Navch._posibnuk_Ivaschyk
.pdfy
x1 |
x3 |
x5 |
x7 |
x9 |
x |
x2 |
x4 |
x6 |
x8 |
|
x10 |
Рисунок 6.1.2
Звернемо увагу ще на один важливий момент. У задачах лінійного програмування точка оптимуму завжди була граничною, а в нелінійних вона може бути або граничною, або такою, що міститься всередині допустимої області розв’язків. Покажемо це на прикладі.
Приклад 6.1. Знайти найменше та найбільше значення функції
Z = x12 + x22 − 4x1 − 2x2 +5
за обмежень
x1 + x2 ≤ 5,x1, x2 ≥ 0.
♦ Розв’язування.
Знайдемо розв’язок задачі графічно. Оскільки обмеження лінійні, то областю допустимих розв’язків буде многокутник розв’язків. Побудуємо його. Многокутником розв’язків є ОВС.
Цільову функцію запишемо у вигляді
Z = x12 + x22 − 4x1 − 2x2 +5 = (x1 − 2)2 + (x2 −1)2 .
188
y C
5
1 |
A |
B |
|
||
|
B |
|
O |
|
x |
2 |
5 |
|
|
5 |
Ми отримали рівняння кола з центром в точці А(2;1) та радіусом
R = Z . Значить, значення функції Z буде зростати, якщо збільшуватиметься радіус кола і, навпаки, буде зменшуватися, якщо буде зменшуватися радіус кола. Ми бачимо, що коло найбільшого радіуса, яке перетинає крайню точку многокутника розв’язків – це коло з центром в точці А. Воно проходить через точку С, яка має координати (0;5). Підставимо їх в цільову функцію і маємо:
Zmax = (x1 − 2)2 + (x2 −1)2 = (0 − 2)2 + (5 −1)2 = 4 +16 = 20.
Очевидно, що найменшого значення функція досягатиме в точці
А(2;1):
Zmin = (x1 − 2)2 + (x2 −1)2 = (2 − 2)2 + (1−1)2 = 0.
В цьому прикладі ми бачимо, що точка максимуму є граничною,
аточка мінімуму – внутрішньою точкою многокутника розв’язків. ♦ Приклад. 6.2. Розв’язати графічним методом задачу нелінійного
програмування.
Z = 2x1 − x12 + x2 → extr,
2x1 +3x2 ≤ 6,
2x1 + 2x2 ≤ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
♦ Розв’язування.
Зробимо перетворення виразу цільової функції.
189