Higher_Mathematics_Part_2
.pdfIf |
x and |
y |
are independent variables, it is given by |
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d |
2 |
z |
= |
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∂ 2 |
f |
dx |
2 |
+ |
2 |
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∂ 2 f |
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dxdy + |
∂ 2 f |
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dy |
2 |
. |
(1.8) |
|||||||||||||
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∂x |
2 |
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∂x∂y |
∂y 2 |
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Differential of order n d n z |
of a function |
z = f (x, y) |
at point |
M (x, y) |
is |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
called the differential of the order (n - 1) differential |
d n−1 z , thus |
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d n z = d (d n−1 z) |
. |
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(1.9) |
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If |
x and |
y |
are independent variables(1.9), it is given by |
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n |
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∂n f |
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d n z = ∑ Cnk |
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dxk dyn−k , |
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∂xk ∂yn−k |
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k =0 |
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where |
Cnk = |
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n! |
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. |
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k!(n − k)! |
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Symbolically, |
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n |
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||||||
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n |
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∂ |
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∂ |
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|||||
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d |
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z = |
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dx |
+ |
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dy |
f . |
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||||||||
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∂x |
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∂y |
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Typical problems |
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Т.2 |
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1. Let z be given by the formula z = x2 + xy − 2y . Compute zx, |
zy and |
z |
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at point M (0;1) when |
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= x2 , |
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y = −1 . |
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Solution. To compute z(0;1) : |
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z(0;1) = 02 + 0 1 − 2 1 = −2 , |
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||||||||||||||||||||||
begin by computing the new values of the variables, |
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x + x = 0 + 2 = 2 , |
y + |
|
y = 1 − 1 = 0 ; |
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z(x + |
x, y + |
y) = z(2; 0) = 4 , |
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z(x + |
|
x, y) = z(2;1) = 4 , |
|
z(x, y + |
y) = z(0; 0) = 0 . |
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Then |
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z(0;1) = 4 − (−2) = 6 , |
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x z = 4 − (−2) = 6 , |
y z = 0 − (−2) = 2 . |
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2. Find the partial derivatives for the given functions z. |
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а) |
z = x5 y2 + 2y3 − x − 4 ; |
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б) u = x sin(yz) + (x + y2 + z3 )5 ; |
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в) z = xln y ; |
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г) u = x tg |
y |
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+ z 3 2 x− z . |
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x |
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21 |
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Solution. From the definition, |
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а) |
∂z |
= 5x4 y2 − 1, |
∂z |
|
= 2yx5 |
|
+ 6y 2 ; |
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||||||||||||||
∂x |
∂y |
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|||||
б) |
∂u |
= sin(yz) + 5(x + y2 + z3 )4 , |
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|||||||||||||||||
∂x |
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∂u |
= x cos(yz) z + 10y(x + y2 + z3 )4 , |
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∂y |
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∂u |
= x cos(yz) y + 15z2 (x + y2 + z3 )4 ; |
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||||||||||||||||||||||
|
∂z |
|
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в) |
∂z |
= (ln y) xln y−1 , |
|
∂z |
= |
xln y ln x |
1 |
= xln y |
ln x |
; |
|||||||||||||||||
|
∂x |
|
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|
∂y |
|
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y |
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|
y |
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|||
|
∂u |
|
|
y |
|
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1 |
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|
y |
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3 |
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x− z |
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||||
г) |
|
= tg |
|
+ x |
|
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− |
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|
+ z |
|
2 |
|
ln 2 , |
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||
∂x |
x |
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||||||||||||
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cos2 ( y / x) |
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x 2 |
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||||||||||||
|
∂u |
= x |
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1 |
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1 |
= |
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1 |
|
|
, |
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|||
|
∂y |
|
cos2 ( y / x) x |
|
|
cos2 ( y / x) |
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|||||||||||||||
|
∂u |
= 3z2 2x− z − z3 2x− z ln 2 = 2x− z (3z2 − z3 ) ln 2 . |
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||||||||||||||||||||||||
|
∂z |
|
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3.Find the partial derivatives for the given intermediate function:
x2 + y2 z 2 + xyz = 0 .
Solution. By the formula (1.3) we have
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F ≡ x2 + y2 z2 + xyz , |
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∂F |
|
= 2x + yz , |
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∂x |
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|||
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|
∂F |
= |
2yz 2 + xz , |
∂F |
= 2zy 2 + xy . |
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∂y |
|
|
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|
|
∂z |
|
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||
Hence |
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|
∂z |
= |
− |
|
2x + yz |
|
, |
|
∂z |
|
= − |
|
2yz 2 + xz |
|
. |
|||||||
|
|
∂x |
|
|
2zy 2 + xy |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
2zy |
2 + xy |
|
|||||||
4. Find the partial derivatives for the given function |
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z = f (x +2y, x2 y) . |
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|||||||||||
Solution. This function is composite: |
z = f (u, v) , де u = x + 2y , v = x2 y . |
||||||||||||||||||||||
By formulas (1.2) find: |
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||
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∂z |
= |
∂f |
+ |
|
∂f |
2xy , |
|
|
∂z |
= |
|
|
∂f |
2 + |
∂f |
x2 . |
|
|||||
|
∂x |
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|
∂y |
|
|
∂u |
|
|
∂v |
|
|||||||
|
|
|
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22 |
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5. Find the partial derivatives for the given function
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|
x |
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z = (2x + y) y . |
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||||||||||||||||||
Solution. Using logarithmic differentiation, we have |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ln z = |
x |
ln(2x + y) ; |
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|
(ln z)′ |
= ( |
|
x |
ln(2x + y))′ |
; |
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|
y |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|||||
1 |
∂z |
= |
1 |
ln(2x + y) + |
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
; |
|
∂z |
= |
z |
1 |
ln(2x + y) + |
x 2 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
z ∂x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2x + y |
|
|
∂x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2x + y |
|||||||||||||||||||||||||
Hence |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
= (2x + y) |
|
|
|
ln(2x + y) + |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
y |
2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Likewise find |
|
∂z |
. |
|
|
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|||||||||
|
∂y |
|
|
|
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||||||||||||
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||||
(ln z)′ |
|
= ( |
x |
ln(2x |
+ y))′ |
; |
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|
1 |
|
∂z |
= − |
|
x |
ln(2x + y) + |
x |
|
|
1 |
; |
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||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
z ∂y |
|
|
|
y 2 |
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|
y 2x + y |
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|||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||||||
|
|
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|
∂z |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
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|||||||||||
|
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|
|
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|
y |
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
= |
|
|
|
(2x + y) |
|
|
− ln(2x |
+ y) + |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
y |
2 |
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2x + y |
|
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6. Find the total differentials for the given functions.
а) z = e x y3 ; |
|
б) u = x arcsin y + z 4 . |
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|||||
Solution. |
|
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|
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|
а) dz = (e x y3 )′ dx + (e x y3 )′ dy = ex y3dx + 3ex y2 dy ; |
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
б) ∂u |
= arcsin y , |
∂u = |
x |
, |
∂u = 4z3 |
; |
|
|
|
||
∂x |
|
|
∂y |
1 − y |
2 |
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du = arcsin ydx + |
x |
dy + 4z3dz . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 − y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
7. Use the differential to estimate (0,92)3 (1,04)2 . |
|
|
|
||||||||
Solution. By a |
formula |
(1.6) |
for |
the function |
f (x, y) = x3 y2 . When |
||||||
x + x = 0, 92, y + |
y = 1, 04 , |
x = 1 , |
y = 1 . |
Hence |
f (1;1) = 1, |
||||||
x = 0, 92 − 1 = −0, 08, |
y = 1, 04 −1 = 0, 04 . To find the partial derivatives for |
||||||||||
function |
f (x, y) |
at |
point |
(1;1) : |
|
∂f |
= 3x 2 y 2 , |
∂f (1,1) = 3 ; |
∂f |
= 2x3 y , |
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂x |
∂y |
|
∂f (1,1) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
Hence
(0,92)3 (1,04)2 ≈ 1 + 3(−0,08) + 2 0,04 = 0,84 .
8. Use the differential to estimate sin2 51° cos5° .
Solution. Let’s consider a function z = sin2 xcos y . We have to compute
17 |
|
|
|
|
π |
|
. Let |
x + |
|
x = |
17π |
, |
y + |
y = |
π |
|
, |
|
|
x = |
π |
|
, y = 0 , when x = |
π |
, |
|||||||||||||||
z |
|
|
π; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
60 |
π |
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
30 |
|
||||||
y = |
|
|
. We have |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|||||||||
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|
|
|
|
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|
||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
1 |
|
∂z(π / 4,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
z |
|
; 0 = |
sin |
|
|
|
cos0 = |
|
|
; |
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
=sin 2x cos y |
x=π / 4, =1; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
y=0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
∂z(π / 4,0) = − sin2 xsin y |
|
x= π / 4, |
= 0 , |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
∂y |
|
|
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|
|
y=0 |
|
|
|
|
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|||
то |
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
π |
|
1 |
|
|
|
1 |
π |
+ 0 |
|
π |
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
π; |
|
|
|
|
≈ |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
≈ 0,6 . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
30 |
36 |
|
2 |
30 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Find the second-order partial derivatives for the given functions.
а) |
|
z = 2x4 y3 +sin 2y − |
x2 |
; |
|
|
|
|
|
|
б) |
|
z = x2 − y 2 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
||||
Solution. Since |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
а) |
∂z |
|
= 8x3 y3 |
− 2 |
|
x |
|
|
, |
|
|
|
∂z |
|
= 6x4 y2 |
+ 2 cos 2y + |
x2 |
, we have |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂2 z |
|
= |
|
|
∂ |
|
8x |
3 |
y |
3 |
− 2 |
|
x |
|
= 24x |
2 |
y |
3 |
|
− |
2 |
and |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∂2 z |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
y |
|
|
|
+ 2 cos 2y + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 12x |
|
y |
− 4 sin 2y − 2 |
|
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂y |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
∂2 z |
|
= |
|
∂ |
|
|
∂z |
|
|
= |
|
|
∂ |
|
|
8x |
3 |
y |
3 |
− 2 |
|
x |
= 24x |
3 |
y |
2 |
+ |
2x |
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
б) |
|
∂z |
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x = |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∂x |
2 |
|
x |
2 |
− y |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= |
|
|
1 |
|
(−2 y) = |
|
−y |
|
, |
||
∂y |
|
x |
2 |
− y |
2 |
x |
2 |
− y |
2 |
|||
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − y2 |
|
− x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
∂ |
2 |
z = |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − y2 |
|
|
|
|
|
− y |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− y |
2 |
|
|
|
|
2 |
− y |
2 |
3/ 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
∂ |
2 |
z |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∂y |
2 |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
x |
2 |
− y |
2 |
|
|
|
|
(x |
2 |
− y |
2 |
) |
3 / 2 |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
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||||||||||||||||||
|
|
∂ |
2 |
z |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
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|
∂ |
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|||||||||||
|
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|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
|
|
(x2 |
− y2 )−1/ 2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x∂y |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
− y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
−3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
− |
|
|
|
|
(x |
|
|
− y |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
(−2y) = |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
|
3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
− y2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10. |
Find |
|
the |
|
|
partial |
|
|
derivatives |
|
∂ 3u |
|
and |
|
∂ 3u |
|
for |
|
a function |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x3 |
|
|
|
∂x∂y 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
||||||||
u = x4 + xy3 + x cos y sin z . |
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||
Solution. We have |
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∂u |
= 4x3 + y3 + cos y sin z , |
|
|
|
∂ 2u = 12x 2 |
, |
∂ 3u |
= 24x ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
∂x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂ 2u |
= |
|
|
∂ |
|
(4x3 |
|
+ y3 + cos y sin z) = 3y 2 − sin y sin z , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x∂y |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂ 3u |
|
|
|
= |
|
∂ |
|
(3y |
2 |
|
− sin y sin z) |
|
= 6y − cos y sin z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂x∂y 2 |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
11. Find |
∂ 2 z |
|
and |
|
|
|
|
∂ 2 z |
|
of an intermediate function |
x2 + y2 +z2 =1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x2 |
|
|
|
∂x∂y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Solution. Since |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
= 0 , ∂z |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x +2z |
∂z = 0 |
|
, |
|
=− |
|
; |
|
2y +2z |
=− |
; we have |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂y |
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z −x − |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z + x |
|
|||||||||||||
|
|
∂ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
, |
||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
=− |
|
|
|
|
|
|
=− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=− |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∂x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
3 |
|
|||
|
|
∂x |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∂z |
|
|
∂z |
|
|
|
− |
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
∂ z |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
z |
|
−xy |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
∂ |
x |
=−x |
|
|
= x |
|
= x |
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|||||||
|
|
∂y |
z |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12. Find the second-order differential for a function |
z = (3x −2y)4 at point |
М(3; 4).
Solution. To find the second-order partial derivatives for a given function at point М:
∂z = 4(3x −2 y)3 3 =12(3x −2 y)3 , |
∂z |
= 4(3x −2y)3 (−2) =−8(3x −2y)3 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂2 z |
= |
∂ |
(12(3x −2 y)3 ) = 36(3x −2 y)2 3 =108(3x −2y)2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
∂2 z |
|
= |
|
|
∂ |
|
(−8(3x −2y)3 ) =−24(3x −2y)2 (−2) = 48(3x−2y)2 ; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂y2 |
|
|
∂y |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
∂2 z |
|
= |
∂ |
(12(3x −2y)3 ) =36(3x −2y)2 (−2) =−72(3x−2y)2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∂x∂y |
∂y |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∂2 z(M ) |
=108(3x −2 y)2 |
|
x=3, |
|
=108 , |
|
∂2 z(M ) |
= 48 , |
|
∂2 z |
=−72 . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=4 |
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Thus (1.8) is reduced to |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 z(M ) =108dx2 −144dxdy +48dy2 . |
|
|||||||||||||||||||||
13. Find d 2u , if u = x3 y + xz2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Solution. For a function |
|
u = f (x, y, z) , |
where |
x , y and |
z are the |
||||||||||||||||||||||||||||||
independent variables. Let’s show that |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
d |
2 |
u = |
∂ 2 f |
dx |
2 |
+ |
|
∂ 2 f |
dy |
2 |
+ |
∂ 2 f |
dz |
2 |
+ 2 |
∂ 2 f |
|
dxdy + |
||||||||||||||
|
|
|
|
∂x2 |
|
|
∂y 2 |
|
∂z 2 |
|
∂x∂y |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
∂2 f |
|
dxdz + 2 |
∂2 |
f |
dydz . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂z |
∂y∂z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
We find the second-order partial derivatives.
∂ 2 f |
= 6xy ; |
∂ 2 f |
= 0 |
; |
∂ 2 |
f |
= 2x ; |
∂ 2 |
f |
= 3x |
2 |
; |
∂ 2 f |
= 2z ; |
∂2 f |
= 0 . |
∂x 2 |
∂y 2 |
∂z 2 |
∂x∂y |
|
∂x∂z |
∂y∂z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Thus,
d 2u = 6xydx2 + 2xdz2 + 6x2 dxdy + +4zdxdz .
14. Find d 2 z at point |
M (−2; 0;1) , if z(x, y) is |
x + y2 + z + z3 = 0 . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Solution. To find the second-order partial derivatives: |
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F = x + y2 + z + z |
3 ; |
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∂F |
= 1 ; |
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∂F |
|
= 2y |
; |
|
∂F |
= 1 + 3z 2 ; |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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∂x |
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∂y |
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∂z |
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||||||||||||
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∂z |
= − |
|
1 |
|
|
|
; |
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∂z |
|
= − |
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|
2y |
|
|
; |
|
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|||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
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|
1 + 3z 2 |
∂y |
|
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||||||||||||||||||||||||
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|
∂x |
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1 + 3z 2 |
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|||||||||||||||||||||||||
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|
|
∂ 2 z |
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|
∂z |
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1 |
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|
|
6z |
∂z |
|
|
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|
6z |
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|
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|||||||||||||||||||||||
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|
∂x |
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||||||||||||||||||||||||||
|
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= |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
= |
− |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∂x2 |
|
|
∂x |
|
1 + |
|
3z 2 |
|
|
(1 + 3z 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
(1 + 3z 2 )3 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
∂z |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||
∂ 2 z |
∂z |
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
6z |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
24 yz |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 = |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||
∂y |
|
|
+ 3z |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
(1 + 3z |
2 |
) |
2 |
1+ 3z |
2 |
|
(1+ 3z |
2 |
) |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂y |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 3z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
6z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 yz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
∂y |
|
|
1 + 3z 2 |
|
|
(1 + |
|
3z 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
+ 3z 2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
At point M (−2; 0;1) |
|
we have |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∂2 z(M ) = − |
|
3 |
|
, |
∂2 z(M ) = 0, |
|
∂2 z(M ) |
|
= − |
1 |
|
; d 2 z(M ) = − |
|
3 |
dx2 − |
1 |
dy2 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂x2 |
|
|
32 |
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
2 |
|
|
|
|
Т.2 |
|
Self-tests and class assignments |
|
|
|
|
|
|
|||
1. Let z be given by the formula |
z = x2 y . Compute |
|
zx, |
zy and |
z at point |
|||||||
M (0;1) when а) |
x = 1 , y = 2 ; б) |
x = 0,1 , y = 0, 5 . |
x = 2 , |
y = −1 . |
||||||||
2. Let z be given by the formula z = x2 + y2 − 3xy . Compute |
zx, |
zy and z |
||||||||||
if point is changing from M (1;1) to M1 (1, 2; 0, 9) . |
|
|
∂z |
|
|
|
||||||
In Problems 3—13, find the partial derivatives |
∂z |
and |
for the given |
|||||||||
∂x |
∂y |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
functions z(x, y) .
3. z = x4 y + x − 2y 6 + 3 . |
4. z = sin(2x + 3y) − xy . |
27
5. z = arctg xy +arctg xy .
7.z = 2cos x arcsin y .
9.z = x x+ y .
11. z = f (x2 − y 2 ) .
6.z = ln(x2 − y 2 ) .
8.z = ln(x − 3y) . y + 2x
10.z = (x2 + y 2 )2x−5 y .
12.z = f (x + y, xy ) .
13. |
e z + e x− y = e y+ z . |
|
|
|
|
|
|
14. x2 + y 2 + z 2 = 2z . |
|||||||
In Problems 15—17, verify that a function |
z(x, y) is due to equality. |
||||||||||||||
15. |
z = ln(x2 + xy + y 2 ) , |
x |
∂z |
|
+ y |
∂z |
= 2 . |
|
|
||||||
∂x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
||||||
16. |
z = f (x2 + y 2 ) , |
y |
∂z |
= x |
|
∂z |
. |
|
|
|
|||||
∂x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
||||
In Problems 15—17, use the differential to estimate the given expressions. |
|||||||||||||||
17. |
(7,84)2 + (6,1)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. ln(1 + (1,07)2 − (0,95)3 ) . |
||||
19. |
(1,06)3,08 . |
|
20. tg10°sin 85°. |
21. arctg |
1,12 |
. |
|||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, 97 |
|
|
In Problems 23—26, Find the differential dz of the given functions. |
|||||||||||||||
22. |
z = x + arctg |
y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. x + y + z = ln z . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In Problems |
24––25, find the second-order |
differential |
for |
the |
given |
||
functions z(x, y) . |
|
|
|
|
|
||
24. |
z = (x + 2 y)5 + sin(3x − y) . |
25. z = xy + yx . |
|
|
|
||
In |
Problems |
26––27, find the |
second-order |
differential |
for |
the |
given |
functions u(x, y, z) .
26.u = x3 + y2 + xz4 − 2 yz + 3(x − y)5 .
27.u = ln(x2 + y2 + z2 ) .
28
Answers
1. а) |
x z = 1 , |
|
y z = 0 , |
z = 3 ; б) |
x z = 0,01 , |
y z = 0 , z = 0,015 . |
|
|||||||||||||
2. |
z = 0, 01 , |
dz = −0,1. 3. z′ = 4x3 y + |
1 |
|
, z′ |
= x |
4 − 12y5 . 5. |
z′ = 0 , z′ = 0 . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
x |
y |
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
′ |
|
|
2 |
− y |
2 |
) , |
′ |
|
2 |
− y |
2 |
) . |
7. |
′ |
2 |
cos x |
ln 2 arcsin y, |
||
zx = 2x /(x |
|
|
zy = −2y /(x |
|
|
zx = − sin x |
|
|||||||||||||
z′ |
= |
2cos x |
. 9. z′ |
= xx+ y (ln x + 1 + y / x) , z′ |
= xx+ y ln x . 10. z′ = 2(x2 + y2 )2x−5y × |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
y |
|
1− y2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
× ln(x2 + y2 ) + 2x(x2 + y2 )2x−5y−1(2x − 5y) , |
|
z′ |
= −5(x2 |
+ y2 )2x−5y ln(x2 + y2 ) + |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
+2y(x2 + y2 )2x−5 y−1(2x − 5y) . 11. |
z′ = |
f ′(w)2x , |
z′ |
= −2yf ′(w) , |
|
де |
w = x2 − y2 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
12. |
z′ |
= f ′ + f ′ |
/ y, z′ |
= |
f ′ |
− f |
′x / y2 |
, де |
u = x + y, v = x / y. |
|||||||||||
|
x |
u v |
|
y |
|
|
u |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z′ |
= |
ey+ z − ex− y |
. 14. |
z′ |
= |
|
x |
|
|
, z′ |
|
= |
|
|
y |
. 17. 9,878. 18. 0,29. |
||||
y |
|
|
ez (1 − ey ) |
|
|
x |
|
1 − z |
|
y |
|
1 |
− z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
21. 0,86. |
|
22. |
|
|
1 |
|
[(x2 |
+ y2 |
− y)dx + xdy] . |
|||||||||||
|
x2 |
+ y2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.z′ = e ,
x ez (ey − 1)
19.1,18. 20. 0,175.
23.1 −1 z [dx + dy] .x− y
24. |
z′′ = 20(x + 2y)3 − 9sin(3x − y), z′′ |
|
= 80(x + 2y)3 |
− sin(3x − y), |
|
|
|
||||
|
xx |
|
|
yy |
|
|
|
|
|
|
|
z′′ |
= 40(x + 2y)3 + 3sin(3x − y) . |
|
25. |
z′′ =y( y − 1)x y−2+yx ln2 y, |
z′′ |
= x y−1 + yx−1 + |
|||||
xy |
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
xy |
|
+ xyx−1 ln y + yx y−1 ln x, |
z′′ = x(x |
− 1) yx−2 + x y ln2 x. |
|
26. u′′ |
|
= 6x + 60(x − y)3, |
|||||
|
|
yy |
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
u′′ |
= 2 + 60(x − y)3, u′′ |
= 12xz2, |
u′′ |
= −60(x − y)3, |
u′′ |
= 4z3 , |
u′′ |
= −2 . |
|||
yy |
zz |
|
xy |
|
|
xz |
|
|
yz |
|
Т.2 Individual the test problems
2.1. Find the partial derivatives ∂z ; ∂z and differentials dz for the given
∂x ∂y
functions z(x, y) .
2.1.1. а) z = 3x6 + 2x2 y5 − 4x + 5y3 ; |
b) z = xy log y x . |
|
2.1.2. а) |
z = − x4 + 3xy4 − 5x3 + 2 ; |
b) z = tg ln(x2 − y2 ) . |
2.1.3. а) |
z = −3x3 + 2x3 y5 − 5y2 + 1 ; |
b) z = arcsin 2 x / y . |
|
29 |
|
2.1.4.а) z = 7x8 y − 32xy4 − 3y + 5 ;
2.1.5.а) z = 6x6 y3 − 2xy3 + 4x − 3 ;
2.1.6.а) z = 2x4 − y3 − 3xy4 + 4y + 2 ;
2.1.7.а) z = x3 − 2y4 + x5 y + 7x −1 ;
2.1.8.а) z = − x2 y4 − 2x + y8 + 2x − 6 ;
2.1.9.а) z = −3xy2 + x3 y − 3y + 3 ;
2.1.10.а) z = 5x5 y2 − x + y6 + 10 ;
2.1.11.а) z = 7x4 y2 − 3y3 + 3x − 4 ;
2.1.12.а) z = −4x4 y5 − 6x + y4 − 8 ;
2.1.13.а) z = − x2 y3 − 4x − 3y2 + 7 ;
2.1.14.а) z = 2x7 y4 + 3x2 − y4 − 1;
2.1.15.а) z = − x4 y4 + 5x6 − 3y3 − 2 ;
2.1.16.а) z = 4x2 y2 − 2x5 − y + 10 ;
2.1.17.а) z = − x9 y4 + 2x3 + 4 y3 + 7 ;
2.1.18.а) z = 3x2 y5 + 7x3 − y−2 − 5 ;
2.1.19.а) z = 5x3 y−3 − 2x2 + y4 + 4 ;
2.1.20. |
а) z = − x4 y2 − 2x |
y + 4x − 2 ; |
2.1.21. |
а) z = 4x3 y2 + 7 |
x − y5 − 6 ; |
2.1.22. а) z = − x7 y6 + 6x3 y + 4x3 ; 2.1.23. а) z = x4 y2 − x2 + 4y−3 − 8 ;
2.1.24. а) z = −2x2 y5 − 2x y3 + 4y ;
30
b) z = (arcsin x) y .
b) z = xy3 ln sin(x − 2 y) . b) z = sin3 x cos(x + 3y) . b) z = ( y + x) arctg xy . b) z = 3x− y ln(x2
b) z = arcctg lnxy
b) z = arccos ln x y
b) z = e xy2 (x2 − .
b) z = 4 x2 + y2 (2x4 − y 4 ) . b) z = sin5 (x3 + xy − y3 ) . b) z = cos3 (x2 − y 2 ) .
b) z = (e x cos y + esin y )3 . b) z = y)sin(x− y) .
b)z = y ln x .
xln y
b) z = |
y 2 ln x |
|
. |
|||||
x ln(y 2 |
+ 1) |
|||||||
|
|
|
||||||
b) z = |
|
y 2 |
+ x |
2 |
|
. |
|
|
|
(x |
+ y) |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
b) z = ln(x − 2y) . ln(y + 2x)
b) z = x(sin x)cos y .
b) z = (x + y 2 ) x + 4y .
b)z = tg x ctg y .
x+ y
b)z = tg x + ctg y .
x2 + y2