Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Одесский государственный экологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций Дин метеорология_2003

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2016

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Коефіцієнти αT аналогічні молекулярним коефіцієнтам Прандтля, які

звичайно беруться рівними одиниці, але можуть бути визначені на основі емпіричних даних.

Як перше наближення приймається, що k і k L не залежать від

просторових координат. У відношенні k L таке припущення здається в

першому наближенні цілком природним, однак, що стосується коефіцієнта вертикальної турбулентної в'язкості k , то таке припущення здається можливим лише для вільних течій (або у вільній атмосфері), а поблизу стінок воно явно дасть невірний результат, тому що профіль швидкості в цьому випадку має параболічний вигляд, а для того, щоб його отримати необхідно, щоб k →0 при z→0. Отже, для течій, обмежених стінками k ≠const і тому необхідно шукати інші форми залежності коефіцієнта турбулентності від просторових координат. Так, при z >> δM (значно

більших за товщину в′язкого підшару) у приповерхневому шарі можна приблизно прийняти, що k росте лінійно з висотою z, тобто

k =κ u*z ,	(4.30)
де κ - постійна Кармана,	u* - динамічна швидкість, що слабко залежить від

висоти в шарі товщиною кілька десятків метрів. Вище цього шару k приймається сталим. У першому наближенні для задання профілю вертикального коефіцієнта турбулентності використовувалася «модель зі зламом».

Звідси випливає, що основний напрямок розвитку напівемпіричної теорії Ж.Буссінеска пов'язаний зі способами задання профілю вертикального коефіцієнта турбулентності в граничному шарі атмосфери. Нагадаємо, що так називають шар тропосфери товщиною 1-1,5км, у якому найсильніше позначається вплив підстильної поверхні і течії носять турбулентний характер. Всередині граничного шару виділяють ще кілька підшарів:

-в′язкий підшар, товщиною кількох мм, у якому переважають сили молекулярної в'язкості;

-приземный підшар, товщиною кілька десятків метрів, у якому вертикальні градієнти метеорологічних величин перевищують на один-два порядки їх зміни в іншій частині граничного шару. Відмітною рисою цього підшару є перевага сил турбулентної в'язкості в порівнянні з іншими силами, що діють в атмосфері. Тому його часто називають підшар сталих потоків або квазістаціонарним підшаром;

-перехідной або добре перемішаний підшар. Характерними властивостями його структури є поворот напрямку вітру з висотою, вирівнювання профілів потенціальної температури, масової частки водяної пари, модуля швидкості вітру.

121

Тому існуючі способи задання профілів вертикального коефіцієнта турбулентності грунтуються на врахуванні властивостей турбулентності в граничному шарі. Прикладами таких параметризацій вертикального турбулентного обміну є:

лінійний профіль, запропонований М.Естоком

k = kh	H − z	,	(4.31)
	H −h

згідно якого коефіцієнт турбулентності лінійно убуває від свого значення

kh на рівні z = h	до молекулярних значень на верхній межі граничного
шару z = H
або експоненціальний
	z	− h 2
k = kh exp − m			,	(4.32)

		H

запропонований Р.МакФерсоном, де показник m регулює ступінь згасання турбулентності з висотою.

Можна вказати ще на один розповсюджений профіль, запропонований О’Брайєном

(H − z)

∂k

kh − kH

k = kH +

kh − kH + (z − h)

+ 2

(4.33)

(H − h)2

∂z

H − h

де kH ,kh - значення коефіцієнтів турбулентності на верхніх межах шару

сталих потоків і граничного шару,	∂k	- вертикальний градієнт

	∂z	h

коефіцієнта турбулентності на верхній межі приземного шару.

Отже, можна констатувати, що рівняння Рейнольдса з параметризованими напруженями Рейнольдса через коефіцієнти турбулентності вимагають визначення останніх за даними спостережень або вказівки способу їх задання. Відзначимо, що запропоновані формули

гипотетичні, а коефіцієнти k і k L , kT і kT′ , і αT є новими невідомими.

4.2.2 Теорія Л.Прандтля

Основні постулати цієї теорії можна сформулювати таким чином: через фіксовану точку простору проходять вихори, що виділилися з

основного потоку на різних відстанях від даної точки; переміна вихорів і є причиною пульсацій відповідних величин у даній

точці; характеристики вихора рівні відповідним середнім значенням

середовища в місці його виникнення;

122

рух вихора відбувається квазістатично ( p = p ), без змішування з

навколишнім середовищем на деякому відрізку шляху, названому шлях перемішування. Наприкінці цього шляху відбувається раптове зникнення вихора і передача його властивостей навколишньому середовищу.

Основним результатом такого руху є перенос субстанції з місць, де вона в достатку, в місця з її нестачею. Тому турбулентність призводить до вирівнювання нерівномірно розподілених властивостей.

Для простоти й ілюстрації підходу розглянемо спочатку випадок вертикального зсуву деякої субстанції через горизонтальну площадку в припущенні, що є тільки вертикальний градієнт осередненої величини.

Нехай через одиничну горизонтальну площадку на рівні z проходять турбулентні вихори з вертикальною швидкістю w(t,z). Тоді повний

вертикальний потік субстанції a буде дорівнювати
ρa w =ρa w +ρa'w' ,	(4.34)

де перший доданок правої частини рівняння - потік субстанції за рахунок середнього руху, а другий - за рахунок пульсацій, тобто турбулентний потік. Припустимо, що на шляху перемішування всі величини не змінюють свої властивості, тобто є консервативними і пасивними (не роблять впливу на основний потік). Але ця умова може порушуватися для температури, бо при адіабатичному розширенні вона буде знижуватися, а при стисненні - підвищуватися, вологість також може змінюватися при вертикальних зрушеннях унаслідок конденсації або випаровування. Тому необхідно врахувати індивідуальні зміни в турбулентному вихорі неконсервативних властивостей при вертикальному русі частинок у вигляді δa / δz . (Ця

частина була відсутня у вихідному вигляді теорії Прандтля, тому що остання призначалася тільки для поля швидкості.)

Позначимо через l шлях перемішування, а ( z −l ) - вихідна координата вихора, що перетинає дану площадку в момент t. Тоді значення субстанції у вихорі, що перетинає дану одиничну площадку на рівні z

можна визначити у вигляді суми a(t, z − l) + l δa / δz . Цей вираз означає,

що вихор переніс деяку властивість субстанції з рівня ( z −l ), без перемішування з навколишнім середовищем, при цьому внаслідок неконсервативності, властивій тільки температурі повітря і масовій частці водяної пари, можлива зміна властивостей частинки тільки при її вертикальних рухах. Далі застосуємо розкладання властивості вихора в ряд Тейлора по ступенях шляху перемішування

a( t,z − l ) =a( t,z ) −l ddaz

	1			d 2
+		l	2		a	+... .
	2			d z2

↑ знехтуємо доданками зі ступенями l 2 і більш.

123

Далі ми взагалі обмежимося першими доданками. Тоді дістанемо величину пульсації, як різницю властивостей частинки, що прийшла з вихідного рівня ( z −l ) на рівень z:

′

=a( t,z −l )+l δz

− a( t,z ) ≈−l( d z − δz ) .

(4.35)

↑Якщо властивості частинки змінюються

упроцесі руху.

Добуток пульсацій (або вертикальний турбулентний потік величини a )

виразимо таким чином:

для неконсервативної субстанції, якщо на шляху l величина а змінюється через внутрішні процеси, які відбуваються в ній,

=− ρ

− δ

) =− ka (

−

)

(4.36)

a'w'

d z

δ z

і для консервативної субстанції

=− ρ

=− ρka

(4.37)

a'w'

lw'

d z

Тут

ka =

(4.38)

lw'

- коефіцієнт турбулентної

в′язкості

для субстанції

a . Оскільки шлях

перемішування залежить від координат і часу, то і коефіцієнт турбулентності також повинен залежати від них. Більш того, різні фізичні властивості вихора можуть по-різному вирівнюватися з властивостями навколишнього середовища, а це означає, що коефіцієнти турбулентності можуть бути різними для різних субстанцій.

Тому, якщо а- кількість руху, то ku - коефіцієнт кінематичної

турбулентної в'язкості, якщо а - температура, то коефіцієнт температуропроводності kT , або коефіцієнт турбулентної дифузії kq ,

якщо а- будь-яка пасивна домішка. Знак мінус вказує на те, що субстанція a переноситься в бік зменшення її середнього значення. δδaz - звичайно

називають рівноважним градієнтом. При рівності його вертикальному градієнту осередненої величини вважається, що вертикальний

турбулентний потік субстанції a дорівнює нулю. Строго кажучи, знак рівності в цьому виразі повинен бути замінений на наближений внаслідок зроблених припущень.

Відповідно до запропонованої теорії турбулентне напруження τxz = −ρu' w' може бути перетворено з урахуванням виразу

124

= − ρ

d u

= − ρ ku

(4.39)

u' w'

lw'

d z

до наступного вигляду:

τxz = −ρ

= − (−ρ ku

) = ρ ku

(4.39')

u' w'

d z

Звернемо увагу на подібність отриманого виразу для турбулентного

напруження і розглянутого

раніше

в′язкого напруження

σxz

= ρυ

d u

d z

формальна відмінність полягає в зміні кінематичного коефіцієнта молекулярної в'язкості на коефіцієнт турбулентності. Але це зовнішня аналогія, оскільки фізична природа зазначених коефіцієнтів різна. Молекулярний коефіцієнт в'язкості не залежить від динамічних і стратифікованих властивостей середовища, можна вказати лише на його слабку залежність від температури середовища, і він звичайно з великим ступенем точності приймається сталим. Проте, як видно з визначального виразу для ku , останній залежить від шляху перемішування і швидкості

вихорів, тобто росте зі збільшенням шляху, що був пройден вихором, і з ростом його швидкості. З іншого боку, нагадаємо, що υ = lmum , де lm

довжина вільного пробігу молекул, а um - швидкість теплового руху

молекул. Якщо припустити, що w′ ≈ u′ ≈ l dd uz , то звідси маємо

K = l

(4.40)

d z

Незважаючи на те, що um > w′, l >> lm

на багато порядків більше, і

остаточно виявляється, що K >> υ. Таким чином,

τ = ρ l

(4.41)

d z

Цей вираз належить Л.Прандтлю. Знак модуля введений для того, щоб напруження мало знак градієнта швидкості: імпульс передається з областей, де він більше, туди, де він менше. Тут l ≈ O(σl ) - довжина шляху

перемішування, що має порядок величини середньоквадратичного значення пульсацій довжин струминок. l характеризує масштаб турбулентності або середній розмір турбулентних вихорів і залежить від координат і не вважається випадковою величиною.

Для визначення профілю середньої швидкості необхідно явно задати вигляд залежності l від координат. Найпростіший спосіб задання шляху перемішування

l = κz .	(4.42)
	125

Інші способи частково дублюють способи задання вертикального коефіцієнта турбулентності, наприклад

	30м, h < z < H
								(4.43)
l =								(4.43)
	0		z > H
або
	κz					z < h
				H − z
				H − z
l =		κh					h < z < H	(4.44)
l =		κh		H − h			h < z < H	(4.44)
				H − h
	0				z > H
Найчастіше шлях перемішування задають по формулі Блекадара
l =		κz				,		(4.45)
l =			κz			,		(4.45)
1 +			κz
			lo

де lo = 0,00027G / f - масштаб довжини або граничне значення шляху перемішування поблизу верхньої границі граничного шару, f = 2ωSinϕ -

параметр Коріоліса, G - модуль швидкості геострофічного вітру (ряд дослідників пропонували замінити її на швидкість реального вітру). Останнім часом задання lo здійснюють за допомогою співвідношення

∞

∫b z ρ dz

lo =	0	,	(4.46)
	∞

∫b ρ dz

де b - кінетична енергія турбулентних пульсацій. Однак, як показали розрахунки, розподіл середніх значень швидкості вітру і температури в граничному шарі атмосфери слабко залежить від вибору l0 .

З урахуванням шляху перемішування величина коефіцієнта вертикальної турбулентності оцінюється для випадку стратифікації близької до нейтральної по формулі

k = l	2	∂U	,	(4.47)

		∂z

або з урахуванням впливу температурної стратифікації по формулі Бхумларкара-Естока

	∂U	1	− αS	S <0
		1	− αS	S <0
k = l 2					,	(4.48)
k = l 2					,	(4.48)
	∂z
	∂z			−1
		(1 − αS)			S >0	126
		(1 − αS)			S >0

	(gl)		1 / 2 ∂θ
де S =				∂z
				∂z	- параметр стратифікації,	θ - середня в шарі
				∂U


		θ
		θ		∂z
				∂z

потенціальна температура, U - модуль швидкості вітру, α=18. Аналогічні варіанти напівемпіричних співвідношень для визначення шляху перемішування були отримані також іншими авторами і знайшли застосування в ряді чисельних моделей динаміки атмосфери, наприклад у моделі Європейського Центра Середньострокових Прогнозів Погоди.

Отримані вище формули для турбулентних потоків можна узагальнити на випадок, коли середня величина субстанції є функцією трьох координат. Тоді варто розглядати турбулентні потоки уздовж трьох координатних осей і відповідно проводити розкладання в ряд Тейлора по трьох напрямках, обмежуючись першими трьома доданками

a(t, x − lx , y − l y , z − lz )= a(t, x, y, z)− lx dd ax − l y dd ay − lz ddaz +l δδaz ,

де lx , ly , lz - шляхи перемішування уздовж координатних осей. Тоді маємо: a' = a(t, x − lx , y − l y , z − lz ) − a(t, x, y, z)≈ −lx dd ax − l y dd ay − lz (ddaz −δδaz ). (4.49)

Підстановка у відповідні вирази для турбулентних потоків дає

ρa'u'≈ −ρ[lxu' ddax + lyu' dday + lzu'( ddaz −δδaz )],

≈ −ρ[

−

)],

(4.50)

a'v'

l v

d x

d y

d z

δ z

ρa'w'≈ −ρ[lxw' ddax + lyw' dday + lzw'( ddaz −δδaz )] .

Оскільки найбільша кореляція відзначається між діагональними добутками, то малими доданками в турбулентних потоках у першому наближенні можна зневажити. Тоді

≈ −ρ

= −ρkx

d a

= −ρky

a'u'

lxu'

a'v'≈ −ρlyv'

d x

d y

d x

−δ

) = −

(

) ,

ρk

−

(4.51)

a'w'≈ −ρ

l w

d z

δ z

де

kx =

ky =

(4.52)

lxu' ,

lyv', kz = lzw'

127

- коефіцієнти турбулентності уздовж осей x, y і z для субстанції a . Дивергенцію відповідних турбулентних потоків субстанції a визначимо таким чином

∂

−

) .

div τa =

ρ kax

ρ kay

ρ kaz (

(4.53)

∂ x

∂ y

∂ z

δ z

З урахуванням того, що в′язкі напруження виявляються на кілька порядків менше турбулентних, надалі дивергенцію повних напружень

будемо заміняти дивергенцією турбулентних напружень, а саме:
div(σ j +τ j ) divτ j .	(4.54)

З урахуванням зроблених перетворень випишемо систему осереднених рівнянь гідротермодинаміки, опускаючи знак осереднення

d ui

= −

1 ∂ p

+ω

−ω

− gδ

∂

∂ ui +

∂

∂ ui

∂

∂ ui ,

d t

ρ ∂ x

∂ z

j k

∂ x

ux ∂ x

∂ y

uy ∂ y

uz ∂ z

d θ

∂

∂θ

∂

∂θ +

∂

∂θ) + I

ρ с

= ρ с

(

+ I

р d t

∂ x θ x ∂ x

∂ y

θ y ∂ y

∂ z θ z ∂ z

∂u j

= 0

, ρ = p / RT.

(4.55)

∂x j

У рівнянні припливу тепла враховуються припливи тепла за рахунок радіаційного випромінюванняIл і виділення захованої теплоти Iф .

Ми виписали систему з восьми рівнянь, що зв'язують вісім невідомих ui , p, ρ,T , θ, q . Однак невідомими є також коефіцієнти турбулентності

по горизонталі і вертикалі для складових швидкості, температури і вологості. Дана система рівнянь виявляється не замкнутою, у разі прийняття гіпотези Буссінеска або Прандтля. Для того, щоб рівняння гідротермодинаміки можна було вирішувати, потрібно вирішити проблему замикання шляхом залучення додаткових співвідношень і гіпотез, деякі з яких ми навели вище. Напівемпіричні теорії турбулентності Ж.Буссінеска, Л.Прандтля і ряд інших, що використовують поняття про коефіцієнт турбулентної в'язкості, часто відносять до так званої К-теорії турбулентності. Вони дають класичні приклади підходів до проблеми турбулентності в припущенні існування локального зв'язку між полями напружень Рейнольдса і середньої швидкості. Ці класичні теорії здавалися раніше задовільними тому, що вони порівнювалися винятково з вимірами розподілів середньої швидкості, а вони мало відчутні до будь-яких прийнятих гіпотез. Однак, детальні експерименти показали, що будь-яка теорія такого роду в принципі помилкова і може бути використана лише для опису дуже обмеженого кола турбулентних течій. У зв'язку з цим нагадаємо, що згідно даних експериментів у природі коефіцієнт

128

турбулентної в'язкості, часто може приймати негативні значення, що істотно знижує можливість застосування такого підходу.

4.3 Рівняння для напружень Рейнольдса

Як відзначалося вище, у рівняннях для середнього руху в результаті осереднення з'явилися додаткові доданки τij = −ρui′u′j , які отримали назву

турбулентні напруження Рейнольдса. Система цих рівнянь виявилася незамкнутою. Тому природно було спробувати замкнути її, побудувавши нові додаткові рівняння для напружень Рейнольдса, що будуть описувати їх зміни за часом. З цією метою для їх виведення Л.В.Келлером і О.О.Фрідманом був запропонований метод, названий згодом їх ім'ям. Розглянемо його основну ідею і деякі результати його застосування.

4.3.1 Метод Фрідмана-Келлера

Нехай маємо N якихось різних чи співпадаючих гідродинамічних полів u1, u2 , u3 , ..., uN турбулентної течії стисливої рідини і N якихось

різних чи співпадаючих точок у просторі x1, x2 , x3 , ..., xN . Тоді похідна за часом від N-ого моменту

Bu ,u				( x1,x2 ,...,xN ) =		(4.56)
	2	,,...,u	N		u1( x1,t )u2( x2 ,t )...uN ( xN ,t )
1

у силу можливості перестановки порядку операцій осереднення і диференціювання може бути представлена у вигляді:

∂∂t B u1,u2 ,,...,uN (x1 ,x2 ,...,xN ) =

∂u1

(x1 , t)

u2 (x2 , t)...uN (xN , t) + u1 (x1 , t)

∂u2

(x2

, t)

...uN

(xN , t) +

(4.57)

∂t

+ u1 (x1 , t)u2

(x2 , t)...

∂uN (xN

, t)

∂t

Якщо тепер виключити всі похідні за часом у правій частині за

допомогою рівнянь гідродинаміки, то можна отримати рівняння для N-го

моменту B u , u

, ..., u

(x1,x2 ,...,xN ) , що виражає похідну від нього

∂

u , u

, ..., u

(x ,x

,...,x

)

у вигляді

комбінації

моментів

самих

∂t

гідродинамічних полів і їх просторових похідних.

129

4.3.2 Рівняння для других моментів миттєвих величин

Розглянемо реалізацію цієї ідеї на прикладі рівнянь Нав′є-Стокса для нестисливої рідини ∂ uα ∂ xα = 0 , записаних для миттєвих величин у

тензорних позначеннях,

∂ ui

+ u

∂ ui

= X

−

1 ∂ p

+ υ ∆u

(4.58)

∂ t

ρ ∂ x

α ∂x

тобто для неосереднених величин. Тут Xi - масові сили. Випишемо другі моменти і їхні похідні за часом за зазначеним вище правилом:

∂ ρ ui u j	= ρ u		∂ u j	+ ρ u		∂ ui	.	(4.59)
∂ t		i ∂ t
					j ∂ t

Потім підставимо вирази для локальних похідних з рівнянь Нав′є-Стокса і виконаємо послідовно нескладні перетворення:

∂ ρ ui u j

= ρ u

∂ u j

+ ρ u

∂ ui

∂ t

∂ u j

∂ p

= ρ u

−u

+ X

−

υ ∆ u

∂

xα

ρ ∂ x j

∂ ui

1 ∂p

+ X i

−

+ ρ u j − uα

∂ xα

ρ ∂ xi

+ υ ∆ ui

= −ρ ui u

∂ u j

+ρ ui

X j −ui

∂ p

+µ ui

∆u j −

∂ x

∂ x j

−ρ u j uα

∂ ui

+ρ u j X i

−u j

∂p

+µ u j ∆ ui =

∂ xα

∂ xi

∂ ρ u

α ui u j

∂

∂u

∂u j

−

pδ

iα

pδ

jα

)+ p

∂ xα

∂xα

∂x j

∂xi

∂ u j

∂

(ui σα j

+ u j σαi )

− σαi

− σα j

∂ u

+ ρ ui X j + ρ u j X i .

∂ xα

Тут були проведені такі перетворення:

ρuiuα

∂ u j

+ ρu j uα

∂ ui

+ ρu j ui

∂ uα

∂ ρuα ui u j

;

∂ xα

∂xα

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1513 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.04.2019735.74 Кб3Консп.Вики №2.doc
#
18.09.20193.87 Mб5Конспект 2 лекций по ОАПСОС рус 2010.doc
#
21.04.2019646.14 Кб1КОНСПЕКТ Вики №1.doc
#
01.05.2019419.33 Кб6Конспект для магістрантів Методика.doc
#
11.11.20191.04 Mб6КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЙ З ЕКОЛОГІЧНОГО ПРАВА!!!.doc
#
10.02.20161.35 Mб60Конспект лекций Дин метеорология_2003.pdf
#
10.02.2016887.3 Кб32КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ЛОГИСТИКА1.doc
#
10.02.2016935.42 Кб28КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ЛОГИСТИКА_2.doc
#
10.02.2016338.43 Кб20КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ЛОГИСТИКА_21_28марта.doc
#
10.02.20161.02 Mб20Конспект лекций по деньгам и кредиту.doc
#
10.02.20161.46 Mб14Конспект лекций Физика атм_Борисова 2007.pdf