Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Higher_Mathematics_Part_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

13.2.10. а) y = 4x + 4− x ;

b) y =

cos x ;

c) y =

+ 2

;

y = lg 100 .

− x

13.2.11. а)

y = 3x + 3− x ;

b) y =

tg x ;

c) y =

;

d) y = lg 10x .

3 − x

13.2.12. а)

y = 2x − 2− x ;

b) y = −

sin2 x ; c) y =

x − 1

;

d) y = lg 1 .

2 − x

13.2.13.а)

13.2.14.а)

y =

1	; b) y = sin 3x ; c) y =		x	;		d) y = 4−\|x\| .
x2 − 4		2	− x

x + 3x ;	b) y = − − sin2 x ; c) y =		− x		;	d) y = log	4 .
			1− x
							2 x

1− x2 ;

; d) y = 2−

13.2.15. а)

y =

;

b) y =

c) y =

− x +

x2 + 3

13.2.16. а)

y =

;

b) y =

− x2 + 6x ;

c) y =

; d) y = logx 4 .

− x

sin x


13.2.17.	а) y = lg(		x	+ 1) ; b) y = arctg 2x

13.2.18.	а) y =	x + 2			; b) y = −x2 −2x
		3 − x

; c) y =	1	; d) y = −2− x2 .
; c) y =	x2	; d) y = −2− x2 .
	x2
		1

; c) y = 2cos x ; d) y = logx 9 .

| x |

9 − x2 ;

; d) y = 2x + 5x .

13.2.19. а) y =

; b) y = −

c) y = 2

sin x

1+ | x |

13.2.20. а) y =

x |

b) y = −

4 − x

c) y = 2

tg x

; d) y = 2

− x

;

+ 3

+ x

13.2.21.а) y =

13.2.22.а) y =


x + 4x ;	b) y = − cos2 x ; c) y =			−2x		;	d) y = log3	9	.

			1+ x					x2
1	; b)	y = ctg 2x ; c) y =	x − 1		;		d) y = arcsin 2x .
x2 − 4
			x − 4

13.2.23.а)

13.2.24.а)

13.2.25.а)

13.2.26.а)

y = 5x + 5− x ; b) y = tg

; c)

y =

x + 1

; d) y = lg

2 − x

y =

x + 2

;

b) y =

− x2 − 6x ;

c) y =

;

d) y = logx 3 .

cos x

− x

y =

x2 − 1

; b) y = 25 − x2 ; c) y =

; d) y = 3−

1− x

arcsin x

y = 6x − 6− x ; b)

y = sin

; c) y =

x − 2

d) y = lg

;

171

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

13.2.27. а)	y =		5		;	b) y = ctg		x	;	c) y
			x2 + 5				2
13.2.28. а) y = log2 x − log3 x ;							b) y = tg 3x
		1								c) y
13.2.29. а)	y =				;	b) y = tg 3x ;
			x2 − 9
13.2.30. а) y =		x + 2		;		b) y =	− x2 + 2x ;

		1− x

=	\| x \| −1		; d) y = arccos		1	.
	x + 1
			4 − x		x
; c) y =				; d) y = 2\|1− x\| .
			x + 1
=	x + 1	;	d) y = arcsin 2− x .

	x + 3
c) y = 3ctg x ;				d) y = 2log2 x .

Micromodule 14

BASIC THEORETICAL INFORMATION

HONORABLE LIMITS

The first honorable limit. Number е. The second honorable limit. Sequences.

Literature: [3, chapter 3, §§ 3.1—3.8], [4, part 4, §§ 4.2—4.3], [5], [6, chapter 4, §§ 3, 4], [10, chapter 3, § 4], [12, chapter 2, §§ 6—8], [13].

14.1. The first honorable limit					0	.
A function sin x for x = 0 has an indeterminacy of a kind					0
A function sin x for x = 0 has an indeterminacy of a kind
x				0
Definition 3.13. The limit	lim	sin x	= 1			(3.2)
Definition 3.13. The limit	lim	x	= 1			(3.2)
	x → 0
is called the first honorable limit.

It is widely used for calculation of limits of functions which contain trigonometric and inverse trigonometric functions.

By means of the limit (3.2) the following limits may be found

lim tgx

=1 ,

lim arctgx

=1 ,

lim arcsin x

=1 .

x→0

14.2. The second honorable limit. Sequences

(

+ x

)

x = 0

has an indeterminacy 1∞ , but there

A function

x at the point

exists the limit of this function if x → 0 which is called the second honorable limit

1			1+	1	x
lim (1+ x)x	= e ,	lim				= e .	(3.3)

x→0				x
		x→∞

172

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

The graph of the function

y = lim 1+ x

)

x→0

(

in the Fig. 3.9.

Number e is transcendental number.

≈ 2,718281828459045.

The second honorable limit is connected

with indeterminate expression

1∞ . ( u(x)v(x) ,

Fig. 3.9

u(x) →1, v(x) → ∞, if x → x0 ).

lim

loga (1+ x)

= loga e;

x→0

lim ax − 1

= ln a;

lim

(1+ x)k − 1

= k.

x→0

Using the limit (3.3), we can find the limits

If а = е then

ln (1+ x)

lim ax − 1

lim ex − 1 = 1.

lim

= 1 ,

= ln a ,

x→0

Micromodule 14

EXAMPLES OF PROBLEMS SOLUTION

Example1. Evaluate lim

(

x − 4

)

πx .

→4

Solution. At x = 4 we have an indeterminacy [0 ∞] .

Let us put x − 4 = t. For x → 4,

t → 0 and we obtain :

lim ( x − 4 )tg

πx

= lim ttg

π (4 + t )

lim t

πt

x→4

t→0

πt

t cos

πt

8 t cos 8

= lim t − ctg

− lim

πt

t→0

sin

8 sin

= − lim

8 t

limcos

πt

= −

1 = −

8 .

t→0

π sin πt t→0

173

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

sin x −

Example 2. Evaluate

lim

1 − 2 cos x

x→ 3

Solution. We have an indeterminacy 0

. Let us represent the

denominator of the fraction as:

+ x

x −

2 2sin

sin

1− 2cos x = 2

− cos x =

2 cos

− cos x =

x −

x − 3

The numerator will be sin x −

= 2sin

cos

x −

sin

−

2sin

cos

Then lim

= lim

x→ π 1− 2cos x

x→ π

x −

x +

x→

x +

3 4sin

sin

3 2sin

Example 3. Evaluate

lim

3x − 2

x−4

3x + 1

x→∞

Solution. We have an indeterminacy 1∞ . To open it we shall take the

second honorable limit (3.3), i.e. we shall represent this limit as (1+ α(x))α( x)

α(x) → 0 . Then

(33xx −+ 12 )

x−4

= (3x3+x 1+−1 3)

)

3x+1

−

3( x−4)

x− 4

−

3x+1

= (1−

3x + 1

3x+1

3 x−4

)

−

x−4

lim

3x − 2

x→∞ −

−1

As lim 1

−

3x +

= e, then

lim

+1)

= e

x→∞

x→∞ (3x

3x + 6

Example 4. Evaluate

lim

x+1

x→−1

x + 4

Solution. For x = −1 we have an indeterminacy [1∞ ]. We can take x + 1 =

then x = t −1,

and if

x → −1, t → 0 , we obtain:

174

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

(

)

3x + 6

3t − 3 + 6

3 +

= 3 + t + 2t t

= 1+

t .

x+1

(

x + 4 )

t − 1+ 4

( 3 + t

3 + t

lim

3x + 6

x+1

Then

lim

= e

t→0

3+t

= e

x + 4

x→−1

Example 5. Evaluate

lim uv .

u→1

v→∞

Solution. We shall denote u = 1+

for u → 1 y → ∞ . Then

lim

u−1

lim

v→∞ y

v→∞

(

)

v→∞ y

y→∞

u→1

lim u =.

lim

y→∞

= e

u→1

v→∞

y→∞

v→∞

y→∞

Thus, considering the indeterminacy such as

1∞

it is possible to use the

lim v(u−1) v→∞

formula lim uv = e u→1 . (3.4).

u→1

		v→∞
			1
		cos x
Example 5. Evaluate lim				x2	.


x→0	cos 2x

Solution. We have an indeterminacy 1∞ . In this case we can use the

formula (3.4). We find:

cos x

cos x − cos 2x

2sin

sin

= lim

lim

− 1

= lim

cos 2x

x→0

cos 2x

x→0

3 sin 2

lim

sin

= lim

lim

x→ 0

x→ 0 cos 2x

cos x

lim

−1

Thus, limx→0 (

cos x

)x2 =

ex→0 cos 2x

= e2

e3 .

cos 2x

175

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

Micromodule 14

CLASS AND HOME ASSIGNMENT

Evaluate limits.

lim sin 8x + sin 6x .

lim sin 2x .

cos

πx

lim

3 −

x→0 sin 9x − sin 5x

x→0

tg 7x

x→3

1− 2 cos

πx

5x −1 3x+ 2

lim

lim(9 − x

) tg

. 6.

lim

x − 2

x→2

x→3

x→∞

5x + 1

lim (1− tg 3x)

ctg 2x

sec x

ln(cos x)

lim

x→0

x→ π

x→0 ln(cos 2x)

10.	lim	(2x + 3) ln (		4x − 5) − ln (4x − 6) .
	x→∞
12.	lim	ln (5x − 19)	.

	x→4	x2 − 6x + 8
14.	lim	(1+ x)8 − (1− x)−8			.

	x→0	ln(1+ x)

Answers

11.	lim	32x − 3x	.
11.	lim		.
	x→0	5tg x − 1
13.	lim	(1+ 2x)7 − 2x		.
13.	lim	x		.
	x→0	x
15.	lim(x2 − 1)log			2 .
	x→1		x2

1. 3,5. 2. 2/7. 3. −		π	. 4.		π 3	.	5. 12 . 6. e−6/ 5 .	7. e−3/ 2 . 8. e−1 . 9. 0,25.
1. 3,5. 2. 2/7. 3. −			. 4.	6		.	5. 12 . 6. e−6/ 5 .	7. e−3/ 2 . 8. e−1 . 9. 0,25.
	3			6			π
10. 0,5. 11. log5 3 .	12. 2,5.			13. 14 − ln 2 . 14. 0. 15. ln 2 .
					Micromodule 14
		SELF–TEST ASSIGNMENTS
14.1. Evaluate limits of functions using the first honorable limit:
14.1.1. а) lim cos 2x − cos8x ;							b) lim	5 − x	)	tg	πx .
x→0		x tg x					x→5 (		)		10

14.1.2. а)	lim sin 3x + sin 7x		;
	x→0 sin 3x − sin 5x
14.1.3. а)	lim sin 3x − sin x ;
	x→0	sin 5x

176

b)	lim	cos 2x + 1 .
	x→ π	1− sin x
	2
b)	lim	x tg 1 .
	x→∞	x

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

14.1.4. а)	lim sin2 3x		;
	x→0	tg 6x2
14.1.5. а)	lim	x2 − π2	;
		tg 5x
	x→π
14.1.6. а)	lim cos 2x − cos3 2x			;
	x→0	sin2 8x
14.1.7. а)	lim	2 − x	;

	x→2 sin 3πx
14.1.8. а)	lim cos 3x + 1 ;
	x→π	tg2 x

	lim (x + 2) ctg 3πx
14.1.9. а) x→−2								;
14.1.10. а)	lim			2x + 1		;
14.1.10. а)	lim					;
	x→−	1		cos3πx
		2
14.1.11. а)	lim		tg2 3x		;
14.1.11. а)	lim	2x sin x			;
	x→0	2x sin x
14.1.12. а)	lim arctg 5x				;
	x→0		sin 3x
14.1.13. а)	lim	2cos2 x − 1 ;
	π			sin 4x
	x→ 4
14.1.14. а)	lim cos x − cos3x							;
	x→0			sin2 4x
14.1.15. а)	lim arcsin2 2x						;
	x→0			tg2 3x
14.1.16. а)	lim(x − 3) ctg πx ;
	x→3
14.1.17. а)	lim	1− cos 2x					;
	x→π	1+ cos3x
14.1.18. а)	lim tg3x − sin 3x							;
	x→0			sin3 x

b) lim 1+ xsin 2x − cos 2x .

x→0 x2

b)lim 1− cos 4x . x→0 2x sin 5x

b)lim sin 2x . →π sin 7xx

lim

2 − 3cos 2x + cos2 2x

x→0

lim tg 3x − tg x .

x→0

tg 2x

lim

cos2 4x − 5cos 4x + 4

xsin x

x→0

lim sin8x − sin 3x .

x→0 sin 5x + sin 2x

lim (2x − π) tg x .

x→ π

lim

tg2 4x − tg2 2x

x→0

lim

tg2 6x − tg2 3x

sin x2

x→0

lim

x2 sin

x→∞

x2 + 1

lim

sin2 x − 3sin x + 2

2x − π

x→ 2

lim

sin 2x

x→0 sin(π

− arccos x)

lim

sin 2x + tg3x

x→0 sin x − arcsin 2x

lim

x2 tg

x→∞

x2 − 4

177

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

14.1.19. а)

lim

tg2 2x

;

x→π cos5x + 1

14.1.20. а)

lim

sin πx

;

x→1 sin 2πx

14.1.21. а)

lim

cos 5πx + 1

;

x→3 cos 4πx − 1

14.1.22. а)

lim(x − π) tg 5x

;

x→π

14.1.23. а)

lim cos5x − cos 4x

;

x→0

tg2 3x

14.1.24. г)

lim

x − π

;

x→π tg 5x

14.1.25. а)

lim sin 7x − sin 3x ;

x→0

sin 4x

14.1.26. а)

lim

2 − x

;

πx

x→2 cos

14.1.27. а)

lim sin2 5x

;

x→π

tg2 3x

14.1.28. а)

lim 1+ cos3x

;

x→π

sin2 x

14.1.29. а)

lim

1− cos 4x

;

x→π

tg2 3x

14.1.30. а)

lim

π + x ;

x→− π tg 2x

lim (x + 3)sin

x − 2

x→∞

lim

cos2 x − 6cos x + 5

x→0

lim ctg5xctg

− x

x→0

lim

1− cos3x .

x→0

xtg3x

lim

1+ cos 5x .

x→π

1− cos 6x

−

lim

sin x

x→0

tgx

lim sin

x − 3

πx .

x→3

lim sin 5x − sin 3x .

x→π

sin 2x

lim

cos x − sin x .

cos 2x

x→ 4

lim

cos2 x − 7 cos x + 6

tg2 2x

x→0

lim (2x + 1)sin

3x − 1

x→∞

lim (x − 1)ctgπx .

x→1

14.2. Evaluate limits of functions using the second honorable limit and its sequences:

14.2.1. а)

3x − 1

x+ 2

ln (cos 2x)

lim

3x + 1

;

lim

x→∞

x→0 ln (cos 4x)

e3x − ex

14.2.2. а)

lim

(

2x + 5

)

−4 ;

lim

x→−2

x→0 lncos x

178

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

14.2.3. а)

lim

(4x − 3)

;

lim

5 − 2x2 7− x2

x − 1

3 − 2x

x→1

x→∞

)

ln 1+ 3x

x + 5 x+ 4

14.2.4. а)

lim

;

lim

(

)

x→−4 2x + 9

x→−∞

ln 1+

x + 3

2x2 −1

14.2.5. а)

lim

(

2x −1 ln

x − 2 − ln

(

x +1

; b)

lim

x→∞

) (

)

x→∞

2x −1

2x + 5 x−1

sin x

14.2.6. а)

lim

;

lim

x−2

2x + 3

x→∞

x→2

sin 2

ex+3 − 1

3x +

14.2.7. а)

lim

;

lim

x+1

2x +

x→−3 x2 + 2x − 3

x→−1

5x − 4x .

14.2.8. а)

lim

2x + 5

)

x+ 2

;

lim

x→−2 (

x→0

sin 3x

3x − 2

14.2.9. а) lim

x2 −1

;

lim(x sin x log

2 e) .

x→1

2 − x

x→0

1− x

14.2.10. а) lim

(x−2) ln(2x−1)−ln(2x+3) ;b)

lim

3x − 8x .

x→∞

x→0

tg 2x

ln (x − 4)

14.2.11. а)

lim

;

lim

(

3x − 5

)

−4 .

x→5 x2 − 4x − 5

x→2

)

ln 1+ 5x

x + 7

x+ 2

14.2.12. а)

lim

;

lim

(

)

x→−2 2x + 9

x→−∞

ln 1

14.2.13. а) lim (3x − 2) x2 −1 ;

x→1

14.2.14. а)	lim		e5x+ 2 − 1					;
			5x2 + 7x +			2
	x→− 2
		5
				2
			x + 3
14.2.15. а)	lim				x2 −4		;

			2x + 1
	x→2

b)	lim	1			.

	x→1 (x2 − 1) logx 2
b)		3x + 5	2x+3	.
	lim	3x − 1
	x→∞
b)	lim logcos x (1+ x2 ) .
	x→0

179

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

14.2.16.а)

14.2.17.а)

14.2.18.а)

14.2.19.а)

14.2.20.а)

lim	2x + 3				3x+5
lim			2x + 1						;
x→∞			2x + 1
lim	(3x − 2)					ln (2x
x→∞
							2
x→3 (		2x − 5		)	x2 −9				;
lim		2x − 5							;
							4
lim			x + 5					x+3	;

			2x + 8
x→−3			2x + 8
							3
lim		2x − 13			)		x−7		;
x→7 (					)

b) lim logcos 2x (1− x2 ) .

x→0

+ 1) − ln (2x + 5) ; b)	lim	4x − 5	6x+ 2 .
		4x + 1
	x→∞	4x + 1

b)lim ln (4x − 23) . x→6 x2 − 8x + 12

b)	lim	5x		− 2− x	.
			sin 4x
	x→0
b)	lim		4x2 −1 − 1			.
				+ 2x − 3
	x→1 x2

14.2.21. а) lim

(

x − 4

)

(

3x − 1 − ln

(

3x − 2

;

lim

2x + 7

x→∞

)

+ 9

x→−2

14.2.22. а)

lim

3x + 2 2x+3

;

lim log

4 (1− x

) .

3x −

x→∞

x→0

1− x

14.2.23. а)

lim

ln (5x − 14)

;

lim

6x + 5

4x+3

− 1

x2 − 9

x→3

x→∞

)

ln 1+ 7x

14.2.24. а)

lim

3x + 2 x2

−1

;

lim

(

)

x→1 x + 4

x→−∞

ln 1+ 5

14.2.25. а)

lim

(x − 7) ln

(4x + 3) − ln (4x + 1) ;

b) lim

36x − 3−2x

x→∞

x→0

sin x

25x − 2− x

2x − 3

14.2.26. а)

lim

;

lim

2x2 +3

− 1

x→0

x→∞

ln (3x − 5)

2 x + 1

x +1

14.2.27. а)

lim

;

b) lim

− 4

x −1

x→2

x→∞

x+ 2 .

	e4x−3 − 1					5x + 2	5x3
14.2.28. а) lim			;	b)			x2	−1	.
					lim	5x + 4
	4x2	− 7x + 3
x→ 3					x→∞
4

180

http://vk.com/studentu_tk, http://studentu.tk/

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2818 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2019424.45 Кб11Graphics software.doc
#
05.09.2019478.78 Кб6gtfnmТ.docx
#
15.08.2019637.53 Кб4Gulenko.docx
#
12.11.2018765.44 Кб6Hagakure_-_Sokrytoe_v_listve.doc
#
19.02.20166.95 Mб201Higher Mathematics. Part 3.pdf
#
19.02.20169 Mб95Higher_Mathematics_Part_1.pdf
#
19.02.20166.63 Mб1052Higher_Mathematics_Part_1.pdf
#
19.02.20167.48 Mб408Higher_Mathematics_Part_2.pdf
#
19.02.20169.73 Mб45Higher_Mathematics_Part_2.pdf
#
19.02.20167.31 Mб123Higher_Mathematics_Part_2.pdf
#
19.02.20169.11 Mб304Higher_Mathematics_Part_3.pdf