МУ ОМ та буд.механіка для водних ресурсів 2012
.pdf
Методичні вказівки
ЗАДАЧА 5. ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ У СТАТИЧНО ВИЗНАЧЕНОЇ РАМІ
I.Склад завдання
Для рами з обраними по шифру розмірами та навантаженнями, треба знайти для вказаного перерізу:
А) Одне з лінійних переміщень - горизонтальне Хi або вертикальнеYi ; Б) Кутове переміщення – кут поворотуϕ j .
II.Порядок виконання розрахунку
1.Зробити аналіз заданої рами та установити ступінь статичної визначеності.
2.Побудувати епюру згинальних моментів M P від заданого навантаження.
Виконати її статичну перевірку.
3.Побудувати епюру згинальних моментів M1 від одиничної сили Р = 1. Виконати її статичну перевірку.
4.Перемноживши епюри M P та M1 знайти лінійне переміщення.
5.Побудувати епюру згинальних моментів M2 від одиничного
зосередженого моменту М = 1. Виконати її статичну перевірку. 6. Перемноживши епюри M P та M2 знайти кут поворотуϕк .
а) |
б) |
|
Рис.5.1 |
Приклад розрахунку. Для рами (рис. 5.1а) треба визначити лінійне переміщення (горизонтальне) ХG та кутове переміщення (кут повороту) ϕS в вказаних перетинах.
1. Встановимо ступень статичної визначеності заданої рами за допомогою формули Чебишева:
W= 3 × Д - 2 × Ш - С0 = 3 × 2 - 2 ×1 - 4 = 0 .
~31 ~
Методичні вказівки
Частина А. Визначення горизонтального переміщення.
Для визначення горизонтального переміщення ХG в перерізі «G» необхідно розглянути два стана системи: дійсний стан від заданого навантаження (рис. 5.1а) та допоміжний стан з прикладеною у напрямі переміщення, яке необхідно
знайти, горизонтальною одиничною силою Р = 1(рис. 5.3а). |
Пронумеруємо |
характерні перерізі заданої рами (рис.5.1б). |
|
2. Перед тім, як будувати епюру згинальних моментів M P |
першого стану, |
необхідно з рівнянь рівноваги та рівняння шарніру С (момент у шарнірі дорівнює нулю) визначити опорні реакції:
∑mA = q ×12 × 6 + F ×15 -VB ×12 = 0 ; |
VB = 55 кН; |
∑mB = q ×12 × 6 + F ×3 -VA ×12 = 0 ; |
VA = 35 кН; |
∑mCпр = -VB × 6 + F ×9 + H B ×8 = 0 ; |
H B = 18.75 кН; |
∑mCлв = -VА × 6 - q ×12 × 2 + H A ×8 = 0 ; |
H A = 41.25 кН. |
Статична перевірка: |
|
∑ ХК = - H A - HB + q ×12 = -41.25 -18.75 + 60 = 0 ; ∑YК = -VA +VB - F = -35 + 55 - 20 = 0 .
Похибка дорівнює нулю. |
|
|
|
|||
Знайдемо |
значення епюри |
згинальних |
моментів M P у характерних |
|||
перетинах: |
|
|
|
|
|
|
M A = 0 ; |
M1 = H A × 4 |
- q × 4 × 2 = 125 кНм; |
M 2 = H A ×8 - q ×8 × 4 = 170 кНм; |
|||
M 3 = 0 ; |
M 4 = -q × 4 |
× 2 = -40 кНм; |
M 5 |
= H A ×8 - q ×12 × 2 = 210 кНм; |
||
M 6 |
= -H B ×8 - F × 3 = -210 кНм; |
M 7 = 0 ; |
M8 |
= -F × 3 = -60 кНм; |
||
M 9 |
= H B ×8 = 150 кНм; |
|
M B = 0 . |
|
|
|
Остаточна епюра згинальних моментів M P |
зображена на рис.5.2б. Статична |
|||||
перевірка епюри M P полягає в перевірці рівноваги вузлів (пунктиром на рис. 5.2в. зображені розтягнути волокна стержнів).
Рис.5.2
~ 32 ~
Методичні вказівки
3. Перед тім, як будувати епюру згинальних моментів M1 другого стану (рис. 5.3а), необхідно також з рівнянь рівноваги та рівняння шарніру С визначити опорні реакції:
∑ |
m |
|
= |
|
|
×12 -V ×12 = 0 ; |
|
|
|
V =1кН; |
|||||||||||||||
A |
P |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|||||||
∑ |
m |
|
= |
|
×12 -V |
|
|
×12 = 0 ; |
|
|
|
V |
|
= 35 кН; |
|||||||||||
B |
P |
A |
|
|
|
A |
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∑mCпр = -VB × 6 + H B ×8 = 0 ; |
|
H B = 0.75 кН; |
|||||||||||||||||||||||
∑ |
mлв = -V |
|
|
× 6 + |
|
× 4 + H |
|
×8 = 0 |
; |
|
|
H |
|
= 0.25кН. |
|||||||||||
А |
P |
A |
|
|
A |
||||||||||||||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Статична перевірка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∑ |
Х |
|
= - H |
|
|
- H |
|
|
+ |
|
= -0.25 - 0.75 +1 = 0 ; |
|
|
||||||||||||
К |
A |
B |
P |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∑YК = -VA + VB = -1 +1 = 0 .
Похибка дорівнює нулю.
Знайдемо значення епюри згинальних моментів M1 у характерних перетинах:
M A = 0 ; |
M1 = H A × 4 = 1кНм; |
M 2 |
= H A ×8 = 2 кНм; |
M 3 = 0 ; |
|||||
M 4 |
= - |
|
× 4 = -4 кНм; M 5 = H A ×8 + |
|
× 4 = 6 кНм; |
M 6 = -H B ×8 = -6 кНм; |
|||
P |
|||||||||
P |
|||||||||
M 7 |
= 0 ; |
M8 = 0 кНм; |
M 9 = H B ×8 = 6 кНм; |
M B = 0 . |
|||||
Остаточна епюра згинальних моментів M1 зображена на рис.5.3б., а рівновага вузлів зображена на рис.5.3в.
а) |
б) |
Рис.5.3
Використаємо правило Верещагіна, а також формули трапецій та
t l |
|
|
|
|
|
|
|
||
формулу Сімпсона для обчислювання інтегралів D1P = ∑ ∫ |
M 1 M P |
dx . |
||
|
||||
k =1 0 |
EI |
|||
~ 33 ~
Методичні вказівки
Для цього розіб’ємо раму на 5 ділянок з перетинами A-2, 3-4,5-6, 7-8, В-9, на яких згинальні моменти, що перемножуються, мають сталу жорсткість та не мають зломів.
5 l |
|
X G = D1P = ∑ ∫ M1M P dx = DA1P− 2 + D31−P4 + D51−P6 + D71−P8 + DB1P−9 . |
|
k =1 0 |
EI |
Врахуємо, що EI P 
EIC = 1.5 . Приймемо EIC = EI , тоді EI Р = 1.5EIC = 1.5EI . Ділянка A-2. Так як на цій ділянці епюри M P таM1 мають простий вигляд, то
використовуємо правило Верещагіна: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ω = |
2 |
170 ×8 - |
площа криволінійної епюри |
M P , яка має обрис квадратичної |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
параболи; y = |
5 |
2 |
- ордината з трикутної епюри |
|
|
1 , яка береться під центром |
|||||||||
M |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ваги площі ω1 криволінійної епюри M P . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
DA−2 |
= ω × y = |
1133.33 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1P |
EIС |
EI |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Ділянка 3-4. Так як на цій ділянці епюри M P та |
|
1 мають простий вигляд, то |
|||||||||||||
M |
|||||||||||||||
використовуємо правило Верещагіна: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ω = |
1 |
40 × 4 - |
площа криволінійної епюри |
M P , яка має обрис квадратичної |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
параболи; y = 3 4 - ордината з трикутної епюри M1 , яка береться під центром ваги
4
площі ω1 криволінійної епюри M P .
D31−P4 = ω × y = 160 .
EIС EI
Ділянка 5-6 . Так як на цій ділянці прямолінійні епюри M P таM1 мають складний вигляд, і потребують для подальшого використання правила Верещагіна розкладання на прости епюри, будемо використовувати формулу трапецій:
D5−6 |
= |
12 |
[2(210 × 6 + 210 × 6) - 210 × 6 - 210 × 6] = |
5040 |
= |
3360 |
|
|
|
|
|||||
1P |
|
6EIР |
1.5EI |
|
EI |
||
|
|
|
|||||
Ділянка 7-8. Так як на цій ділянці епюра M P перемножуються на «нульову» епюру M1 , то згідно правила Верещагіна маємо:
D71−P8 = 0 .
Ділянка B-9. Так як на цій ділянці епюри M P таM1 мають простий вигляд, то використовуємо правило Верещагіна:
|
|
ω = |
1 |
150 ×8 - площа трикутної епюри M P |
; y = |
2 |
|
6 - ордината з трикутної епюри |
|
|
|
||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
1 , яка береться під центром ваги площі ω1 трикутної епюри M P . |
|||||||
M |
|||||||||
|
|
|
|
D31−P4 = ω × y = |
2400 |
. |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
EIС |
|
EI |
|||
Остаточно маємо горизонтальне переміщення ХG :
~ 34 ~
Методичні вказівки
ХG |
= |
1 |
(1133.33 +160 +1660 + 0 + 2400) = |
7053.33 |
(м). |
EI |
|
||||
|
|
|
EI |
||
Оскільки результат додатний, точка G переміститься праворуч в напрямі одиничної сили.
Частина Б. Визначення кутового переміщення.
5. Для визначення кутового переміщення в перерізі «S» необхідно розглянути допоміжний стан системи з прикладеним в перерізі «S» у довільному напрямі зосередженим одиничним моментом М1 = 1 (рис.5.4а). Остаточна епюра згинальних моментів M 2 зображена на рис.5.4б.
Рис.5.4
6. Використаємо правило Верещагіна, а також формули трапецій та формулу Сімпсона для обчислювання інтегралів. Для цього розіб’ємо раму на 5 ділянок з січеннями A-2, 3-4,5-6, 7-8, В-9, на яких згинальні моменти, що перемножуються, мають сталу жорсткість та не мають зломів.
5 l |
|
ϕS = D2 P = ∑ ∫ M 2 M P dx = DA2−P2 + D32−P4 + D52−P6 + D72−P8 + DB2−P9 . |
|
k =1 0 |
EI |
Як і раніше врахуємо, що EI Р = 1.5EIC = 1.5EI .
Ділянка A-2. Так як на цій ділянці епюри M P таM 2 мають простий вигляд, то використовуємо правило Верещагіна:
ω = |
2 |
170 |
×8 |
; |
y = |
5 |
0.5 |
; |
A−2 |
= |
ω × y |
= − |
283.33 |
. |
3 |
8 |
2 P |
EIС |
EI |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ 35 ~ |
|
||
Методичні вказівки
Ділянка 3-4. Так як на цій ділянці епюриM 2 згинальні моменти дорівнюють «нулю», то згідно правила Верещагіна маємо D32−P4 = 0 .
Ділянка 5-6 . Так як на цій ділянці прямолінійні епюри M P таM 2 мають складний вигляд, будемо використовувати формулу трапецій:
D52−P6 = |
12 |
[- 2(210 ×0.5 + 210 ×0.5)+ 210 ×0.5 + 210 ×0.5]= - |
280 |
|
6EIР |
EI |
|||
|
|
Ділянка 7-8. Так як на цій ділянці епюри M P таM 2 мають простий вигляд, то використовуємо правило Верещагіна:
ω = |
1 |
60 × 3 ; |
y = 1 ; |
D72−P8 = ω × y = - |
90 |
= - |
60 |
. |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
EIР |
1.5EI |
|
EI |
||
Ділянка B-9. Так як на цій ділянці епюри M P таM 2 мають простий вигляд, то використовуємо правило Верещагіна:
ω = |
1 |
150 ×8 ; |
y = |
2 |
0.5 ; |
D32−P4 = ω × y = |
200 |
. |
|
|
||
|
|
|
||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
EIС |
EI |
|||||
Остаточно маємо кутове переміщення – |
кут повороту ϕS : |
|||||||||||
|
|
|
ϕS = |
1 |
(-283.33 + 0 - 280 - 60 + 200) = - |
423.33 |
(рад). |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
EI |
|
|
|
EI |
||
Від’ємне значення кута повороту перерізу «S» свідчить про те, що переріз повертається не в напрямі зосередженого одиничного моменту, а в протилежному напрямі, тобто за ходом годинникової стрілки.
Контрольні запитання
1.У яких випадках можливе використання правила Верещагіна?
2.Сформулювати правила Верещагіна.
Література
1.Бутенко Ю.И. и др. Строительная механика стержневых систем и оболочек. Киев, Вища школа, 1980.
2.Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Москва, Высшая школа, 1986.
3.Клейн Г.К. и др. Руководство к практическим занятиям по строительной механике (статика стержневых систем). М., Высшая школа, 1980.
4.Киселев В.А. Строительная механика. М, Стройиздат, 1986.
5.Смирнов А.Ф., Александров А.В. и др. Строительная механика. Стержневые системы. М., Стройиздат, 1981.
6.Снитко Н.К. Строительная механика. М., Высшая школа, 1980.
7.Строительная механика. Руководство к практическим занятиям. Под ред. Ю.И. Бутенко. К., Вища школа, 1984.
8.Яременко О.Ф., Шебанін В.С., Орлов А.М., Сорока М.М., Калініна Т.О.
Будівельна механіка в прикладах. Одеса 2003.
~ 36 ~
Методичні вказівки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Додаток 1
РПР №1 Розрахункові схеми
P |
P |
|
q |
|
|
|
|
|
|
||
|
P |
q |
P |
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
q |
|
|
P |
|
|
|
|
||
P |
P |
|
q |
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
q |
P |
|
|
|
|
|
|
||
|
P |
|
|
q |
P |
|
|
|
|
||
P |
|
|
q |
|
P |
|
|
|
|
||
|
P |
|
q |
|
P |
|
|
|
|
||
P |
q |
|
P |
|
|
|
|
|
|
||
|
q |
|
P |
P |
|
|
|
|
|
||
a a a a a a a a a a a a a a |
|
||||
~ 37 ~
Методичні вказівки
11 |
q |
P |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
||
12 |
P |
q |
|
|
|
P P |
|
|
|
|
|||
13 |
|
P |
P |
|
q |
|
|
|
|
|
|||
14 |
|
P |
|
P |
|
q |
|
|
|
|
|||
15 |
P |
|
|
|
q |
P |
|
|
|
|
|||
16 |
P |
P |
P |
|
q |
|
|
|
|
||||
17 |
P |
P |
|
P |
|
|
18 |
P |
P |
P |
|
|
q |
|
|
|
||||
19 |
|
q |
|
|
|
P P |
|
|
|
|
|
||
20 |
P |
P |
|
|
q |
|
|
|
|
|
|||
|
a a a a a a a a a a a a a |
|||||
~ 38 ~
P
P
P
P
q
a
Методичні вказівки
РПР №1. Вихідні дані
№ |
Таблиця №1 |
|
|
рядка |
а(м) |
|
|
|
|
1 |
1,0 |
|
|
2 |
1,2 |
|
|
3 |
1,4 |
|
|
4 |
1,6 |
|
|
5 |
1,8 |
|
|
6 |
2,0 |
|
|
7 |
2,2 |
|
|
8 |
2,4 |
|
|
9 |
2,6 |
|
|
10 |
2,8 |
|
|
11 |
3,0 |
|
|
12 |
3,2 |
|
|
13 |
3,4 |
|
|
14 |
3,6 |
|
|
15 |
3,8 |
|
|
16 |
4,0 |
|
|
17 |
4,2 |
|
|
18 |
4,4 |
|
|
19 |
4,6 |
|
|
20 |
4,8 |
|
|
Таблиця №2
P(кН) |
q(кН/м) |
|
|
10 |
10 |
|
|
15 |
12 |
|
|
20 |
14 |
|
|
25 |
16 |
|
|
30 |
18 |
|
|
35 |
20 |
|
|
40 |
22 |
|
|
45 |
10 |
|
|
50 |
12 |
|
|
55 |
20 |
|
|
60 |
19 |
|
|
65 |
18 |
|
|
70 |
17 |
|
|
75 |
16 |
|
|
80 |
15 |
|
|
85 |
14 |
|
|
90 |
13 |
|
|
95 |
12 |
|
|
100 |
11 |
|
|
105 |
10 |
|
|
~ 39 ~
Методичні вказівки
РПР №2 (задача 2) Розрахункові схеми
1 |
6 |
h |
h |
||
|
|
|
|
l |
l |
2 |
7 |
h/2 |
|
h |
|
|
h/2 |
|
|
|
|
l |
|
l |
3 |
8 |
h/2 |
|
h |
|
|
h/2 |
|
|
|
|
l |
|
l |
4 |
9 |
h/2 |
|
h |
|
|
h/2 |
|
|
|
|
l |
|
l |
5 |
10 |
h/2 |
|
h |
|
|
h/2 |
|
|
|
|
l |
|
l |
~ 40 ~