Вакарчук І.О. Квантова механіка
.pdf
Вiдступ. “Геометрична” i “хвильова” механiка.
Е. Шрединґер опублiкував чотири статтi пiд загальною назвою “Квантування як проблема власних значень”.
Наведемо його мiркування з другого повiдомлення, де проводиться аналогiя мiж геометричними оптикою та механiкою. Якщо “геометрична” механiка незастосовна, коли радiуси кривизни й розмiри траєкторiї невеликi порiвняно з певною довжиною хвилi, то необхiдно розвинути “хвильову” механiку.
Для простоти почнiмо з одновимiрного випадку. Гiпотеза де Бройля:
E = ~ω,
p = ~k,
ψ(x, t) = Cei(kx−ωt)
хвиля де Бройля, що задовольняє хвильове рiвняння:
∂2ψ |
− |
1 ∂2ψ |
= 0, |
||
∂x2 |
v2 |
|
∂t2 |
||
де
v = ωk = Ep
фазова швидкiсть хвилi. Використаймо класичне спiввiдношення для енерґiї
E = p2 + U(x) 2m
i знайдемо фазову швидкiсть
|
~ω |
= |
|
~ω |
|
v = |
|
|
|
. |
|
p |
p |
|
|||
2m[~ω − U(x)] |
|||||
З явного вигляду для ψ одержуємо
∂ψ |
|
∂2ψ |
2 |
|
|
= −iωψ, |
|
= −ω |
ψ, |
∂t |
∂t2 |
161
тодi з хвильового рiвняння, урахувавши вираз для фазової швидкостi, отримуємо
∂2ψ 2m
∂x2 + ~2 [~ω − U(x)]ψ = 0,
тобто
− ~2 ∂2ψ + U(x)ψ = Eψ 2m ∂x2
стацiонарне рiвняння Шрединґера. Повертаючись до похiдних за часом, знаходимо нестацiонарне рiвняння Шрединґера
|
∂ψ |
|
~2 ∂2 |
|||
i~ |
|
= − |
|
|
|
+ U(x) ψ. |
∂t |
2m |
∂x2 |
||||
У загальному записi перепишемо це рiвняння так:
i~ |
∂ψ |
ˆ |
∂t |
= Hψ, |
де оператор ˆ є нiчим iншим, як оператором Гамiльтона
H
ˆ |
~2 ∂2 |
pˆx2 |
||||
H = − |
2m |
|
∂x2 |
+ U(x) = |
2m |
+ U(x). |
Ми без зусиль узагальнюємо рiвняння на випадок трьох вимiрiв, коли
ψ = ψ(x, y, z, t):
i~ |
∂ψ( |
x, y, z, t) |
= − |
~2 |
2 + U(x, y, z, t) ψ(x, y, z, t). |
|
|
∂t |
|
2m |
|||
Це i є хвильове рiвняння Шрединґера, що описує рух частинки у тривимiрному просторi в полi з потенцiальною енерґiєю U(x, y, z, t), яка залежить не лише вiд координат, а й вiд часу t. Iнтерпретацiя ψ-функцiї за Шрединґе-
ром пов’язана з хвильовими пакетами, з якими вiн ототожнював частинки. Це, однак, не вiдповiдає дiйсностi: хвильовий пакет iз часом розпливається,
ачастинки, як показує досвiд, нi.
§16. Закон збереження ймовiрностi. Рiвняння
неперервностi
Так само, як у класичнiй гiдродинамiцi iснує рiвняння неперервностi для густини маси, а з рiвнянь Максвелла випливає рiвняння неперервностi для густини заряду (тобто закон збереження заряду), так i з хвильового рiвняння Шрединґера випливає рiвняння неперервностi, яке дає закон збереження густини ймовiрностi. Дiйсно,
ρ = |ψ|2
162
густина ймовiрностi, i нехай оператор Гамiльтона
ˆ |
~2 |
|
2 |
|
H = − |
2m |
|
|
+ U(r). |
Далi маємо, використовуючи рiвняння Шрединґера,
∂ρ |
|
∂ψ |
∂ψ |
1 |
(ψ Hψˆ − ψHψˆ ) |
||
|
= |
|
ψ + ψ |
|
= |
|
|
∂t |
∂t |
∂t |
i~ |
||||
i з урахуванням явного вигляду оператора ˆ отримуємо:
H
∂ρ∂t = −2mi~ (ψ 2ψ − ψ 2ψ ).
Якщо ввести поняття густини потоку ймовiрностi
j = 21m(ψ pˆψ − ψpˆψ ) = −2im~ (ψ ψ − ψ ψ ),
то
div j = −2im~ (ψ 2ψ − ψ 2ψ ).
Отже, ми отримали, що
∂ρ∂t + div j = 0.
Це i є рiвняння неперервностi, яке описує закон збереження густини ймовiрностi. Вигляд цього рiвняння є в повнiй аналогiї з класичною механiкою, де воно описує закон збереження речовини, або з класичною електродинамiкою, де воно виражає збереження електричних зарядiв.
З рiвняння неперервностi випливає закон збереження ймовiрностi в iнтеґральнiй формi:
d Z |ψ|2dr = 0. dt
Це й не дивно, оскiльки саме ця рiвнiсть була покладена як одна з вимог, яку повинно задовольняти основне рiвняння квантової механiки рiвняння Шрединґера. Однак рiвняння в диференцiальнiй формi дає змогу нам зробити дуже важливий висновок про неперервнiсть потоку j. А це приводить, як видно з явного виразу для j, до вимог неперервностi хвильових функцiй та їхнiх
163
перших похiдних. Отже, хвильовi функцiї ψ(r, t) та їх похiднi за
просторовими координатами повиннi бути неперервними функцiями незалежно вiд поведiнки потенцiальної енерґiї, яка може бути i розривною функцiєю. Цi умови вiдiграють важливу роль при розв’язуваннi рiвняння Шрединґера для частинки, що рухається в полi зi складною топологiєю.
Зауважимо, якщо ψ є дiйсною функцiєю, то j = 0. Зобразимо
хвильову функцiю як комплексну величину в показниковiй формi
ψ = |ψ|eiϑ,
де ϑ фаза хвильової функцiї, тодi
j = ρv,
де швидкiсть
~
v = m grad ϑ.
Якщо частинка iз зарядом e знаходиться в електромагнiтному
полi, то оператор Гамiльтона, який вiдповiдає класичнiй функцiї Гамiльтона,
Hˆ = |
(pˆ − eA/c)2 |
+ eϕ, |
|
2m |
|||
|
|
де A, ϕ векторний та скалярний потенцiали поля. У цьому ви-
падку:
∂t |
= |
∂t |
ψ + ψ ∂t |
= i~ ψ Hψˆ |
− ψHˆ ψ |
|||||||||||
∂ρ |
|
∂ψ |
|
|
|
∂ψ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
(ψ |
pˆ − ec A |
2 |
|
|
pˆ |
− ec A |
2 |
ψ ) |
|||||
|
= |
|
|
|
|
ψ − ψ |
|
|
|
|
||||||
|
i~ |
2m |
|
|
|
2m |
||||||||||
|
= |
1 |
|
nψ pˆ2ψ |
− ψpˆ 2ψ |
− |
e |
ψ (pAˆ + Apˆ)ψ |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
2mi~ |
c |
||||||||||||||
+ec ψ(pˆ A + Apˆ )ψ o
= |
1 |
nψ pˆ |
2ψ − ψpˆ2 |
ψ − |
e |
ψ (pAˆ + Apˆ)ψ |
|
|
|||||
2mi~ |
c |
164
−ec ψ(pAˆ + Apˆ)ψ o
|
pˆ |
|
|
e |
|
|
= |
|
nψ pˆ |
ψ − ψpˆ |
ψ − 2 |
|
ψ Aψo . |
2mi~ |
c |
|||||
Тут ми використали умову поперечностi поля, div A = 0. Легко
бачити, що ми знову приходимо до рiвняння неперервностi з густиною потоку ймовiрностi
j = 21m (ψ pˆψ − ψpˆψ ) − mce Aψ ψ.
Для частинки в електромагнiтному полi у випадку, коли ψ
записана в показниковiй формi, потiк
|
~ |
|
e |
|
e |
||
j = |
|
|ψ|2grad ϑ − |
|
A|ψ|2 = ρ |
v − |
|
A |
m |
mc |
mc |
|||||
= ρ(p − eA/c) , m
тобто “вмикання” поля зсуває iмпульс частинки p на величину (−eA)/c, що цiлком узгоджується з класичною електродинамi-
кою.
§ 17. Змiна середнiх значень фiзичних величин iз часом.
Квантовi дужки Пуаcсона
Розглянемо деяку фiзичну величину A i вiдповiдний їй опера-
тор ˆ. Середнє значення
A
Z
A |
i |
= ψ (q, t)Aψˆ |
(q, t) dq. |
h |
|
|
Розглянемо тепер, як змiнюється це середнє iз часом. Для цього обчислимо похiдну
|
|
dthAi = Z |
( ∂t Aψˆ |
+ ψ |
|
ˆ |
ψ + ψ Aˆ ∂t ) dq |
||||||||
|
|
|
∂t |
||||||||||||
|
|
d |
|
|
∂ψ |
|
|
∂A |
|
|
|
∂ψ |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
ˆ |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂A |
|
|
|
|||||||
= |
Z (− |
|
(Aψˆ )Hψˆ + ψ |
|
|
ψ + |
|
ψ AHψˆ ˆ |
) dq |
||||||
i~ |
∂t |
|
i~ |
||||||||||||
165
= |
Z |
(−ψ |
i~ |
|
|
|
ˆ ˆ |
|
|
|
HA |
ˆ
ψ + ψ ∂A ∂t
|
ˆ ˆ |
ψ) dq. |
ψ + ψ |
AH |
|
i~ |
Уведемо оператор похiдної за часом вiд оператора ˆ такий,
A
що |
* |
c |
+ , |
||
|
d |
||||
|
dA |
||||
|
|
hAi = |
|
||
|
dt |
dt |
|||
тобто похiдна вiд середнього значення величини A дорiвнює сере-
дньому значенню вiд уведеного оператора похiдної:
c |
|
ˆ |
|
i |
− |
dA |
|
∂A |
|
1 |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
dt |
= |
∂t |
+ |
~ |
(AH HA). |
Ми вже ранiше вводили квантовi дужки Пуасcона
ˆ ˆ |
|
|
1 |
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
|||
{A, H} = |
|
i~ |
(AH − HA). |
|||||
Отже, маємо: |
|
|
|
|
{ |
|
} |
|
|
c |
|
|
|
ˆ |
|
||
|
dA |
|
∂A |
ˆ |
ˆ |
|
||
|
dt |
= |
|
∂t |
+ A, H . |
|||
Повна аналогiя з класичною механiкою: для фiзичної величини f = f(q, p, t) повна похiдна
df |
= |
∂f |
+ {f, H}кл, |
|
|
||
dt |
∂t |
де H = H(q, p, t) класична функцiя Гамiльтона, а класична дужка Пуассона для величин f1 i f2
{f1, f2}кл = |
∂f1 ∂f2 |
− |
∂f2 ∂f1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
. |
||
∂q ∂p |
∂q |
∂p |
||||||
Квантовi дужки Пуасcона тодi є ермiтовим оператором, коли вони складенi з ермiтових операторiв,
ˆ ˆ + |
ˆ ˆ |
{A, H} |
= {A, H}, |
ˆ+ |
ˆ |
A |
= A, |
ˆ + |
ˆ |
H |
= H, |
166
як i повинно бути, оскiльки вони описують реальний процес еволюцiю в часi фiзичних величин.
ˆ |
не за- |
Якщо фiзична величина A i вiдповiдний їй оператор A |
|
лежать явно вiд часу, то |
|
c
dA { ˆ ˆ } dt = A, H .
Розглянемо важливий клас фiзичних величин, так званих iнтеґралiв руху, тобто фiзичних величин, якi зберiгаються з часом:
dhAi
dt
= 0, hAi = const.
Як видно з означення оператора похiдної, для того щоб величина A була iнтеґралом руху, дужка Пуассона повинна дорiвнювати
нулевi:
ˆ |
ˆ |
{A, H} = 0, |
|
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
AH − HA = 0.
Iнакше кажучи, якщо оператор фiзичної величини комутує з гамiльтонiаном, то ця фiзична величина є iнтеґралом руху. Зокрема,
якщо ˆ не залежить явно вiд часу (консервативна система), а опе-
H
ратор ˆ завжди комутує сам iз собою, то його середнє значення,
H
тобто енерґiя, зберiгається.
Iснування iнтеґралiв руху вiдображає певну симетрiю системи. Причиною того, що оператор Гамiльтона не залежить явно вiд часу, є однорiднiсть часу. З уваги на цю однорiднiсть властивостi замкненої фiзичної системи не змiнюються при зсувах часу на деяку величину, оскiльки всi моменти часу для неї є еквiвалентними. Наслiдком цього, як бачимо, є закон збереження енерґiї1.
1Такi зсуви в часi є в нашiй iсторiї. Вiдомо, що твори античних авторiв пе-
реважно були вiдшуканi в епоху Вiдродження або безпосередньо перед нею, причому до нас дiйшли лише переписанi в цей час рукописи. Зокрема, це стосується “Елементiв” Евклiда i творiв Архiмеда, праць батька iсторiї Геродота й текстiв риторичних творiв Цiцерона та iнших. У зв’язку з цим, крiм питань причетностi античних авторiв саме до цих рукописiв та чужих пiзнiших вставок, виникає проблема хронологiї: виявилось, що необхiдно зсувати деякi дати iсторичних подiй, як правило, до нас, i стискати перiоди iсторичних епох. Мiж iншим, цим питанням займався i Ньютон, стиснувши, наприклад, на порядок “час життя” Стародавнього Єгипту, чим сполошив традицiйних
167
Закон збереження iмпульсу випливає з однорiдностi простору. Дiйсно, однорiднiсть простору означає, що при перемiщеннi си-
стеми як цiлого на будь-який довiльний вектор гамiльтонiан ˆ , a H
який визначає її властивостi, не повинен змiнюватись. Iнакше ка-
ˆ |
мусить комутувати з оператором змiщення |
|||||
жучи, оператор H |
||||||
|
ˆ |
a |
= e |
i |
apˆ |
, |
|
~ |
|||||
|
T = e |
|
|
|
||
де a постiйний вектор, pˆ оператор iмпульсу. А це означає, що
оператор ˆ комутує з оператором iмпульсу. Отже, виявляється,
H
що iмпульс є iнтеґралом руху2.
Ранiше ми мали твердження: якщо два оператори комутують мiж собою, то вони мають спiльну систему власних функцiй i вiдповiднi фiзичнi величини можуть бути одночасно вимiрянi. Отже, iнтеґрали руху вимiрюються одночасно з енерґiєю системи.
хронологiв. Iсторики досi не можуть дати собi ради з цими перенесеннями та стискуваннями епох.
2Першим, хто висловив iдею про закон збереження кiлькостi руху, на осно-
вi своєї евристичної концепцiї “незмiнностi першопричинно створеної кiлькостi матерiї з її рухом i спокоєм”, був Р. Декарт (1596–1650), iнтуїтивно визначивши цю величину як добуток швидкостi на розмiри фiзичної системи. За Декартом, матерiя має лише одну властивiсть протяжнiсть, тому в означення iмпульсу вiн увiв розмiр, а не кiлькiсть матерiї чи масу тiла m; не йшлося в нього i про напрям швидкостi v. Ця початкова розмитiсть в озна-
ченнi приводила й до непорозумiнь, i до неправильних тверджень. Х. Гюйґенс (1629–1695), дослiджуючи цю проблему в процесах зiткнення тiл, попутно
винайшов ще один iнтеґрал руху mv2 “живу силу”, як пiзнiше її назвав Ґ. В. Ляйбнiц (1646–1716). Драматична iсторiя, “що зберiгається mv чи
mv2”, тривала майже столiття, поки з’ясувалось, що й справдi маємо два iн-
теґрали руху. Пригоди “живої сили” продовжувались i в наступному, XIX столiттi, поки молодий нiмецький лiкар Р. Маєр (1814–1878) дивними й на ту пору майже мiстичними мiркуваннями, спостерiгаючи за кольором “вiдпрацьованої”, тобто окисленої венозної кровi людини в рiзних температурних умовах, не винайшов у 1841 роцi закон збереження й перетворення енерґiї (а цiй величинi назву дав ще ранiше в 1807 роцi молодий англiйський лiкар Т. Юнґ (1773–1829) один iз творцiв хвильової теорiї свiтла), йому мiж iншим належать також першi кроки на довгому шляху розшифрування єгипетських iєроглiфiв. До кiнця справу з цим законом довели Г. Гельмгольц (1821–1894), також лiкар за освiтою, своїми теоретичними узагальненнями i, особливо, Дж. П. Джоуль (1818–1889) рiзноманiтними й беззаперечними дослiдами (вiн мав лише домашню iнженерну освiту). Як ми тепер знаємо, у фундаментi цих обох великих законiв збереження є простий i зрозумiлий принцип однорiдностi простору–часу.
168
Якщо зберiгаються фiзичнi величини, оператори яких не комутують, то стан є виродженим. Справдi, нехай ми маємо двi фiзичнi
величини A та B, яким вiдповiдають оператори |
ˆ |
ˆ |
||
A |
та B. За умовою |
|||
ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
ˆ |
ˆ |
|
[A, H] = 0, |
[B, H] = 0, |
[A, B] 6= 0. |
||
Тобто ми маємо двi рiзнi системи власних функцiй. Функцiї обох
цих систем є власними функцiями гамiльтонiана ˆ . Отже, одно-
H
му власному значенню енерґiї вiдповiдає бiльше нiж одна власна функцiя, тобто маємо виродження. Прикладом може бути вiльний рух частинки: енерґiї p2/2m вiдповiдає безлiч плоских хвиль з рiзними напрямками вектора iмпульсу p за умови |p| = const.
Це безмежнократне виродження зумовлене iснуванням двох iнтеґралiв руху: iмпульсу та моменту кiлькостi руху, оператори яких не комутують мiж собою.
Нарештi розглянемо рiвняння руху для координати та iмпульсу в операторнiй формi в одновимiрному просторi:
|
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
||
xˆ˙ = |
xH |
− Hx |
, |
|
|
pˆ˙ = |
pˆH − Hpˆ |
, |
||||||||
|
i~ |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i~ |
|
|
|
||||
ˆ |
pˆ2 |
|
|
+ U(x), |
|
|
|
pˆ = −i~ |
∂ |
, |
||||||
H = |
2m |
|
|
|
|
∂x |
||||||||||
|
|
pˆ˙ = −i~ ∂x i~, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂U |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ˆ |
1 |
2 |
2 |
|
|
pˆ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x˙ = |
|
|
2im~ |
(xpˆ |
|
− pˆ x) = |
m |
. |
|
|
|
||||
Отже, система |
|
|
|
xˆ˙ = m, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
pˆ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂U |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p˙ = |
− |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
||
аналог рiвнянь Гамiльтона. Цi рiвняння i становлять змiст так званої теореми Еренфеста: квантовi рiвняння руху для операторiв отримуємо з класичних рiвнянь формальною замiною фiзичних величин вiдповiдними операторами.
169
§ 18. Стацiонарнi стани
Стани, у яких енерґiя має певнi значення, називають стацiонарними станами. Як уже вказувалось, якщо на систему не дiють
зовнiшнi сили, то |
ˆ ˆ |
й енерґiя є iнтеґралом руху, тобто |
{H, H} = 0 |
дiє закон збереження енерґiї. У хвильовому рiвняннi, що описує стани з певними значеннями енерґiї, змiннi q i t роздiляються.
Нехай ми маємо хвильове рiвняння
i~ |
∂ψ(q, t) |
ˆ |
∂t |
= Hψ(q, t). |
|
|
|
Для роздiлення змiнних застосуємо метод Фур’є:
ψ(q, t) = ϕ(t)ψ(q).
Оператор Гамiльтона ˆ не залежить вiд часу, тому
H
i~ |
dϕ(t) |
|
|
|
ˆ |
||
dt |
|
ψ(q) = ϕ(t)Hψ(q), |
|||||
або |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ˙ |
|
ˆ |
|
|
|
i~ |
= |
Hψ |
, |
||
|
|
ϕ |
ψ |
||||
|
|
|
|
|
|
||
де крапка означає повну похiдну за часом. Лiва частина цього рiвняння є функцiєю лише часу t, а права тiльки координат q.
Рiвнiсть очевидно виконується, якщо лiва i права частини рiвняння дорiвнюють сталiй величинi, яку ми позначимо через E:
i~ϕϕ˙ = E,
ˆ
Hψ(q) = Eψ(q).
Зпершого рiвняння знаходимо
ϕ= Ce−iEt/~.
Здругої умови ми отримуємо рiвняння на власнi значення для
оператора енерґiї ˆ . Величина має змiст енерґiї. Отже, як i
H E
повинно бути, значення, якi може набувати енерґiя, визначаємо з рiвняння на власнi значення та власнi функцiї гамiльтонiана системи. Це рiвняння називають також стацiонарним рiвнянням
170