Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кировоградский государственный педагогический университет им. В. Винниченко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

shatyrko-18

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.02.2016

Размер:

1.42 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

тоді при t 0 буде

виконуватися x(t),t V , . Покажемо, що це буде

виконуватися і при t 0.

Обчислимо повну похідну функції Ляпунова V x,t в

силу інтервальної системи з запізненням

V x(t),t V x(t) e t

C A B, H , 2

x(t)

min

2e t

H B B

x(t)

x(t) x(t )

Нехай, від зворотного, при деякому T 0

буде x(T ),T V , . Це значить, що

T )

x(T

)

V x(T ),T

min H

V x(T ),T e T

x(T )

max

x(T )

e 2

x(T )

Підставимо отриманий вираз до значення повної похідної функції Ляпунова

V x,t при t T , отримаємо

C A B,H,

V x(T ),T e T

min

x(T )

2e T H B B 1 e 2

H x(T )

max

Або, використовуючи наведені в (27), (29) позначення, отримаємо

V x(T ),T L1

max H

x(T )

За умовою при 0 вираз в фігурних дужках негативний. Вочевидь, в силу неперервності він буде негативним і при деякому, достатньо малому 0.

Розглянемо нерівність

max H

L1 H , 1 2

H e 2

1 .

Функція

по змінній

є опуклою,

монотонно спадаючою і задовольняє

умовам

0 L1 H, 1 2

H, 1 2

* 0,

ln 1

Замінимо функцію прямою,	яка	з’єднує точки				0, (0) ³ * ,0 , тобто
прямою
~					.
	0 1				.


				*

Оскільки функція опукла, то нерівність
			~
max H
буде тим паче виконуватись для всіх		таких, що

0 ** ,

де ** є розв’язком рівняння

							*
						H .

0 1		*
		*			max

Розв’яжемо його й отримаємо
**			0 *
**	0			*		~
				*		~
					max H
Таким чином при отриманому	**				повна похідна буде негативно

визначеною і, як витікає з твердження 1, буде справедлива експоненційна

оцінка (29) збіжності розв’язків інтервальної системи з запізненням (25).

3.2. Інтервальна стійкість систем прямого регулювання з малим запізненням

В цьому розділі також будемо розглядати інтервальну систему з запізненням вигляду (25). Як і в попередньому розділі, припустимо, що

матриці A і B точно не відомі, а їх елементи можуть приймати свої

значення з деяких фіксованих інтервалів (26). Нелінійна функція одного аргументу f ( ) задовольняє умові (20).

На відміну від попереднього розділу, в даному будуть отримані достатні умови інтервальної стійкості системи з запізненням (25) для «малого»

фіксованого запізнення 0 , що залежить від параметрів системи. При їх

отриманні використовується другий метод О.М. Ляпунова з функцією вигляду

квадратична форма плюс інтеграл від нелінійності (23)

(x )

V0 (x ) x T Hx f ( )d , (x ) c T x.

Позначимо

через

V поверхню рівня

(x) функції Ляпунова (23), а

область, яку вона обмежує,

тобто

V x : V

(x) , V

x : V

(x) .

Наведемо деякі допоміжні результати.

Лема 1.

Нехай розв’язок x(t )

системи

(25) задовольняє початковій умові

x(0)

. Тоді

на проміжку 0 t буде виконуватись нерівність

x(t)

N (t) ,

N (t) (1 bt)eat ,

(30)

Доведення. Запишемо систему

(25) в інтегральному вигляді

(A A)x(s) (B B )x(s ) bf (c T x(s))ds.

x(t) x(0)

На проміжку 0 t

буде виконуватись нерівність

x(t)

B B

A A

x(s)

ds.

Використовуючи нерівність Гронуола-Беллмана, отримаємо, що на

проміжку

0 t справедлива нерівність

x(t)

B B

A A

t .

Використовуючи приведені позначення, отримаємо твердження леми 1.

Лема 2. Нехай на

проміжку

T 2 t T, T

виконується x(t) V0 , а

при t T буде x(T ) V0 .

Тоді справедлива наступна нерівність

x(T ) x(T )

x(T )

(31)

(a b) (H )

Доведення. Запишемо систему (25) в вигляді

x(T ) x(T ) (A A)x(s) (B B )x(s ) bf (c T x(s))ds.

Звідси отримаємо

x(T ) x(T )

(

A A

x(s)

B B

x(s )

x(s)

)ds.

Оскільки за умовою леми на проміжку

T 2 t T

буде

x(t) V0 ,

x(T ) V0 ,

тоді

V0 (x(T )) max

min(H )

x(t)

(x(t))

(H )

x(T )

Звідси

x(s)

x(T )

x(s )

x(T )

(32)

(H )

Й отримаємо

x(T ) x(T )

(

A A

B B

)

x(T )

(H )

Звідси витікає твердження (31) леми 2. Введемо наступні позначення

( A B)

H H ( A B)

Hb ( ( A B)

I )

C A B, H ,

Hb ( ( A B)T I )

1/ k bT c

			T	H H ( A B)
( A B)				H H ( A B)
C A B, H ,					1
	T				1
c		( A B)				c
c		( A B)				c
					2

( A B)T 12 c

2 2

L2 (H, ) min (C A B, H, ) 2 (

Використовуючи наведені леми отримаємо наступні умови абсолютної

інтервальної стійкості.

Теорема 14. Нехай існує додатно визначена матриця H

і скаляр

при

C A B,H,

яких

min(H ) 0

матриця

додатно визначена.

Тоді

при

L2(H, ) 0 і 0 , де

L(H )

(33)

)(a b) (H )

система (25)

буде абсолютно інтервально стійкою і для її розв’язків буде

виконуватися

x(t)

, t 0,

як тільки

x(0)

( , ),

де

( , )

(1 b ) 1e a

(34)

(H )

Доведення. Повна похідна функції Ляпунова V0 (x)

виду (23)

силу

системи (25)

буде мати вигляд

(x ) (xT (t ), f ( (t ))) C A B, H, C A B, H,

(x T (t ), f ( (t )))T

H(B B )

x(t )

x(t ) x(t )

Нехай існують H

при

яких

матриця

C[ A B, H, ]

min(H ) 0

позитивно визначена.

Якщо

“збурені” матриці A

і B такі, що

L2(H, ) 0,

тоді

матриця

C[A B,H, ] C[ A B,H, ]

також

позитивно

визначена і справедлива нерівність

V (x(t))

min

C A B, H , (2

(

)

x(t)

H (B B)

x(t)

x(t) x(t )

Для

довільного 0

виберемо

( , ) згідно (34). Тоді,

як витікає з нерівності

(30)

леми 1, для довільного розв’язку x(t ) системи

(25), що задовольняє умові

( , ),

x(0)

при

0 t

буде виконуватися

x(t)

/ (H )

тобто

Покажемо, що це збережеться і при t .

Нехай це не

x(t) V0

, min(H )

так

існує

T ,

при

якому

x(T ) V

Тоді,

як

витікає

леми

справедлива нерівність (31) і для повної похідної

функції

Ляпунова

V0 (x)

момент

t T

буде виконуватися

V0 (x(t )) min(C[A B, H, ]) (2

)

(

) 2

H(B B )

(a b) (H ) x(t )

Нехай збурення системи

B такі, що

виконується L2(H, ) 0.

Тоді

при 0 ,

де

0 визначено

(32), повна похідна функції Ляпунова

V0 (x )

в момент

t T

буде негативно визначеною.

З цього витікає асимптотична

стійкість системи (25).

Покажемо, що розв’язки

системи (25) наближаються до положення

рівноваги за експоненційним законом.

Для цього, як витікає з попередньої

глави, візьмемо функцію

Ляпунова неавтономного виду

V (x,t) e tV0 (x), 0.

Відповідно позначимо

V ,

V , поверхні рівня

V (x,t)

область в

розширеному фазовому просторі, яку вона обмежує

V ,

(x,t) :e tV

(x) ,

V ,

(x,t) : e tV

(x) .

Лема 3.

Нехай існує

таке,

що

інтегральна крива

(x(t),t) в

розширеному фазовому просторі Rn R

належить V , .

Тоді

справедлива

нерівність

(35)

x(t)

/ min(H )e t /2 , 0.

Доведення.

Як витікає з нерівностей квадратичних форм і умови леми 3,

виконується нерівність

e tV0 (x(t))

. .

e t min(H )

x(t)

Звідси витікає співвідношення (35).

Лема 4. Нехай існує T , що на

проміжку

T 2 t T,

виконується

x(t),t V , ,

а при t T

буде (x(T ),T ) V , . Тоді справедлива наступна

нерівність

x(T ) x(T )

(ae /2 be )

x(T ).

(36)

(H )

Доведення. Як витікає з інтегрального представлення системи (25), буде

виконуватися співвідношення

x(T ) x(T )

(

A A

x(s)

B B

x(s )

k bc x(s))ds.

Зумови леми 4 і нерівностей квадратичних форм витікає, що

e t

x(t)

V (x(t,t)) V (x(T ),T ) e t

x(T )

min

(H )

max

(H )

Звідси отримаємо, що

e /2

x(s )

x(s)

(H )

x(T )

(H )

x(T )

Й отже

x(T ) x(T ) ( A A e / 2 B B e


k	b	c	e / 2 )	~	x(T )	.
k	b	c	e / 2 )	(H )	x(T )	.

Звідси витікає твердження (36) леми 4.

За допомогою приведених лем отримаємо наступне твердження.

Теорема 15. Нехай існує додатно визначена матриця H і скаляр

, при

C[A B,H, ] додатно визначена. Якщо збурення

яких

min(H ) 0

і матриця

A і

такі,

що

виконується

L2(H, ) 0,

0 ,

тоді при

0 , де

визначено в (33),

для розв’язків x(t ) системи (25)

справедлива наступна експоненційна оцінка збіжності

N (t )

x(0)

0 t ,

x(t )

(37)

N ( )

(H )

x(0)

exp

) ,

t ,

де

(0, )

max (H )

0 (0, ) L2 (H , )(1 ),

/ 0 ,

(38)

4 b(a b) a

* ln 2

Доведення. Перша частина нерівності						(37) витікає з нерівності (30) леми
1. Розглянемо t .	Покладемо
		N( )					2		~
							2		~
					x(0)			max (H ).
								max (H ).
Тоді при t	буде виконуватися							(x(t),t)) V , .		Покажемо, що це
збережеться і при	t ,	якщо			вибирати згідно					(38). Візьмемо повну
похідну функції Ляпунова		V (x,t)	в	силу		системи (25)
	.								(C A B,H, )
	V (x(t )) V (x(t ),t ) e t						min		(C A B,H, )

(2 H c )( A B ) x(t ) 2

2e t H(B B )x(t )x(t ) x(t ).

Нехай, від зворотного,

при деякому T

буде

(x(T ),T ) V , . Тоді

виконуються умови леми

4 і

справедлива

нерівність

(36). Підставивши її в

оцінку повної похідної, при

t T

отримаємо

min(C A B, H, )

V (x(T ),T )

)

(

)

x(T )

(H )}e T

max

H(B B )

x(T )

(ae /2 be ) (H ) e T

Або

V (x(T ),T ) { min(C A B,H,

) 2 (

)

H(B B )

x(T )

(ae /2 be ) (H )

(H )}e T

max

При

0 повна похідна буде негативно визначеною. Очевидно, в

силу

неперервності, це збережеться й

при

достатньо

малих 0, 0.

Розглянемо нерівність

(H, ) 2(

)(ae /2

be ) (H )

(H ).

max

Перепишемо її у вигляді

( , ) max (H )

( , ) L2 (H , ) 1

/ 0 , 0 1.

ae b
	,	(39)
a b	,	(39)
a b

Оскільки 0 , тоді

при

вона

виконується.

Тому,

в силу

неперервності, це буде

виконуватися і при достатньо малому 0. Функція

( , ) при кожному фіксованому

за

змінною

є опуклою

догори, монотонно спадаючою і задовольняє умовам

(0, ) L

(H, )(1 ) 0,

( * , ) 0,

4 b(a b) a

2 ln

Замінимо

функцію

( , ) відрізком прямої, що з’єднує

точки (0, (0, )) і

( * ,0) . Отримаємо

( ,0)

(0, ) 1

Оскільки функція

( , ) опукла догори, тоді

для розв’язків рівняння

(0, )(1 / * )

(H )

max

нерівність

(39)

буде виконуватися і поготів. Розв’язавши його отримаємо

(0, )

max

(H )

Таким чином

при

обчисленому

буде

виконуватися

(39), тобто повна

похідна функції Ляпунова

V (x,t) буде негативно визначеною. Це забезпечує

(x(t),t) V ,

при

t T.

А тоді

за лемою 3 виконується нерівність

(35),

тобто при

вибраному

буде справедлива оцінка збіжності розв’язків

x(t ) ,

наведена в (37).

Теорема доведена.

3.3. Інтервальна стійкість систем непрямого регулювання з запізненням

В цьому розділі будуть розглянуті так звані системи «непрямого регулювання». Вони характеризуються наявністю одного нульового власного числа матриці лінійного наближення Розглянемо систему регулювання, що описується диференціальними рівняннями вигляду


x(t) Ax(t) bf ( (t)),		(t) cT x(t) f ( (t)).	(40)
Тут t 0, b, c, x t Rn ,	A квадратна	асимптотично стійка матриця,	0

скаляр. Скалярна функція керування f ( ) точно не відома, вона знаходиться

в межах сектора, розташованого в першій і третій координатних четвертях,

тобто задовольняє умовам

k 2 f ( ) k 2 ,

k 0.

(41)

Асимптотична стійкість в цілому положення рівноваги x(t) 0,

(t) 0 системи

(40) при довільній функції

f ( ), що задовольняє умовам

(41),

отримала

назву абсолютної стійкості. Розглянемо

ситуацію, коли матриця A системи

(40) точно не

відома і рівняння мають вигляд

x(t) (A A)x(t) bf ( (t)),

(t) cT x(t) f ( (t)).

(42)

Тут

A aij

aij

ij ,

i, j 1,n.

(43)

Асимптотична стійкість нульового положення рівноваги системи

(42) при

довільній фіксованій матриці

A, елементи якої задовольняють умовам (43),

називається

абсолютною інтервально

стійкістю. Для

систем

виду (42)

необхідних і

достатніх умов

абсолютної

інтервальної

стійкості,

наскільки

відомо автору, не існує.

В даному розділі отримані достатні умови абсолютної інтервальної стійкості

систем такого вигляду з запізненням. При дослідженні використовується

функція Ляпунова виду ”квадратична форма плюс інтеграл від нелінійності”

V0 (x, ) x T Hx f ( )d .

(44)

Для

неї

справедливі нерівності типу

нерівностей квадратичних форм

2 ,

min(H )

V0 (x, ) max (H )

(45)

де

) min min(H ), k1 /2 ,

) max max (H ), k2 /2

min(

max (

Тут

min(H ), max (H ) мінімальне

і максимальне

власні

числа симетричної

додатно визначеної матриці H.

Позначимо через

V0 поверхню

рівня V0 (x, )

функції Ляпунова

(x, ),

а через V

область,

яку вона

обмежує,

тобто

(x, ) :V

(x, ) , V (x, ) :V

(x, ) .

Тут і далі

(t ) (x(t ), (t )),

x 2 (t ) 2

1/2

(t )

(AAT ) 1/2 ,

i 1

max

(H )

max

(H )/

min

(H ),

max A

ij ,

i, j

(46)

aij

1,n

C[A, H ]

AT H HA

(Hb 1/2c )

(Hb 1/2c )T

Покажемо, що асимптотична стійкість має експоненціальний

характер,

тобто існують сталі

N 0, 0, при

яких

x (t)

x (0)

ехр t / 2 , t 0.

При доведенні цього факту

вже

будемо використовувати

неавтономну

функцію Ляпунова

V (x, ,t) e tV0 (x, ).

(47)

Відповідно

будемо

позначати

V ,

V , поверхні

рівня

V (x, ,t) і

область в розширеному фазовому просторі,

яку вона обмежує

V , (x, ,t) : e tV

(x, ) ,

V ,

(x, ,t) : e tV

(x, ) .

Попередньо доведемо ряд допоміжних результатів.

Лема 5.

Нехай існує

при

якому інтегральна крива

(x (t),t) в

розширеному фазовому просторі Rn 1 R належить

V , . Тоді

справедлива

нерівність

(

)e t ,

(48)

(t)

min

Доведення. Як витікає з виду

функції

Ляпунова, будуть виконуватися

двосторонні нерівності

e t

)

x (t)

2 e tV (x(t), (t)) .

min

(

Звідси витікає співвідношення (48).

Лема 6. Нехай існує симетрична позитивно визначена матриця H , при

якій матриця

C[A, H ] позитивно визначена.

Тоді при

min(C[A,H ])/2

(49)

система (40)

інтервально стійка, і для її розв’язків справедлива наступна

експоненційна оцінка збіжності

x (t )

(H )

(0)

exp

t , t

)min1,k 2

(50)

(

min

(C[A,H ]) 2

max (H )

(0),0) V , V , .

Доведення.

Покладемо

(0)

Тоді (x

max

(H )

Покажемо, що

(t),t) V ,

при всіх

t 0.

Якщо

матриця

H позитивно визначена і функція f ( )

задовольняє умовам

(41),

тоді функція V (x, ,t) виду (47) буде

позитивно визначеною.

Її повна

похідна в силу

системи (42)

має вигляд

V (x(t ), (t ),t) V (x(t ), (t ),t ) e t (xT (t ), f ( (t )))

C[A,H ] C[ A,H ] (xT (t ), f ( (t )))T ,

де

AT H H A 0

C[ A, H ]

Виберемо матрицю

A таким чином, щоб

min(C[A,H ]) max( C[ A,Y ]) 0.

(51)

За умовою матриця C[A, H ]

позитивно визначена.

Тому, якщо

елементи

матриці A такі, що

min(C[A,H ]) 2

тоді нерівність

(51)

буде виконуватися тим паче.

тоді для похідної

функції Ляпунова буде справедливо

.	A
V (x(t ), (t ),t ) min(C[A,H ]) 2H

( x(t )2 k12 2(t )) max (H )( x(t )2 2(t )).

Іпри величинах , що задовольняють умові (50), повна похідна функції Ляпунова буде негативно визначеною. Це значить, що вектор швидкості

руху направлено чітко всередину V ,	і	(x		(t),t) V ,	при всіх t 0.

Нехай існує не тільки неточність в елементах матриці A, а й в аргументі при фазовій змінній, тобто система описується диференціальними рівняннями з запізнюючимся аргументом


	x(t ) (A A)x(t ) (B B )x(t ) bf ( (t ))						(52)
							(52)
		T	x(t ) f		( (t )).
		T
	(t ) c

Матриці A і	B можуть приймати свої значення з деяких фіксованих
інтервалів
	A aij ,
	A aij ,			aij	ij ,	i, j 1,n,	(53)
	B bij ,						(53)
	B bij ,			bij	ij ,	i, j 1,n.

Отримаємо умови інтервальної стійкості системи (52). Будемо

використовувати наступні позначення

x (t)

max

x(t s)

s 0

L3 (H ) min (C[ A B, H ]) 2

(H ) ),

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.02.201633.79 Кб40SCHEMES FOR ANALYZING TEXTS. Year 4.doc
#
12.11.201970.81 Кб1schodennik.docx
#
07.05.2019105.47 Кб3Seminaru_МСВР_12_физмат.doc
#
17.02.2016503.3 Кб9seminary-filosofy-32.doc
#
21.08.201941.61 Кб1seminar_4.docx
#
17.02.20161.42 Mб4shatyrko-18.pdf
#
17.02.2016423.94 Кб267shpargalki_po_detskoi_literature.doc
#
18.09.201936.22 Кб3shpori_ped.docx
#
18.09.201930.12 Кб3shpori_ped_1.docx
#
17.02.2016592.9 Кб61ShporOhoronPraci.doc
#
17.02.2016454.14 Кб17Simeyni_zvichayi_ta_obryadi.doc