Metodicheskie_rekomendatsii_k_vypolneniyu_KR_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

+ 2x3 = 0.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

661 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

7. Собственные значения и собственные векторы матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу Anxn и вектор-столбец

x		0
1
X = x2	≠	0	.
		...
...		...
		0
xn		0

Вектор X называется собственным вектором матрицы А, если существует такое действительное число λ ≠ 0 , что выполняется равенство

AX = λX .

(4)

Число λ называется собственным значением или собственным чис-

лом матрицы А.

Решим матричное уравнение

AX = λX;

AX − λX =O ;

(A − λE ) X = O.

Чтобы полученное уравнение имело ненулевое решение, необходимо,

чтобы матрица A − λE была вырожденной т.е.
A − λE = 0 .	(5)

Уравнение (5) называется характеристическим уравнением.

Из уравнения (5) находят собственные значения. Подставляя их в уравнение (4), находят собственные векторы матрицы А.

Пример 11. Найти собственные числа и собственные векторы матри-

8		5	3
	0	2	−6
цы A =				.
	0	−1	1

Решение. Запишем матрицу A − λE .
	8	5 3				1 0 0		8			5 3	λ 0 0
	0	2 −6				0	1 0		0 2 −6				0 λ 0	=
A − λE =	0	2 −6		− λ		0	1 0	=	0 2 −6			−	0 λ 0	=
	0	−1 1				0	0 1		0		−1 1		0 0 λ
	0	−1 1				0	0 1		0		−1 1		0 0 λ
				8	−	λ	5		3
		=			0		2 − λ		−6
		=			0		2 − λ		−6		.
					0		−1	1− λ
Составим характеристическое уравнение:
			8 − λ				5	3
			8 − λ				5	3
				0			2 − λ	−6		= 0;
				0			−1	1− λ

	8 − λ	5	3		(		)	((			)	(		)		)
	8 − λ	5	3
	0	2 − λ −6				8 − λ			2 − λ						− 6
	0	2 − λ −6		=		8 − λ			2 − λ			1− λ			− 6		=
	0	−1	1− λ
= (8 − λ) (2 −3λ + λ2 − 6)= (8 − λ) (λ2 −3λ − 4)= 0.
Решим полученное уравнение:
			(8 − λ) (λ2 −3λ − 4)= 0;
	λ = 8 или λ2 −3λ − 4 = 0; λ									= −1; λ			= 4.
1									2			3

λ1 = 8 , λ2 = −1, λ3 = 4 – собственные значения матрицы А.

Для каждого из полученных собственных значений найдем собствен-

ные векторы матрицы А.
8 −8	5		3	0	5 3
	2 −	8
1) Если λ = 8 , то A − λE = 0	2 −	8	−6	= 0	−6 −6
0	−1		1−8	0	−1 −7

и матричное уравнение выглядит:
0		5	3	x		0
	0	−6	−6	1		0
	0	−6	−6	x2	=	0	.
	0	−1	−7			0
	0	−1	−7	x3		0

Этому уравнению соответствует однородная система линейных урав-

5x2 + 3x3 = 0;

нений −6x2 − 6x3 = 0;

−x2 −7x3 = 0.

Из второго уравнения x2 = −x3 , тогда оставшиеся два уравнения будут

иметь вид:
−5x	3	+ 3x	3	= 0;	−2x	3	= 0;	x		= 0, x		= 0, x = m, m , m ≠ 0.
	3		3			3		x	3	= 0, x	2	= 0, x = m, m , m ≠ 0.
x3 −7x3 = 0;					−6x3 = 0;				3		2	1
x3 −7x3 = 0;					−6x3 = 0;

Тогда вектор X1 = 0

, m , m ≠ 0 – собственный вектор матрицы А.

8 +1		5	3		9 5 3
	0	2 +1	−6			0	3 −6
2) Если λ = −1, то A − λE =					=
	0	−1	1+			0	−1 2
				1

и матричное уравнение выглядит:
9		5	3	x		0
	0 3		−6	1		0
	0 3		−6	x2	=	0	.
	0	−1 2				0
	0	−1 2		x3		0

Этому уравнению соответствует однородная система линейных урав-

Очевидно, что система содержит два одинаковых уравнения: второе и

9x + 5x				+ 3x		= 0;
третье, поэтому ее можно переписать в виде:	1		2		3
		− x2 + 2x3 = 0.

Отсюда:

+ 5x

+ 3x

= 0;

+10x

+ 3x

= 0;

= −13 x

;

− x2 + 2x3 = 0;

= 2x3;

x2 = 2x3;

x3 = 9k, x2 =18k, x1 = −13k, k , k ≠ 0.

−13k

Тогда вектор X2 =

18k , k

, k ≠ 0 – собственный вектор матрицы А.

	8 − 4			5		3				4	5 3
		0		2 − 4	−6					0	−2 −6
3) Если λ = 4 , то A − λE =		0		2 − 4	−6				=	0	−2 −6
		0								0	−1 −3
		0		−1 1− 4						0	−1 −3
и матричное уравнение выглядит:
4		5	3	x		0
	0	−2	−6	1	=		0
	0	−2	−6	x2	=		0	.
	0	−1	−3				0
	0	−1	−3	x3			0

Этому уравнению соответствует однородная система линейных урав-

Очевидно, что система содержит два одинаковых уравнения: второе и

4x + 5x				+ 3x		= 0;
третье, поэтому ее можно переписать в виде:	1		2		3
		− x2		−3x3		= 0.

Отсюда:

4x + 5x

+ 3x

= 0;

4x −15x

+ 3x

= 0;

x = 3x

;

− x2 −3x3 = 0;

= −3x3;

x2 = −3x3;

x3 = t, x2 = −3t, x1 = 3t, t , t ≠ 0.

Тогда вектор X3 =

−3t , t

, t ≠ 0 – собственный вектор матрицы А.

−13k

Ответ: X1

, X

18k

, X3

−3t , m,k,t

, m ≠ 0,k ≠ 0, t ≠ 0.

Аналитическая геометрия

8. Векторы в 2 u 3. Скалярное произведение векторов.

Вектором называют направленный отрезок или упорядоченную пару (тройку) чисел. Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на прямой, называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компла-

нарными.

Проекцией вектора AB на ось Ox называется длина отрезка CD этой оси, заключенного между основаниями перпендикуляров, прове-

денных из начальной и конечной точек вектора AB , взятая со знаком плюс, если направление отрезка CD совпадает с направлением оси проекции (рис. 2), и со знаком минус, если эти направления противоположны (рис. 3).

		B			B
A		α				α
A		α	x			A	x
0 C						A
		D		0	D	C
		D		0	D	C
	Рисунок 2					Рисунок 3

Проекция вектора на ось равна длине вектора, умноженной на косинус угла между вектором и осью:

прOx AB =| AB | cosα.

Проекции вектора на координатные оси называются координатами

вектора: a = (x;y;z); AB = (xB − xA;yB − yA;zB − zA ).

Линейными операциями над векторами называют сложение и вычи-

тание векторов, умножение вектора на постоянное число.

Если векторы a и b заданы своими координатами a = (x1;y1;z1),

b = (x2;y2;z2 ), то a ± b = (x1 ± x2;y1 ± y2;z1 ± z2 ).

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

a b =| a | | b | cosϕ; a b =| a | прab =| b | прba.

Отметим, что a b = 0 тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны или хотя бы один из них нуль-вектор.

Из формулы скалярного произведения векторов легко получить формулу для определения угла между векторами:

cosϕ =	a b	.

	\| a \| \| b \|
Если векторы a и b заданы	своими координатами a = (x1;y1;z1),

b = (x2;y2;z2 ), то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

a b = x1x2 + y1y2 + z1z2.

Если вектор a задан своими координатами a = (x1;y1;z1), то его длину можно найти по формуле:

a = x12 + y12 + z12 .

Механический смысл скалярного произведения. Если материаль-

ная точка, на которую действует сила F , совершает перемещение вдоль вектора s , то работа А силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения: A = F s.

9. Векторное произведение векторов.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов с общим началом называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется век-

тор a ×b , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах | a ×b |=| a | | b | sinα , который перпенди-

кулярен плоскости векторов a и b и направлен так, чтобы тройка векторов a, b, a ×b была правой.

Отметим, что a ×b = 0 тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны или хотя бы один из них нуль-вектор.

Если векторы a и b заданы своими координатами a = (x1;y1;z1), b = (x2;y2;z2 ), то их векторное произведение равно

	i	j	k
a ×b =	x1	y1	z1	.
	x2	y2	z2

Механический смысл векторного произведения. Пусть некоторое твердое тело неподвижно закреплено в точке А, а в точке В этого тела приложена сила F . В этом случае возникает вращающий момент, численно равный произведению | AB | | F | sinα. В механике его принято

называть моментом силы: M = AB ×F .

10. Смешанное произведение трех векторов.

Смешанным произведением трех векторов называется число, которое получится, если первые два вектора перемножить векторно и результат скалярно умножить на третий вектор: (a ×b) c = a b c .

Отметим, что смешанное произведение векторов a b c = 0 тогда и

только тогда, когда векторы компланарны или хотя бы один из них нульвектор.

Смешанное произведение некомпланарных векторов a, b, c по моду-

лю численно равно объему параллелепипеда, построенного на векто- рах-сомножителях. Оно положительно, если тройка векторов правая, и отрицательно, если она левая.

Если векторы a , b и c заданы своими координатами a = (x1;y1;z1), b = (x2;y2;z2 ), c = (x3;y3;z3 ), то смешанное произведение равно опреде-

лителю

x1 y1 z1 a b c = x2 y2 z2 .

x3 y3 z3

Пример 12. Даны четыре точки: A(4;7;8), B(–1;13;0), C(2;4;9), S(1;8;9).

Найти:

6)угол между ребрами AB и AS;

7)площадь грани АВС;

8)объем пирамиды SABC.

Решение.

1)Для нахождения угла между ребрами AB и AS воспользуемся форму-

лой:	JJG	JJJG
JJJG JJJG	JJG	JJJG
JJJG JJJG	AB AS
cos ϕ = cos(AB,AS) =	JJJG		JJJG	.
	AB		AS
36

JJG

Найдем координаты и длины векторов AB и AS :

JJJG

− x

; y

− y

; z − z

) = (−1− 4; 13 −7; 0 −8) = (−5; 6; −8);

AB = (x

JJJG

AS = (xS − xA; yS − yA; zS − zA ) = (1− 4; 8 −7; 9 − 8) = (−3; 1; 1);

= x2 + y2 + z2 =

(−5)2 + 82 +(−8)2 =

+ 36 + 64 = 125 ≈11,180;

JJJG

(−3)2 +12 +12 =

9 +1

+1 =

11 ≈ 3,317.

Тогда cos ϕ =

−5 (−3) + 6 1−8 1

≈ 0,351.

125

2) Площадь грани АВС найдем по формуле:

SABC = 1 AB × AC .

JJG2

Найдем координаты вектора AC:

JJJG

AC = (xC − xA; yC − yA; zC − zA ) = (2 − 4; 4 −JJG7; 9 −JJG8) = (−2; − 3; 1) .

Найдем векторное произведение векторов AB и AC:

AB × AC =

−5

−8

−2

−3

= i (6 1−(−8) (−3)) − j ((−5) 1−(−8) (−2)) + k ((−5) (−3) − 6 (−2)) =

= −18i + 21j + 27k.

Тогда площадь грани АВС равна:

SABC =

AB × AC

(−18)2 + 212

+ 272

1494

≈ 38,652

=19,326 (ед2 ).

3) Найдем объем пирамиды SABC:

V =

JJJG JJJG JJJG

JJJG

AB AC AS

, AB

AC AS =

пир

JJJG

JJG

= (x

; y

; z

) = (−2;−3;1);

AB = (x ; y ; z ) = (−5;6;−8) ; AC

JJJG

AS = (x3; y3; z3 )

= (−3;1;1) .

JJJG

−5

−8

= 20 − 6 + 88 =102.

AB AC AS

−2

−3

Vпир =

102 =17 (ед3 ).

11. Прямая на плоскости.

Выпишем различные виды уравнения прямой L на плоскости:

1. L: Ax + By +C = 0 – общее уравнение прямой, вектор n =(A;B) перпендикулярен прямой и называется ее нормальным вектором.

2.L: A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0 – уравнение прямой с нормальным вектором (A; B) , проходящей через точку M0(x0;y0 ).

3.L : ax + by =1 – уравнение прямой «в отрезках».

4. L : y = k x + b – уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tgϕ , где ϕ – угол между прямой L и положительным направлением оси Ox.

5.L : y − y0 = k(x − x0 ) – уравнение прямой с угловым коэффициентом k = tgϕ , проходящей через точку M0(x0;y0 ).

6.L : x = x0 + mt, – параметрические уравнения прямой L, где вектор

y = y0 + nt,

s = (m;n) параллелен прямой L и называется направляющим вектором прямой, параметр t .

L :

x − x0

y − y0

– уравнение прямой с направляющим вектором

s = (m;n) , проходящей через точку M0(x0;y0 ).

L :

x − x1

y − y1

– уравнение прямой, проходящей через две за-

− x

− y

данные точки M1(x1;y1) и M2(x2;y2 ).

Углом между двумя прямыми называют угол между их нормальными векторами.

1) Пусть прямые L1 и L2 заданы общими уравнениями:

L1 : A1x + B1y +C1 = 0 , L2 : A2x + B2y +C2 = 0 ,

тогда угол между прямыми

определяется по формуле:

cosϕ =

n1 n2

A1A2 + B1B2

| n1 | | n2

A 2

+ B 2

A 2

+ B

Условие перпендикулярности этих прямых: A1A2 + B1B2 = 0 .

Условие параллельности:

L1 : y = k1x + b1 и

2) Пусть прямые L1

заданы

уравнениями:

L2 : y = k2x + b2 , тогда угол между прямыми определяется по формуле:

tgϕ = k2 − k1 . 1+ k1k2

Условие перпендикулярности этих прямых: k1 k2 = −1.

A2 + B2

Условие параллельности: k1 = k2 .

Расстояние от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By +C = 0 определя- ется по формуле d = | Ax1 + By1 +C | .

Пример 13. Даны вершины треугольника АВС: А(4;3), В(–3;–3), С(2;7). Найти:

1)длину стороны АС;

2)длину высоты ВН, проведенной из вершины В;

3)уравнение высоты ВН;

4)уравнение медианы СМ, проведенной из вершины С;

5)сделать чертеж.

Решение.					JJG
1) Длину стороны АС найдем как длину вектора
					AC:
JJJG		= (xC − xA; yC	− yA ) = (2	− 4; 7 −3)	= (−2; 4);
AC
	JJJG	= (−2)2 + 42 = 4 +16		= 20 ≈ 4,472.
	AC

2) Для нахождения длины высоты ВН составим уравнение прямой (АС). Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки A(x1;y1) и C(x2;y2 ):

(AC) :

x − x1

y − y1

(AC) :

x − 4

y −3

(AC) :

x − 4

y −3

2 − 4

7 −3

−2

− x y

− y

Найденное уравнение прямой (АС) можно записать в виде:

(AC) :

x − 4

y −3

(AC) :

x − 4

y −3

(AC) : 2x + y −11 = 0.

−2

−1

Тогда, расстояние от точки В(–3; –3) до прямой (AC) : 2x + y −11 = 0 :

d = \| 2 (−3) +1 (−3) −11\|	=	\| −20 \|	= 4 5 ≈ 8,944.
22 +12		5

JJJG3) Высота ВН перпендикулярна прямой (АС). Следовательно, вектор AC BH и является нормальным вектором прямой (ВН). Составим урав-

нение высоты ВН, пользуясь уравнением прямой, заданной нормальным

JJJG

вектором AC = (−2; 4) , проходящей через заданную точку B(−3;−3):

(BH): − 2(x −(−3)) + 4(y −(−3)) = 0 −(x + 3) + 2(y + 3) = 0 − x + 2y + 3 = 0. 4) Найдем координаты середины отрезка АВ по формуле:

+ x

+ y

−3

xM =

;

yM =

;

; 0

Для составления уравнения меди-

аны СМ воспользуемся формулой

уравнения прямой, проходящей че-

рез две точки С(2;7) и M

; 0

(CM):

x − 2

y −7

x − 2

y −7

;

1 2 − 2 0 −7

−3 2

−7

(CM): 14x −3y −7 = 0.

–3

M 1 2

5) Решение задачи проиллюстри-

руем на рис. 4.

	B	–3
	B	Рисунок4
		Рисунок4

12. Плоскость.

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax + By +Cz + D = 0, где n = (A;B;C) называют нормальным вектором плоскости, причем выпол-

няется условие A2 + B2 +C2 ≠ 0 .

Существуют различные способы задания плоскости, выпишем соот-

ветствующие им уравнения:

1. A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 –

уравнение плоскости с извест-

ными нормальным вектором n = (A;B;C)

и точкой M0(x0;y0;z0 ),

принад-

лежащей плоскости.

+ z =1

–

уравнение

плоскости

в «отрезках»,

причем

a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.

x − x1

y − y1

z − z1

= 0 – уравнение плоскости, проходящей че-

x2 − x1

y2 − y1

z2 − z1

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

рез три заданные точки Mi (xi ;yi ;zi ),

(i =1,2,3) .

Рассмотрим две плоскости: α: A1x + B1y +C1z + D1 = 0

и β: A2x + B2y +C2z + D2 = 0 .

Углом между двумя плоскостями α

и β

называется угол между их

нормальными векторами:

cosϕ =

n1 n2

A1A2 + B1B2 +C1C2

A12 + B12 +C12 A22 + B22

+C22

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.201624.06 Кб15means of communication.doc
#
18.02.20161.98 Mб10mechkovskaia.pdf
#
18.02.2016147.97 Кб4melkie_shpory.doc
#
18.02.2016136.7 Кб3Metadychka_GViT_d_.doc
#
18.02.2016371.71 Кб8metod-dipl 1.doc
#
18.02.2016661 Кб9Metodicheskie_rekomendatsii_k_vypolneniyu_KR_1.pdf
#
23.11.2019743.42 Кб6metodicheskie_ukazaniaOOP_1_chast.doc
#
17.11.2019156.16 Кб12Metodicheskie_ukazania_po_kursovomu_proektirova...doc
#
18.02.2016567.3 Кб6Metodicheskie_ukazanija.pdf
#
23.11.201973.73 Кб4metodichesk_posobie_dlya_kursovogo_proekta_po_P...doc
#
18.02.2016198.66 Кб7metodichka.doc