
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5. Area S of the plane figure lying in the plane Оху and bounded by a closed contour L is evaluated by the formula
162
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S = |
1 |
∫ xdy − ydx. |
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(7.14) |
2 |
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L |
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6. Work done by a force |
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||
F = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z)k |
|
||||
(functions P(x, y, z), Q(x, y, z), |
R(x, y, z) are continuous over the space |
curve L) at moving a material point along the curve L is defined by the formula
A = ∫ P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz.
L
If a curve L lies in the plane Оху, the work done by the force |
F = P(x, y)i + |
|||||||||||
+Q(x, y) j at moving a material point along the curve is |
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||||||||||
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A = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy. |
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(7.15) |
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L |
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Micromodule 7 |
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EXAMPLES OF PROBLEM SOLUTIONS |
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Example 1. Evaluate line integrals of the first type: |
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а) ∫ xdl, where AB is the arc of the parabola y = x2 |
from the point A (0; 0) |
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AB |
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up to the point B (1; 1) (Fig. 7.8); |
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b) ∫ x2 ydl where L is an arc of the circumference |
x2 + y2 |
= 1 lying in the |
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L |
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first quarter (Fig. 7.9). |
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Solution. а) We can find |
y′ = 2x and receive by the formula (7.2) |
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1 |
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1 |
1 |
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∫ xdl = ∫ x |
1+ 4x2 dx = |
∫ |
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1+ 4x2 d(1+ 4x2 ) = |
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AB |
0 |
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8 |
0 |
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|||
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= |
1 |
(1+ 4x2 )3 |
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1 |
= |
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1 |
(5 5 −1). |
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||
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||||||||
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|||||||||
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12 |
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0 |
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12 |
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b) We can rewrite the equation of the circumference in the parametric form:
x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ |
π |
. Then we have by the formula (7.4) |
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2 |
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163
we receive by the formula (7.11)
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1 |
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ln 2 |
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1 |
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ln 2 |
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3 |
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l = m = |
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∫ (ex |
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+ e− x )dx = |
|
(ex − e− x ) |
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= |
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. |
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2 |
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2 |
0 |
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4 |
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0 |
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After using the formula (7.13) we find |
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4 |
ln 2 |
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( y′ (x))2 dx = |
2 |
ln 2 |
(x (ex + e− x ))dx = |
|
2 |
x |
(ex − e− x ) |
|
ln02 − |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xc = |
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∫ x 1+ |
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∫ |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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3 |
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3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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0 |
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|||||||||||
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ln 2 |
|
(ex − e− x )dx = |
|
2 x (ex |
− e− x ) |
|
ln 2 |
− (ex |
+ e− x ) |
|
ln 2 |
= 1 (3ln 2 − 1); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− ∫ |
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||||||||||
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0 |
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3 |
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0 |
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|
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|
|
|
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|
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|
|
|
0 |
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|
|
3 |
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|
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|
|
|||||||
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|
|
|
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|
4 ln 2 |
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|
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|
|
′ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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4 ln 2 ex + e− x |
|
ex |
|
+ e− x |
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yc = |
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∫ |
y 1+ ( y (x)) |
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dx |
= |
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∫ |
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dx = |
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3 |
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|
3 |
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2 |
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2 |
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0 |
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0 |
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||
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1 ln 2 |
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2x |
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−2 x |
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1 1 |
|
2 x |
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1 |
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−2x |
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ln 2 |
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= |
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∫ (e |
|
+ |
2 + e |
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)dx = |
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( |
|
e |
|
|
+ 2x − |
|
e |
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) |
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= |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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3 |
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3 |
2 |
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|
2 |
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0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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0 |
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|||||
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|
= |
1 |
|
1 |
|
|
4 + 2 ln 2 |
− |
1 |
|
1 |
|
= |
1 |
|
|
(16ln 2 + |
15). |
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3 |
2 |
|
2 |
4 |
24 |
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|||||||||||||||
Example 4. Evaluate the line integral of the first |
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|
у |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
type ∫ |
x2 + y2 dl |
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where |
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L is |
|
the |
|
upper |
|
half |
of |
|
the |
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1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
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cardioid ρ = 1+ cos ϕ (Fig. 7.12). |
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|||||||||||||||||||||||||||||
Solution. We pass to polar coordinates |
by |
|
the |
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О |
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2 х |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
formulas |
x = ρ cos ϕ , |
y = ρ sin ϕ , then |
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x2 + y2 |
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= |
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ρ . |
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Fig. 7.12 |
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|||||||||||||
So as ρ′ = − sin ϕ , |
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ρ2 + (ρ′)2 |
= (1+ cos |
ϕ)2 + sin2 ϕ = 2 |
+ 2 cos ϕ = 4 cos2 ϕ |
, |
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ϕ |
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|
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|
ϕ |
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2 |
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||||
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|
|
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|
2 |
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′ |
|
2 |
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ϕ [0; π] , |
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
ρ |
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+ (ρ ) |
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= 2 |
cos |
2 |
|
= 2cos 2 |
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|
for |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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π |
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ϕ |
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π |
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ϕ |
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|||||||
then ∫ |
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2 |
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|
2 |
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∫ρ 2cos |
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|||||||||||||||||||
x |
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+ y |
|
dl = |
2dϕ = ∫(1+ cos ϕ) 2cos |
2dϕ = |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
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0 |
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|
|
|
|
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|
0 |
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||
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π |
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2 |
ϕ |
4 cos |
|
ϕ |
d |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
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|
π |
|
|
|
|
|
2 |
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
= |
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|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
= ∫ 2 cos |
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|
= 8∫ |
1− sin |
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|
|
d sin |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
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|
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|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
ϕ |
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|
1 |
|
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|
3 ϕ |
π |
|
|
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|
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|
1 |
|
|
|
|
|
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|
16 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8 sin |
|
|
|
− |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8 |
1− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
165
у |
|
у |
|
|
у |
В |
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
В |
|
|
|
|
|
||
3 |
3 |
В |
|
|
|
|
||
1 |
А |
|
А |
|
|
|
|
|
О |
1 2 х |
О |
х |
А |
2 |
х |
||
2 |
||||||||
Fig. 7.14 |
|
Fig. 7.15 |
|
|
Fig. 7.16 |
|
Solution: а) We can write down an equation of the straight line passing
through two points A (1; 1) and B (2; 3): |
x − 1 |
= |
y − 1 |
, i.e. |
y = 2x − 1. The |
|||
2 − 1 |
|
3 − 1 |
|
|||||
|
|
|
|
equation of the segment АВ is: y = 2x − 1, 1 ≤ x ≤ 2 . And by the formula (7.7) we receive:
|
2 |
2 |
26 |
|
|
∫ x2 dx + xydy = ∫(x2 + x(2x − 1) 2)dx = ∫(5x2 − 2x)dx = |
. |
||||
3 |
|||||
AB |
1 |
1 |
|
b) We can rewrite the integral as a sum of two integrals, first of which we take over the line segment ОА, and the second one over the line segment АВ. For
the segment ОА y = 0, dy = 0, 0 ≤ x ≤ 2, therefore
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ (x − y)dx + (x + y)dy = ∫ xdx = 2. |
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|
|
|
|
|||||||
|
OA |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
For the segment AB x = 2 , dx = 0 , 0 ≤ y ≤ 3 , therefore |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
y2 |
|
3 |
|
9 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ (x − y)dx + (x + y)dy = ∫(2 + y)dy = 2 y + |
|
|
|
= 6 + |
|
|
= 10,5. |
||||||
|
|
|
|||||||||||
AB |
|
0 |
|
2 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|||
So, |
∫ (x − y)dx + (x + y)dy = 2 + 10, 5 = 12, 5. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c) We have (see Fig. 7.16): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
70 |
|
|||||
∫ xdx + y2 dy = ∫ xdx + ∫ |
y2 dy = ∫ xdx + ∫ y2dy = |
. |
|||||||||||
|
|||||||||||||
AB |
AB |
AB |
0 |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
d) We can rewrite the equation of the given circumference arc in the para-
metrical form: x = 2 cos t, y = 2sin t, 0 ≤ t ≤ |
π |
. Then x′(t) = −2sint, y′(t) = 2cost. |
Using the formula (7.6) we receive: |
2 |
|
|
|
|
|
|
167 |